1.5.1 第1课时 正弦函数的图像（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（北师大版2019）

§5　正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识 5．1　正弦函数的图象与性质再认识 第1课时　正弦函数的图象 学习目标 1.能画出正弦函数的图象． 2．掌握“五点(画图)法”画正弦曲线的步骤和方法，能用“五点(画图)法”作出简单的正弦型函数的图象． 3．会利用正弦函数图象求定义域． 知识点一　正弦函数的图象 将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗，再挂在架子上，就做成了一个简易单摆(如图(1)所示).在漏斗下方放一块纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴．把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板．这样就可在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的图象．物理中把简谐运动的图象叫作“正弦曲线”或“余弦曲线”．它表示了漏斗对平衡位置的位移s(纵坐标)随时间t(横坐标)变化的情况．图(2)就是某个简谐运动的图象． 1．定义 正弦函数的图象称作正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线． 2．图象 (1)只有函数y＝sin x，x∈R的图象称为正弦曲线． (2)正弦函数y＝sin x，x∈R的图象夹在两直线y＝±1之间． [例1] 函数f(x)＝－sin |x|在区间[－π，π]上的图象大致是(　　) A　解析：由题意得f(x)＝－sin |x|＝ 所以函数f(x)＝－sin |x|在区间[－π，π]上的图象大致如图． 解决正弦型函数图象问题的思路 解决与正弦函数图象有关的问题，首先要准确掌握正弦函数图象的特征，然后根据图象的对称、翻折选择图象，或利用函数的特殊函数值，结合排除法解决问题． [练1] 函数y＝sin (－x)，x∈[0，2π]的简图是(　　) B　解析：y＝sin (－x)＝－sin x，x∈[0，2π]的图象可看作是由y＝sin x，x∈[0，2π]的图象关于x轴对称后得到的．故选B. 知识点二　利用正弦函数图象求正弦函数的定义域 [例2] 求函数f(x)＝lg sin x＋的定义域． 解：由题意得不等式组即 作出y＝sin x的图象，如图所示． 结合图象可得x∈[－4，－π)∪(0，π). [变式探究] 将本例改为求函数y＝lg (sin x－)的定义域． 解：要使函数有意义，自变量x应满足sin x－>0，即sin x>， 在同一平面直角坐标系下，作出函数y＝sin x，x∈[0，2π]以及直线y＝的图象． 由函数的图象知，sin ＝sin ＝. 所以根据图象可知sin x>在[0，2π]上的解集为(，). 又x∈R，故该函数的定义域为{x|＋2kπ<x<＋2kπ，k∈Z}． 求解关于正弦函数的定义域或不等式的常用方法 (1)单位圆法． (2)图象法：一些三角函数的定义域可以借助函数图象直观地观察得到，同时也要注意区间端点的取舍． [练2] 求函数y＝的定义域． 解：要使函数有意义，需2sin x＋≥0. 即sin x≥－，在同一平面直角坐标系中，作出函数y＝sin x与直线y＝－的图象，如图所示， 在区间[－，]上，sin x≥－的x的取值范围是－≤x≤. 所以该函数的定义域是[2kπ－，2kπ＋](k∈Z). 知识点三　“五点法”作图 借助单位圆作图虽然精确，但太麻烦，观察正弦曲线，能否从其上选出一些关键点，用来快捷地画出y＝sin x，x∈[0，2π]的图象？ “五点(画图)法”作正弦函数y＝sin x， x∈[0，2π]图象的步骤 (1)列表 x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 (2)描点 在坐标系中描出五个关键点分别是(0，0)，(，1)，(π，0)，(，－1)，(2π，0). (3)连线 用光滑曲线顺次连接这五个点，得到正弦曲线在[0，2π]上的简图． [例3] 用“五点法”作出函数y＝2－sin x，x∈[0，2π]的简图． 解：按五个关键点列表： x 0 π 2π y＝sin x 0 1 0 －1 0 y＝2－sin x 2 1 2 3 2 在平面直角坐标系中描出五个点(0，2)，(，1)，(π，2)，(，3)，(2π，2)，然后用光滑曲线顺次连接起来，就得到y＝2－sin x，x∈[0，2π]的图象，如图所示． “五点法”作形如y＝a sin x＋b，x∈[0，2π]的图象的步骤 (1)列表：取x＝0，，π，，2π，求出对应的y值． (2)描点：将表中所对应的点(x，y)标在平面直角坐标系内． (3)连线：用光滑的曲线将所描的点连接起来． 在连线过程中要注意曲线的“凸性”． [练3] 作出函数y＝2sin x(0≤x≤2π)的简图． 解：列表 x 0 π 2π y＝sin x 0 1 0 －1 0 y＝2sin x 0 2 0 －2 0 描点并用光滑的曲线连接起来，可得函数y＝2sin x(0≤x≤2π)的图象，如图所示． ◎随堂演练 1．用“五点法”作y＝sin 3x的图象时，首先描出的五个点的横坐标是(　　) A．0，，π，，2π B．0，，，，π C．0，π，2π，3π，4π D．0，，，， D　解析：分别令3x＝0，，π，，2π，可得x＝0，，，，. 2．函数y＝sin x，x∈[0，2π]与y＝图象交点的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 C　解析：作出函数y＝sin x在[0，2π]上的图象，并作出直线y＝，如图， 观察图象知，函数y＝sin x在[0，2π]上的图象与直线y＝有两个公共点， 所以函数y＝sin x，x∈[0，2π]与y＝图象交点的个数为2. 3．不等式sin x<－，x∈[0，2π]的解集为________． 答案：(，)　解析：作出y＝sin x在[0，2π]上的图象如图所示， 由图象可知，不等式sin x<－的解集为(，). [课时梯级训练(7)见P188] 学科网（北京）股份有限公司 $$