专题12 分式方程运算专项训练（40道）-【B卷常考题型】2024-2025学年四川成都八年级数学下册题型全攻略（北师大版）

专题12 分式方程运算专项训练 一、解答题 1．解方程： (1) (2) 2．（1）计算：； （2）解方程：． 3．解方程： (1)； (2)． 4．解方程： (1)； (2)． 5．解下列分式方程： (1)； (2)． 6．（1）化简：； （2）解方程：． 7．解下列方程： (1)； (2)； 8．解分式方程： (1)； (2)． 9．解方程． 10．解方程：． 11．解分式方程：． 12．解方程：． 13．解分式方程：． 14．解方程： (1)； (2)． 15．解方程 (1)； (2)． 16．解方程： (1)， (2)． 17．（1）因式分解：； （2）解方程：． 18．解下列方程： (1)； (2)． 19．解下列分式方程： (1) (2) 20．解分式方程： (1)； (2)． 21．解方程： (1)； (2)． 22．解方程：． 23．解分式方程：． 24．解下列分式方程： (1) (2) 25．解方程组： 26．解方程： (1)； (2)． 27．解分式方程：． 28．解方程： (1)； (2)． 29．解方程：． 30．解方程 (1) (2) 31．解下列分式方程 （1）； （2）． 32．解方程：. 33．； 34． 35．解分式方程 （1） （2） 36．解方程： 37．解方程： 38．解方程组：． 39．已知（其中A，B为常数），求的值． 40．解方程：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 分式方程运算专项训练 一、解答题 1．解方程： (1) (2) 【答案】(1)原方程无解；(2) 【分析】本题考查解分式方程，利用了转化的思想，注意要检验． （1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】（1）解：， 方程两边乘以，得：， 解得：， 检验：当时，， 所以原方程无解； （2）解：， 方程两边乘以，得： ， 解得， 检验：当时，， 所以原分式方程的解为． 2．（1）计算：； （2）解方程：． 【答案】； 【分析】（1）利用完全平方公式和平方差公式展开并化简即可 （2）方程去分母后转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 此题考查了完全平方公式和平方差公式，解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 【详解】解： 解： ， 去分母得：， 整理得：， 解得： 经检验是分式方程的解； 3．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了分式方程，掌握分式方程的解法是解决本题的关键． （1）先去分母，化分式方程为整式方程，再求解整式方程，最后检验得结论． （2）先去分母，化分式方程为整式方程，再求解整式方程，最后检验得结论． 【详解】（1）解：， 去分母，得， 整理，得， 所以． 经检验：是原方程的解． 所以原方程的解为：． （2）解：， 原方程可化为：， 去分母，得， 整理，得， 所以． 经检验：不是原方程的解． 所以原方程无解． 4．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的方法正确计算是解题的关键． （1）先去分母，化为整式方程再求解，再检验即可； （2）先去分母，化为整式方程再求解，再检验即可． 【详解】（1）解： ， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴原方程的解为； （2）解： ， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴原方程的解为． 5．解下列分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1)；(2)无解 【分析】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的一般步骤是解题的关键． （1）按照解分式方程的一般步骤求解即可，注意验根； （2）按照解分式方程的一般步骤求解即可，注意验根． 【详解】（1）解：原式去分母得：， 整理得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的根； （2）解：原式去分母得：， 整理得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的增根，原方程无解． 6．（1）化简：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）无解 【分析】本题考查了分式的混合运算、解分式方程，熟练掌握分式的运算法则、解分式方程的步骤是解题的关键． （1）根据分式的运算法则计算即可； （2）去分母化为整式方程，解出整式方程，再验根即可． 【详解】解：（1） ； （2）， 去分母，得：， 整理得：， 解得：， 经检验，是分式方程的增根， 原分式方程无解． 7．解下列方程： (1)； (2)； 【答案】(1)；(2)原方程无解 【分析】本题考查了解分式方程， （1）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得； （2）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得． 【详解】（1）解： 去分母得， 解得 检验：将代入 ∴原方程的解为； （2）解： 去分母得， 解得 检验：将代入 ∴是原方程的增根 ∴原方程无解． 8．解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1)；(2)无解 【分析】本题主要考查解分式方程，掌握将分式方程去分母，化为一元一次方程求解是关键． （1）方程两边乘去分母，再解一元一次方程即可求解； （2）方程两边乘去分母，再解一元一次方程即可求解． 