专题13 分式方程中参数问题的四种考法全攻略-【B卷常考题型】2024-2025学年四川成都八年级数学下册题型全攻略（北师大版）

专题13 分式方程中参数问题的四种考法全攻略 【考法一、增根问题】 例．若关于x的分式方程有增根，则a的值是（   ） A．1 B．2 C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的增根问题，先确定最简公分母，令最简公分母为0，求出x的值，然后把分式方程化为整式方程，再将x的值代入整式方程，解关于a的方程即可． 【详解】解：分式方程的最简公分母为， 分式方程有增根， ， 解得， 增根是1， 分式方程去分母，得：， 把代入方程，得：， 解得， 故选D． 变式1．如果在解关于的方程时产生了增根，那么的值为 ． 【答案】或． 【分析】分式方程的增根是分式方程在去分母时产生的，分式方程的增根是使公分母等于0的x值，所以先将分式方程去分母得整式方程，根据分式方程的增根适合整式方程，将增根代入整式方程可得关于的方程，根据解方程，可得答案． 【详解】解：原方程变形为， 方程去分母后得：， 整理得：，分以下两种情况： 令，，； 令，，， 综上所述，的值为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了分式方程的增根，利用分式方程的增根得出关于的方程是解题关键． 变式2．若关于x的分式方程 有增根，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的增根，解题的关键是掌握增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根，所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到，然后代入化为整式方程的方程算出m的值． 【详解】解： 方程两边都乘，得， ∵原方程有增根， ∴最简公分母， 解得：， 当时，， 解得：． 故答案为：． 变式3．若关于x的方程有增根，则a的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的增根问题，增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．可按如下步骤进行： ①让最简公分母为0确定增根； ②化分式方程为整式方程； ③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母为0，得到，然后代入去分母后的整式方程算出a的值． 【详解】解：由分式方程的最简公分母是， 得分式方程的增根是. 分式方程转化成整式方程为， 把代入， 得， 解得． 故答案为：． 【考法二、无解问题】 例．若关于的方程无解，则的值为（    ） A．或 B．或0 C．或或0 D．或或 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的无解问题，正确理解分式方程的无解的含义是解答本题的关键．此分式方程无解的含义包含两种情况，其一是使得分母为零的根，是原方程的增根，在去分母后，将使分母为零的根分别代入，可求得m的值；其二是去分母后的方程无解，即方程左边为零，右边不为零，可求得m的值． 【详解】去分母，得， 整理得， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，方程无解； 综上所述，满足题意的的值为或或， 故选D． 变式1．若关于x的分式方程无解，则实数 ． 【答案】0或3 【分析】本题考查分式方程的解．熟练掌握分式方程的解法，注意方程增根的情况是解题的关键． 分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项合并同类项，得， ①当无解时，m=0； ②当整式方程的解为分式方程的增根时， ，，矛盾；或，， ∴． 故答案为：0或3． 变式2．若关于x的方程无解，则m的值为 ． 【答案】或22或 【分析】本题考查了分式方程的解法，无解的意义，熟练掌握解方程的基本步骤是解题的关键，转换为整式方程，解方程即可． 【详解】解： ， 去分母，得， 整理，得， 当时，原方程有增根， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，方程无解，也符合题意． 故答案为：或22或． 【考法三、正负根问题】 例．如果数使关于的分式方程的解为正数，且使关于的不等式组的解集为，那么符合条件的所有整数的和为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程与解一元一次不等式组，正确求解方程与不等式组是关键；先解分式方程，根据解为正数求得a的范围；再解不等式组，根据解集为可求得a的范围，最后求得所有整数a并相加即可． 【详解】解：解得：， 则有， ∴； 但，即， ∴且； 解第一个不等式得：；解第二个不等式得：； 由题意知，， 综上，a的取值范围为且， ∴a取整数，，0，1，3，4，5， 其和为10． 故选：A． 变式1．若使关于的不等式组有且只有四个整数解，且使关于的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由不等式组和分式方程解的情况求参数，先求出不等式组的解集，由不等式组的解集有且只有四个整数解可得，再求出分式方程的解，由分式方程的解为非负数可得，进而根据分式方程的分母不等于得，即得的取值范围为且，据此即可求解，由不等式组和分式方程求出的取值范围是解题的关键． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组有且只有四个整数解， ∴， 解得， 解分式方程得，， ∵分式方程的解为非负数， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴的取值范围为且， ∴所有满足条件的整数的和为， 故答案为：． 变式2．关于x的分式方程的解为正数，且使关于y的一元一次不等式组有解，则所有满足条件的整数a的值之和是多少？ 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，解一元一次不等式组，把分式方程与一元一次不等式的解分别求出，再根据题意求的范围，最后确定的整数解，再相加即可． 