暑假作业12 分式方程的实际应用问题（11大题型）-【暑假分层作业】2025年八年级数学暑假培优练（北师大版）

完成时间： 月 日 天气： 作业12 分式方程的实际应用问题 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型一：由实际问题列分式方程 】 1．（2025·福建厦门·二模）林老师计划购买240颗糖果，要在校园活动日分给全班学生，正好能够平分；活动当日有10人请假，剩余的学生均分糖果每人能多分到2颗．设全班学生有x人，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山西朔州·三模）端午节是中国的传统节日，某商店销售甲、乙两种礼盒的粽子，经调查发现：用880元购进的甲礼盒数量是用400元购进的乙礼盒数量的2倍，且每个甲礼盒的进价比乙礼盒贵4元，设每个乙礼盒的进价为x元，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025八年级下·全国·专题练习）农机厂职工到距工厂的某地检修农机，一部分人骑自行车先走半小时后，其余人乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车速度为自行车速度的3倍．若设自行车的速度为，则所列方程为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·广东深圳·二模）深圳作为“无人机之都”，率先构建低空经济全产业链生态．某外卖订单按照传统方式配送，其行程为，若采用无人机配送，其行程只需，且配送时间比传统方式快．已知无人机配送速度是传统方式配送速度的倍，设传统方式配送速度为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·福建·二模）在古代建筑中，榫（sǔn）卯（mǎo）结构至关重要，它通过凸出的榫和凹进的卯精密配合连接，使得建筑物连接牢固且难以松动．工匠们制作了一种特定的榫卯组合，每个榫需要的木材比每个卯需要的木材多千克．已知用30千克木材制作榫的数量与用25千克木材制作卯的数量相同．设制作1个榫需要的木材为x千克，则符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·江苏淮安·二模）淮安马拉松全程的总赛程约为千米，途经众多历史人文景观和现代都市区域，参赛者将领略“伟人故里”“运河之都”“美食之都”“文化名城”四张城市名片的独特魅力（如图）．在同一场比赛中选手甲的平均速度是选手乙的倍，最终甲冲刺终点的时间比乙提早分钟，若乙的平均速度为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【题型二：行程问题 】 1．（24-25八年级上·四川德阳·期末）肖老师周末从市区某小区开车前往相距的成都天府国际机场，考虑到机场附近可能出现道路拥堵问题．为不耽误航班．实际开车的平均速度比原计划提高了，结果提前20分钟到达机场，则肖老师实际开车的平均速度是 ．    2．（2025·辽宁葫芦岛·二模）葫芦岛北到哈尔滨西的铁路里程约为，从葫芦岛北乘“G”字头列车A和“T”字头列车B都可到达哈尔滨西．已知A车的平均速度为B车的2倍，且行驶时间比B车少（中间站停车时间忽略不计）．请根据以上信息，求出列车A车的平均速度． 3．（2025·安徽合肥·三模）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译文为把一份文件用慢马送到900里外的城市需要的时间比规定时间多2天；如果用快马送，所需时间比规定时间少3天，已知快马速度是慢马速度的2倍，求规定时间是多少天？ 4．（2025·江苏扬州·二模）马小虎同学早上到离家1200米的学校上学，到学校后发现数学作业丢在家里了，此时还有30分钟上第一节课，于是他立即步行回家，在家拿数学作业用了2分钟，然后骑自行车返回学校，已知马小虎骑自行车的平均速度是步行平均速度的2.5倍，马小虎骑自行车到学校比他从学校步行到家少用了9分钟． (1)马小虎步行的平均速度是每分钟多少米？ (2)通过计算判断马小虎能否在第一节课上课前赶到学校？ 5．（24-25九年级下·重庆北碚·自主招生）甲、乙两地之间新修建了一条高速公路，比原来国道的长度减少了35千米，现两条公路一共长315千米． (1)求甲、乙两地之间的高速公路和原来国道各有多少千米？ (2)高速公路通车后，某长途货车的行驶速度比在原来国道上的行驶速度提高了，从甲地到乙地的行驶时间缩短了小时．求该长途货车在原来国道上行驶的速度． 【题型三：工程问题 】 1．（22-23八年级上·广西贵港·期末）为了改善生态环境，防止水土流失；某村计划在荒坡上种480棵树．由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种，结果提前4天完成任务．则原计划每天种树（    ） A．30棵 B．28棵 C．25棵 D．20棵 2．（2025·江苏南京·二模）机器狗在景区充当“挑山工”的现象成为今年“五一”文旅市场的一大亮点．景区有300千克货物需要搬运．已知机器狗A每小时能搬运的货物重量是机器狗B的倍，机器狗A单独搬运货物所需的时间比机器狗B少1小时．求两只机器狗每小时分别能搬运多少千克的货物． 