【详解】（1）解：, 方程两边乘，得， 整理得，， 解得， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为； （2）解：， 方程两边乘，得， 整理得，， 解得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的增根， ∴原分式方程无解． 9．解方程． 【答案】原分式方程无解 【分析】本题考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤解答即可求解，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 【详解】解：方程两边乘，得 ， ， ， ， 检验：当时，， ∴不是原分式方程的解， ∴原分式方程无解． 10．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键． 先把方程转化为整式方程，解方程得，经检验是原方程的解． 【详解】解： ， 经检验是原方程的解． 11．解分式方程：． 【答案】原方程无解 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 先整理分式方程，然后方程两边同乘，将分式方程化为整式方程求解即可． 【详解】解：， 方程可化为， 方程两边同乘， 得：， 解得：， 检验：当时，，不是分式方程的解， 所以原分式方程无解． 12．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程两边乘以，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：去分母，得，     移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得，     经检验，得是原方程的解． 13．解分式方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．先变形，再方程两边同乘将分式方程化为整式方程，求解即可． 【详解】解：， 方程可化为， 方程两边同乘，得， 解得， 检验：当时，， 所以原分式方程的解是． 14．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原方程无解 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解此题的关键． （1）根据解分式方程的步骤计算即可得解； （2）根据解分式方程的步骤计算即可得解． 【详解】（1）解：方程两边同乘，得， 解得， 检验：当时，， 所以分式方程的解是； （2）解：方程两边同乘，得， 解得， 检验：当时，分母， 所以不是原分式方程的解，原方程无解． 15．解方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了解分式方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把分式方程化为整式方程，再验根，即可作答． （2）先把分式方程化为整式方程，再验根，即可作答． 【详解】（1）解：原方程去分母得：， 解这个方程得 ， 检验：当时， ， ∴是分式方程根． （2）解：原方程去分母得：， 整理得：， 解得：， 检验：当时， 则是分式方程的增根， 故原方程无解． 16．解方程： (1)， (2)． 【答案】(1)无解 (2) 【分析】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． （）按照解分式方程的步骤解答即可； （）按照解分式方程的步骤解答即可； 【详解】（1）解：方程两边乘以，得， 解得， 检验：当时，， ∴是方程的增根， ∴原方程无解； （2）解：方程两边乘以，得， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 17．（1）因式分解：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）无解． 【分析】本题考查解分式方程，因式分解，熟练掌握解分式方程及因式分解的方法是解题的关键． （1）提公因式后利用平方差公式因式分解即可； （2）利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 【详解】解：（1）原式 （2）原方程去分母得：， 整理得：， 解得：， 经检验是分式方程的增根， 故原方程无解． 18．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题主要考查了解分式方程， （1）先去分母，变分式方程为整式方程，然后再解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． （2）先去分母，变分式方程为整式方程，然后再解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． 【详解】（1）解： 去分母得： 去括号得： 移项合并同类项： 化系数为1：， 经检验，是原分式方程的解， 故原分式方程的解为： （2）解： 去分母得： 去括号得： 移项合并同类项：， 化系数为1：， 经检验，当时，， 则原方分式方程的解无解． 19．解下列分式方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． （1）两边同乘去分母将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，然后检验即可； （2）两边同乘去分母将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，然后检验即可． 