【详解】解：关于的分式方程化为整式方程是：， 解得：， 关于的分式方程的解为正数， ， ， 关于的分式方程可能会产生增根2， ， ， 解关于的一元一次不等式组得：， 关于的一元一次不等式组有解， ，， 综上，且， 为整数， 或或0或1或2， 满足条件的整数的值之和是：． 【考法四、整数解问题】 例．已知关于x的不等式组至少有3个整数解，且关于y的分式方程有整数解，那么满足条件的所有整数a的和是 ． 【答案】 【分析】先解不等式组中的两个不等式，根据不等组至少有3个整数解，得到，则，再解分式方程得到，由分式方程有整数解得到是整数，由此求出a的值，再由确定出符合题意的a的值，最后求和即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵关于x的不等式组至少有3个整数解， ∴， ∴； 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：， ∵关于y的分式方程有整数解， ∴， ∴， ∴是整数， ∴或或或， ∴或或或或或或或， ∵， ∴， 又∵， ∴或或或或或， ∴满足条件的所有整数a的和是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组和解分式方程，根据不等组解的情况和分式方程解的情况确定a的值是解题的关键，本题需要注意的地方是必须对分式方程的根进行检验． 变式1．关于x的分式方程的解为整数，且关于y的不等式组有且只有四个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解，一元一次不等式组的整数解，先解分式方程，再根据分式方程的解为整数求出的范围，然后解不等式组，最后根据不等式组有且只有四个整数解，确定的值，即可解答．熟练掌握解分式方程，解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 【详解】解： 解得：， 分式方程的解为整数， 为整数且， 为整数且， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组有且只有四个整数解， 则所有满足条件的整数a的值为：，， ∴所有满足条件的整数a的值之和为： 故答案为：． 变式2．若关于的方程的解为非负整数，关于的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】5 【分析】本题考查分式方程的解，不等式组的解．先解出分式方程，再解出不等式组的解，最后确定的值即可． 【详解】解：解方程得 依题得且为整数，， 且为3的倍数，， 解不等式得， 解不等式得， 不等式组的解集为， ， 解得， ，且， 为3的倍数， 当时，， 当时，， 当时，（舍去）， 当时，（舍去）， 的值为1或4， 符合条件的所有整数的和为． 故答案为：5． 变式3．若关于的不等式组无解，且关于的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由不等式组的解集情况求参数的取值范围，由分式方程的解的情况求参数，先解不等式组，根据不等式组无解确定的取值范围，即确定的取值范围，再解分式方程，求出分式方程的解，根据分式方程的整数解确定的值，进而即可求解，解题的关键是根据不等式组无解确定的取值范围，进而由分式方程的整数解确定出的值． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∵不等式组无解， ∴， ∴， 解分式方程得，， ∵分式方程有整数解，且, ∴，，，， 又∵， ∴，，， ∴满足条件的所有整数的和为， 故答案为：． 【课后训练】 1．若关于的分式方程有增根，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程．首先解分式方程求出方程的根为，因为分式方程有增根，所以方程的根为，解关于的一元一次方程求出的值即可． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 关于的分式方程有增根， ， 解得：． 故选：A ． 2．若关于x的方程产生增根，则m的值是（   ） A． B． C．2 D．0 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的增根，分式方程的增根是使分母为0的未知数的值，根据方程有增根得到，将代入化简后的整式方程中即可求出答案． 【详解】解：将方程去分母得, ∵方程产生增根， ∴， 将代入，得， 故选：B． 3．已知关于的分式方程的解满足，且为整数，则符合条件的所有值的乘积为（  ） A．正数 B．负数 C．零 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程、有理数的平方．首先解分式方程可得，再根据分式方程的解满足，可得的取值范围，再根据为整数，确定的值的情况，再根据的取值情况判断乘积的正负性． 【详解】解：解关于的分式方程， 去分母得：， 移项得：， 提公因式得：， 去括号、合并同类项得：， 整理得:， ， ， ， ， ， 又， 和， 和， 为整数且， 和， 中符合条件的值共有个负数和个正数， 符合条件的所有值的乘积为正数． 故选：A． 4．若关于的不等式组有且只有4个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】根据不等式组的整数解的个数确定a的取值范围，再根据分式方程的非负数解确定a的取值范围，从而求出符合条件的所有整数，然后代入原分式方程验证即可得结论． 本题考查了不等式组的整数解、分式方程的解，解决本题的关键是根据不等式组的整数解的个数及分式方程的解确定a的取值范围． 【详解】解：∵ ， 解不等式①得：； 解不等式②得， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组有且只有4个整数解， ∴， 解得； ∵， 解得， ∵方程有非负数整数解， ∴， ∴， ∵时，是方程的增根， 此时，无意义，舍去， ∴且 ∴符合题意的整数m的值为， 当m的值为时， ， 解得：，不是非负整数，不符合题意， ∴符合题意的整数m的值为， ∴符合条件的所有整数m的和是， 故答案为：． 5．若实数k使关于x的不等式组有解且至多有三个整数解，且使关于y的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数k的和为 ． 