1.4.3 诱导公式与对称（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（北师大版2019）

4.3　诱导公式与对称 学习目标 1.借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式． 2．能运用有关的诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题． 知识点一　给角求值 如图，在平面直角坐标系中，设角α，－α，π＋α，π－α的终边与单位圆分别相交于点P，P1，P2，P3，观察并回答以下问题，P与P1，P2，P3有怎样的位置关系？α的三角函数值与－α，π＋α，π－α的三角函数值有什么关系？ 终边 关系 角－α与角α的终边关于x轴对称 角α±π与角α的终边关于原点对称 角π－α与角α的终边关于y轴对称 图示 诱导 公式 sin (－α)＝－sin_α， cos (－α)＝cos_α sin (α＋π)＝－sin_α， cos (α＋π)＝－cos_α， sin (α－π)＝－sin_α， cos (α－π)＝－cos_α sin (π－α)＝sin_α， cos (π－α)＝－cos_α 作用 将负角化为正角 将0～2π内的角化为0～π内的角 将钝角化为0～内的角 特点 1.公式两边的函数名称一致． 2．将α看作锐角时，原角所在象限的正弦函数、余弦函数值的符号，即为等号右边的符号 (1)公式：sin (α＋2kπ)＝sin α，cos (α＋2kπ)＝cos α，k∈Z.作用是将角转化为0～2π内的角． (2)诱导公式有下列规律： ①公式中的角为任意角． ②记忆口诀“函数名不变，符号看象限”． (3)由负角公式可知，正弦函数y＝sin α是奇函数，余弦函数y＝cos α是偶函数． [例1] 求下列各三角函数值： (1)cos 210°；(2)sin ；(3)sin (－)； (4)cos (－1 920°). 解：(1)cos 210°＝cos (30°＋180°)＝－cos 30°＝－. (2)sin ＝sin (＋2π)＝sin ＝sin (π－)＝sin ＝. (3)sin (－)＝－sin (＋6π)＝－sin ＝－sin (＋π)＝sin ＝. (4)cos (－1 920°)＝cos 1 920°＝cos (120°＋5×360°)＝cos 120°＝cos (180°－60°)＝－cos 60°＝－. 给角求值一般可按下面步骤进行： [练1] 求下列各三角函数式的值： (1)sin 1 320°；(2)cos (－). 解：(1)方法一　sin 1 320°＝sin (240°＋3×360°)＝sin 240°＝sin (60°＋180°)＝－sin 60°＝－. 方法二　sin 1 320°＝sin (－120°＋4×360°)＝sin (－120°)＝－sin 120°＝－sin (180°－60°)＝－sin 60°＝－. (2)cos (－)＝cos (－10π＋)＝cos ＝cos (＋π)＝－cos ＝－. 知识点二　给值(式)求值 [例2] (1)(2024·北京昌平高一期末)已知角α的终边经过点(－3，4)，则cos (π＋α)＝(　　) A．－ B．－ C． D． (2)已知α∈(，π)，若cos (－α)＝－，则cos (α＋)的值为(　　) A． B．－ C．－ D． (1)C　(2)A　解析：(1)由角α的终边经过点(－3，4)，得该点到原点距离r＝＝5，cos α＝＝－，所以cos (π＋α)＝－cos α＝. (2)由题意得cos (α＋)＝cos [π－(－α)]＝－cos (－α)＝.故选A. [变式探究] 若本例(2)中的条件不变，如何求cos (α－)? 解：cos (α－)＝cos (－α)＝cos [(－α)＋2π]＝cos (－α)＝－. 给值(式)求值的策略 解决给值(式)求值问题的关键是抓住已知角与所求角之间的关系，从而灵活选择诱导公式求解，一般可从两角的和、差的关系入手分析，解题时注意整体思想的运用． [练2] (1)已知角α的终边过点P(12，－5)，则sin (π＋α)＝________． (2)已知cos (－α)＝，则cos (＋α)＝________． (1)　(2)－　解析：(1)因为角α的终边过点P(12，－5)，所以r＝＝13，可得sin α＝－， 所以sin (π＋α)＝－sin α＝. (2)cos (＋α)＝cos [π－(－α)]＝－cos (－α)＝－. 知识点三　利用诱导公式化简或证明 [例3] 证明：＝(－1)n·cos α，n∈Z. 证明：当n为偶数时，令n＝2k，k∈Z， 左边＝＝＝＝cos α， 右边＝(－1)2kcos α＝cos α，所以左边＝右边． 当n为奇数时，令n＝2k－1，k∈Z， 左边＝ ＝＝ ＝＝－cos α， 右边＝(－1)2k－1cos α＝－cos α， 所以左边＝右边． 综上所述，＝(－1)n·cos α，n∈Z成立． 利用诱导公式化简证明的思路 利用诱导公式进行化简或证明，主要是进行角的转化，最终达到角的统一，能求值的要求出值． [练3] 化简：. 解：原式＝＝＝1. ◎随堂演练 1．(2024·菏泽高一期末)sin (－)＝(　　) A．－ B．－ C． D． C　解析：sin (－)＝－sin ＝－sin (4π＋)＝－sin ＝－sin (π＋)＝sin ＝. 2．若cos (π－α)＝，则cos α＝________． 答案：－　解析：由题意得cos (π－α)＝－cos α＝，解得cos α＝－. 3.＝________． 答案：1　解析：原式＝＝1. [课时梯级训练(5)见P183] 学科网（北京）股份有限公司 $$