【详解】（1）解： 两边同乘，得， 去括号得， 移项合并同类项得，， 解得， 经检验，当时，， 所以原分式方程的解为； （2）解： 两边同乘，得， 去括号得， 移项合并同类项得，， 解得， 经检验，当时，， 所以原分式方程的解为． 20．解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原分式方程无解． 【分析】本题主要考查了分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的步骤是解决此题的关键． （1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解； 【详解】（1）解：去分母，， 去括号，， 合并同类项，， 系数化为1，， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解； （2）解：去分母，， 去括号，， 合并同类项，， 系数化为1，， 检验：当时，， ∴是原分式方程的增根， ∴原分式方程无解． 21．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． （1）先去分母，将分式方程转化为整式方程求解，解方程后进行检验即可； （2）先去分母，将分式方程转化为整式方程求解，解方程后进行检验即可． 【详解】（1）解：， 去分母，方程两边乘以，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：， 经检验，是原分式方程的解， ； （2）解：， ， 去分母，方程两边乘以，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：， 经检验，是原分式方程的增根， 故原分式方程无解． 22．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，方程两边同时乘以最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解，再检验即可求解． 【详解】解： ∴ ∴ 解得：， 当时， ∴是原方程的解． 23．解分式方程：． 【答案】无解 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键．根据解分式方程的方法，先把原方程转化为整式方程，然后解分式方程求出x的值，最后再检验即可． 【详解】解：， 方程两边同时乘，得， 去括号，得， 解得：， 检验：把代入， 是原分式方程的增根， ∴原分式方程无解． 24．解下列分式方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)原方程无解 【分析】本题主要考查了解分式方程，掌握分式方程的解答步骤成为解题的关键． （1）先通过去分母将分式方程化成整式方程求解，然后再检验即可； （2）先通过去分母将分式方程化成整式方程求解，然后再检验即可． 【详解】（1）解：原方程可化为： 方程两边同乘，得：，解得， 检验：当时，，     ∴是原方程的解． （2）解：方程两边同乘， 得：． 解得：， 检验：当时，， ∴是增根，原方程无解． 25．解方程组： 【答案】． 【分析】本题考查了分式方程的解法，采用换元法求解，最后检验即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：设，， ∴原方程组化为， 解得：， ∴， 即， 解得：， 经检验，是原方程组的解， ∴原方程组的解为． 26．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了解分式方程，熟知分式方程需检验是解题的关键． （1）先将分式方程化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检验即可求解； （2）先将分式方程化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检验即可求解． 【详解】（1）解： 方程两边同乘，得， 解得， 检验：当时， 原分式方程的解是； （2）解：， 方程两边同时乘，得， 解得， 检验：当时，， 原分式方程无解． 27．解分式方程：． 【答案】 【分析】本题考查分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键； 方程两边同时乘以，解方程，检验即可求解； 【详解】解： 检验：当时，， 故是该方程的解； 28．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)此方程无解 (2) 【分析】此题考查解分式方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）先去分母，化为整式方程，再解方程并检验即可； （2）先去分母，化为整式方程，再解方程并检验即可． 【详解】（1）解： 解：整理可得：， 所有项同乘可得：， 移项可得：， 合并可得：， 系数化为1可得：， 检验：把代入可得：， ∴此方程无解； （2） 解：整理可得： ， 所有项同乘可得： ， 移项可得： ， 合并可得：， 系数化为1可得：， 检验：把代入可得：， ∴是原方程的解． 29．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是注意解分式方程时要检验．先去分母，化为整式方程，再解一元一次方程，然后进行检验即可得． 【详解】解： 经检验，是原方程的根． 30．解方程 (1) (2) 【答案】（1）1；（2）2. 【分析】（1）此方程如果直接去分母，得一元三次方程，不易解答．通过化简，观察此方程分子有相同的部分，可采用特殊的方法来解． （2）此方程不能直接去分母，由，可化简方程左边的式子，观察方程可得分子是相同的，即可得分母相等，转化成整式方程，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：方程化简，得： ， ， ， ， 当x=1时，等式成立； 当x≠1时，转化为整式方程为：4（4x-3）（4x-5）=（8x-9）（8x-7）， 整理方程，得：64x2-128x+60=64x2-128x+63，等式不成立． 