【答案】3 【分析】先解一元一次不等式组，依题意可得，再解分式方程得，由题意可得是8的约数，再结合方程的解的情况求出k的值即可． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∴不等式组有解，即为， ∵不等式组有解且至多有三个整数解， ∴不等式组的三个整数解为1，2，3 ∴， ∴， ， ， 解得，（） ∵分式方程有整数解，， ∴是20的约数，而且 ∴， ∴满足条件的所有整数k的和为 故答案为：3． 【点睛】本题考查分式方程的解，一元一次不等式组的解，熟练掌握一元一次不等式组的解法，分式方程的解法，注意方程增根的讨论是解题的关键． 6．若整数使得关于的不等式组有解，且关于的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的的值之和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解集、解分式方程，首先求出一元一次不等式组的解集，根据不等式组有解可以确定，再解分式方程可得，根据分式方程有非负整数解确定整数的值，注意因为是分式方程的增根，所以要把使的值舍去． 【详解】解：， 解不等式， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 解不等式得：， 不等式组有解， ， ， 解关于的分式方程， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 关于的分式方程有非负整数解， 或或或或或， 当时，是分式方程的增根， (舍去)， ． 故答案为： ． 7．若关于的不等式组有且仅有2个偶数解，且使得关于的分式方程有整数解，则满足条件．所有整数的乘积为 ． 【答案】 【分析】本题考查根据不等式组的解集的情况以及分式方程的解得情况求参数的值，解题的关键是正确的求出不等式组的解集和分式方程的解． 根据不等式组有且仅有2个偶数解，求出的取值范围，再根据y的分式方程有整数解，求出满足条件的整数的值，然后计算即可． 【详解】解：由， 得， ∴， ∵不等式组有且仅有2个偶数解， ∴偶数解为：2，0， ∴， ∴， ∵， 解得， ∵方程的解为整数， ∴为整数，且， ∵， ∴a的值为：或1或3， ∴满足条件所有整数a的乘积为：． 故答案为：． 8．若关于的一元一次不等式组有解且至多有2个整数解，且关于的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数之和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组和分式方程的解，先解关于x的一元一次不等式组，再根据不等式组有解且至多有2个整数解得到a的取值范围，再解分式方程，根据分式方程有整数解，求出所有满足条件的整数a的值，并求出它们的和即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ， ∵关于x的一元一次不等式组有解且至多有2个整数解， ∴， ∴， 解，得， ∴， ∵关于y的分式方程有整数解， ∴或或或1， ∵， ∴， ∴， ∴所有满足条件的整数a的值为：或或1， ∴所有满足条件的整数a之和为：， 故答案为：． 9．若关于的一元一次不等式组有解且最多有6个整数解，且关于的分式方程的解是非负整数，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组和分式方程，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组和分式方程的一般步骤．先解不等式组，求出的取值范围，再解分式方程，从而求出的值，最后求出它们的和即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ， ， ， ， 关于的一元一次不等式组有解且最多有6个整数解， ， 解得：， ， 方程两边同时乘得： ， ， 解得：， 关于的分式方程的解是非负数， ，且 解得：，且， ，且， ∴的值为，而，不是整数，故舍， ∴符合题意的的值为 所有满足条件的整数的值之和， 故答案为：． 10．如果两个分式M与N的和为常数k，且k正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式，，，则M与N互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k； (2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”，若x为正整数，分式D的值为正整数t． ①求G所代表的代数式； ②求x的值； (3)在（2）的条件下，已知分式，，且，若该关于x的方程无解，求实数m的值． 【答案】(1)A与B是互为“和整分式”， “和整值”； (2)①；② (3)的值为：或． 【分析】（1）先计算，再根据结果可得结果； （2）①先求解，结合新定义可得，从而可得答案；②由，且分式D的值为正整数t．x为正整数，可得或，从而可得答案； （3）由题意可得：，可得，整理得：，由方程无解，可得或方程有增根，再分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ． ∴A与B是互为“和整分式”， “和整值”； （2）①∵，， ∴ ∵C与D互为“和整分式”，且“和整值”， ∴， ∴； ②∵，且分式D的值为正整数t．x为正整数， ∴或， ∴（舍去）； （3）由题意可得：， ∴， ∴， ∴， 整理得：， ∵方程无解， ∴或方程有增根， 解得：， 当，方程有增根， ∴， 解得：， 综上：的值为：或． 【点睛】本题考查的是新定义运算的理解，分式的加减运算，分式方程的解法，分式方程无解问题，理解题意是解本题的关键． 11．已知，关于的分式方程． (1)当，时，求分式方程的解； (2)当时，求为何值时，分式方程无解； (3)若，为正整数，分式方程的解为整数时，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)3，55 【分析】（1）将的值代入分式方程，解分式方程即可得到答案； （2）把的值代入分式方程，将分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论的值使分式方程无解即可； （3）把代入分式方程，将分式方程化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为整数和为正整数即可确定的值． 【详解】（1）解：把，代入分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：把代入， 所以原分式方程的解是； （2）解：把代入分式方程， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， ①当时，即，方程无解， ②当时，， 时，分式方程无解，即，不存在； 时，分式方程无解，即，， 综上所述，或时，分式方程无解； （3）解：把代入分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 整理得：， ∵，且为正整数，为整数， ∴必为65的因数，， ∵， ∴65的因数有1，5，13，65， 1，5小于11， 可以取13，65这两个数，对应地，方程的解为0，4，对应地，的值为3，55， 满足条件的可取3，55这两个数． 【点睛】本题考查分式方程的计算，熟练掌握解分式方程的步骤是解决问题的前提条件，分式方程无解的两种情况要熟知：一是分式方程去分母后的整式方程无解，二是分式方程去分母后的整式方程的解是原分式方程的增根． 12．已知关于x的分式方程只有一个实数解，求k值． 【答案】或或 【分析】本题主要考查分式方程，将方程两边同时乘以，整理得，当时，当时，分情况讨论即可． 【详解】解：将方程两边同时乘以． 得 整理得① 当时，有 ∴ 将代入① 中，得 ∴．经检验：是分式方程的解； 当时，有 ∴ 若是方程的增根， 则将代入①中 得 即时，①可化为 ∴ (是增根，舍去)． 故原分式方程只有一个实数解． 当是方程的增根， 则将代入①中， 求得． 即时，①可化为 ∴ (是增根，舍去) 故原分式方程只有一个实数解． 综上所述，当时，这个实数解为； 当时，这个实数解为； 当时，这个实数解为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 分式方程中参数问题的四种考法全攻略 【考法一、增根问题】 例．若关于x的分式方程有增根，则a的值是（   ） A．1 B．2 C．0 D． 变式1．如果在解关于的方程时产生了增根，那么的值为 ． 变式2．若关于x的分式方程 有增根，则m的值为 ． 变式3．若关于x的方程有增根，则a的值是 ． 【考法二、无解问题】 例．若关于的方程无解，则的值为（    ） A．或 B．或0 C．或或0 D．或或 变式1．若关于x的分式方程无解，则实数 ． 变式2．若关于x的方程无解，则m的值为 ． 【考法三、正负根问题】 例．如果数使关于的分式方程的解为正数，且使关于的不等式组的解集为，那么符合条件的所有整数的和为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 变式1．若使关于的不等式组有且只有四个整数解，且使关于的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数的和为 ． 变式2．关于x的分式方程的解为正数，且使关于y的一元一次不等式组有解，则所有满足条件的整数a的值之和是多少？ 【考法四、整数解问题】 例．已知关于x的不等式组至少有3个整数解，且关于y的分式方程有整数解，那么满足条件的所有整数a的和是 ． 变式1．关于x的分式方程的解为整数，且关于y的不等式组有且只有四个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和为 ． 变式2．若关于的方程的解为非负整数，关于的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数的和为 ． 变式3．若关于的不等式组无解，且关于的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数的和为 ． 【课后训练】 1．若关于的分式方程有增根，则的值是（   ） A． B． C． D． 2．若关于x的方程产生增根，则m的值是（   ） A． B． C．2 D．0 3．已知关于的分式方程的解满足，且为整数，则符合条件的所有值的乘积为（  ） A．正数 B．负数 C．零 D．无法确定 4．若关于的不等式组有且只有4个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数的和为 ． 5．若实数k使关于x的不等式组有解且至多有三个整数解，且使关于y的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数k的和为 ． 6．若整数使得关于的不等式组有解，且关于的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的的值之和为 ． 7．若关于的不等式组有且仅有2个偶数解，且使得关于的分式方程有整数解，则满足条件．所有整数的乘积为 ． 8．若关于的一元一次不等式组有解且至多有2个整数解，且关于的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数之和为 ． 9．若关于的一元一次不等式组有解且最多有6个整数解，且关于的分式方程的解是非负整数，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 10．如果两个分式M与N的和为常数k，且k正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式，，，则M与N互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k； (2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”，若x为正整数，分式D的值为正整数t． ①求G所代表的代数式； ②求x的值； (3)在（2）的条件下，已知分式，，且，若该关于x的方程无解，求实数m的值． 11．已知，关于的分式方程． (1)当，时，求分式方程的解； (2)当时，求为何值时，分式方程无解； (3)若，为正整数，分式方程的解为整数时，求的值． 12．已知关于x的分式方程只有一个实数解，求k值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$