经检验，x=1是方程的解． （2）方程化简，得： ， ， ， （x+1）（x+2002）=3x+6006， x2+2003x+2002=3x+6006， 解得：x=-2002或x=2， 经检验，x=-2002是增根，x=2是原方程的根． 【点睛】此题考查了解分式方程，在解分母含有连续数字或具有特殊间隔规律数字的分式方程时，若直接去分母，运算量很大．若先移项，然后将方程两边分别通分，则出现相同的分子，可以使得解分式方程的过程大大简化．在解分式方程时，要采用灵活的方式把分式方程转化为整式方式，在求出整式方程的解之后，一定要注意检验． 31．解下列分式方程 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）先把方程两边都乘以，变为整式方程，解此方程并进行检验即可，（2）将方程两边都乘以x-2，变为整式方程，解此方程并检验即可. 【详解】（1）方程两边都乘以，得解这个方程． 检验：把代入，所以是原方程的根． （2）方程两边都乘以x-2，得2（x-2）-x=3，解此方程x=7, 检验：把x=7代入原方程，x-20，所以x=7是原方程的根. 【点睛】本题考查解分式方程，解分式方程后要进行检验，熟练掌握分式方程的解法是解题关键. 32．解方程：. 【答案】. 【分析】原方程变形为，再去分母求解方程进行检验即可. 【详解】原方程可化为， 即， ， ， ， ， ， . 经检验，是原方程的根. ∴原方程的解是. 【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，解分式方程一定要注意验根. 33．； 【答案】 【分析】用换元法去解.设，将原方程化为含y的方程，解出y值后代入中求出x的值即可. 【详解】解：设 ，则 变形为 ∴ ∴2y2-9y+10=0， ∴（2y-5）(y-2)=0. ∴y1=；y2=2. 把y1=代入中，得 ， ∴2x2-5x+2=0 ∴ (2x-1)(x-2)=0 ∴ ， 把y2=2代入中，得 ∴x2-2x+1=0 ∴(x-1)2=0 ∴x3=x4=1. 经检验知：均为原方程的根. ∴原方程的根是 【点睛】本题考查用换元法解分式方程，把方程化为只含新未知数y的方程是关键. 34． 【答案】 【分析】用换元法解.设 ，原方程可化为y2-3y-4=0，解出y值代入中求出x即可. 【详解】解：设 ，则代入方程得 y2-3y-4=0， ∴（y-4）(y+1)=0. ∴y1=4；y2=-1. 把y1=4代入中，得 ， ∴ ， 把y2=-1代入中，得 ， ∴ 经检验知：均为原方程的根. ∴原方程的根是 【点睛】本题考查用换元法解分式方程，把方程化为只含新未知数y的方程是关键. 35．解分式方程 （1） （2） 【答案】（1）无解；（2）x＝﹣ 【分析】（1）两边同时乘以x-2化为整式方程，解得x=2后检验即可； （2）先去分母化为一元一次方程，解方程得到x=-，再检验即可. 【详解】（1）去分母得：1＝x﹣1﹣3x+6， 解得：x＝2， 经检验x＝2是增根，分式方程无解； （2）去分母得：﹣3（x+2）＝3（x+2）﹣6+x， 去括号得：﹣3x﹣6＝3x+6﹣6+x， 移项合并得：7x＝﹣6， 解得：x＝﹣， 经检验x＝﹣是分式方程的解． 【点睛】此题考查解分式方程，按照去分母化为整式方程，再去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程，得到解后必须代入最简公分母中检验，当未知数的值使分母为0，则该解不是分式方程的解，如果不等于0，则该解是原分式方程的解. 36．解方程： 【答案】x=. 【分析】先将原方程变形，再进一步化简转化为整式方程求解即可. 【详解】解:原方程可变形为， ， 化简得，， 即， ∴2x+5=0， 解得，x=, 检验，把x=代入≠0， ∴原方程的解为x=. 【点睛】此题主要考查了解分式方程，正确地将原方程变形是解决问题的关键. 37．解方程： 【答案】 【分析】首先令，利用换元法可得原方程为：，解此方程即可求得y的值，继而可求得x的值，注意分式方程需要检验. 【详解】解：令，则原方程变为： 方程两边同乘以y，得y2+2y-3=0 解得 经检验，都是的解 当y=1，即时，此时无解； 当y=-3，即时，解得 经检验，都是原分式方程的解. ∴原方程的解为. 【点睛】本题考查了解分式方程. 利用换元法将复杂的方程转化为常见的，易于计算的方程从而得到方程的解. 注意：分式方程需要进行检验. 38．解方程组：． 【答案】． 【分析】设，，把原方程组转化为二元一次方程组，求解后，再解分式方程即可． 【详解】解：设，， 则原方程组化为：， ①②得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 即， 解得：， 经检验是原方程组的解， 所以原方程组的解是． 【点睛】本题考查了换元法解方程组，解题关键是抓住方程组的特征，巧妙换元，熟练的解二元一次方程组和分式方程，注意：分式方程要检验． 39．已知（其中A，B为常数），求的值． 【答案】 【分析】去分母后得到整式方程，等号左边整理后与等号右边各项对应相等即可求出A、B，进而求得的值． 【详解】 去分母得， 整理得， ∴ 解得： ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查了解分式方程、二元一次方程组、幂的计算，熟练掌握二元一次方程组的求解方法是解题的关键． 40．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程；本题不是直接去分母，而是先“裂项”，把方程左边化简，再去分母解分式方程；首先根据“裂项”的方法化简方程左边，然后把分式方程化为整式方程，计算即可．解本题的关键在于充分利用运算规律计算． 【详解】解： ， ， ， ， ， ， ， ， ， 检验：是原分式方程的解， ∴原方程的解为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$