3．（2025·云南西双版纳·二模）为保障某蔬菜基地的种植用水，需要修一条灌溉水渠．现在有两个施工队参与修渠，甲施工队比乙施工队每天多修30米水渠．甲施工队修750米水渠所用的时间和乙施工队修500米水渠所用的时间相同．甲，乙两个施工队每天分别修多少米水渠？ 4．（2025·重庆·模拟预测）列方程解应用题：为发展农业新质生产力，重庆农科院研发的智能采茶机器人正式上岗作业．经测试，每分钟一名工人采茶的数量比一台机器人采茶的数量少5片，若一名工人采茶6分钟、一台机器人采茶10分钟，共采茶450片． (1)分别求出一名工人和一台机器人每分钟采茶的片数； (2)经科研人员研发指导，工人和机器人的采茶速度都得以提高，机器人每分钟比之前多采片茶叶，工人每分钟比之前多采a片茶叶，这样，一台机器人采1200片茶叶所用的时间是一名工人采600片茶叶所用时间的1.5倍，求出a的值． 5．（2025·辽宁阜新·二模）某工程队承接一项隧道工程，在挖掘一条520米长的隧道时，为了尽快完成，实际施工时每天挖掘的长度是原计划的1.5倍，结果提前了30天完成了其中360米的隧道挖掘任务． (1)求实际每天挖掘多少米？ (2)由于气候等原因，需要进一步缩短工期，要求完成整条隧道不超过80天，那么为了完成剩下的任务，在实际每天挖掘长度的基础上，至少每天还应多挖掘多少米？ 【题型四：销售问题 】 1．（24-25八年级上·山东菏泽·期末）某商场用3000元购进某种商品，售完后，第二次购进时，每件商品进价提高了，同样用3000元购进商品的数量比第一次少了10件，则第一次购进每件商品的进价为（　　） A．50元 B．60元 C．70元 D．80元 2．（2025八年级下·全国·专题练习）某书店在开学之初用760元购进工具书若干本，按每本20元出售，很快销售一空，据了解学生还急需2倍这种工具书，于是又用1300元购进所需工具书，由于量大每本进价比上次优惠2元，该店仍按每本20元出售，最后剩下2本按七五折卖出，这笔生意该店共盈利 元． 3．（24-25八年级上·河南漯河·期末）某网店用5000元购进一批新品种草莓进行试销，由于销售状况良好，网店又用11000元第二次购进的该品种草莓，但第二次的进货价比试销时每千克多了0.5元，第二次购进的草莓数量是试销时的2倍．试销时该品种草莓的进货价是每千克 元，两次共购进草莓 千克． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）某学校去年通过采购平台在某体育用品店购买A品牌足球共花费2880元，B品牌足球共花费3000元，且购买A品牌足球数量是B品牌数量的倍，每个足球的售价A品牌比B品牌便宜12元 (1)求去年A品牌足球和B品牌足球的单价； (2)今年需要从该店再购买A、B两种足球共60个，已知今年该店对每个足球的售价进行了调整，A品牌比去年降低了，B品牌比去年提高了，如果今年购买A、B两种足球的总费用不超过去年总费用的一半，那么学校至少要购买多少个A 品牌足球？ 5．（2025·重庆·三模）为了美化校园环境，学校在今年2月份购进了、两种盆栽，每种盆栽均花费了4000元，其中种盆栽的数量比种盆栽的数量少100盆，已知2月份种盆栽的单价是种盆栽的单价的2倍． (1)请问学校在2月份购进种盆栽和种盆栽各多少盆？ (2)3月份学校再次购进了、两种盆栽，其中种盆栽单价有折扣优惠，种盆栽单价不变，学校3月份购进的种盆栽的数量比2月份购进的数量增加了，3月份购进的种盆栽的数量比2月份的减少了75盆，结果学校3月份购进、两种盆栽的总费用比2月份的总费用少了1180元，请问种盆栽打了几折？ 【题型五：和差倍分问题 】 1．（24-25八年级上·山东东营·期中）“五•一”期间，几名同学共同包租一辆面包车去某地旅游，面包车的租价为120元，出发时又有2名同学参加进来，结果每位同学少分摊3元，则原来旅游同学的人数为（　　） A．8人 B．10人 C．12人 D．30人 2．（23-24八年级下·云南昭通·期末）在运动会到来之际，八年级（3）班计划学生自制30个运动会入场表演道具，现因时间紧迫，将制作道具任务委托给商家，已知商家的制作速度是学生的倍，商家制作完这批道具比学生自制少用5小时，则学生每小时制作道具的个数是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 3．（2023上·福建福州·八年级福建省福州屏东中学校考期中）学校要举行跳绳比赛，同学们都积极练习．甲同学跳120个所用的时间，乙同学可以跳180个；又已知甲每分钟比乙少跳20个，求每人每分钟各跳多少个？ 4．（2023上·四川广元·八年级统考期末）某社区拟建，两类摊位以搞活“地摊经济”，每个类摊位的占地面积比每个类摊位的占地面积多2平方米．用60平方米建类摊位的个数恰好是用同样面积建类摊位个数的？ (1)求每个，类摊位占地面积各为多少平方米； (2)该社区拟建，两类摊位共90个，且类摊位的数量不少于类摊位数量的3倍．求最多建多少个类摊位． 【题型六： 图形问题 】 1．（2023下·安徽合肥·八年级合肥市第四十五中学校考阶段练习）一根水管因使用日久，内壁均匀地形成一层厚2mm的附着物，而导致流通截面面积减少至原来的，这根水管原来的内壁直径是（    ） A．8mm B．9mm C．16mm D．18mm 2．（2024·安徽合肥·二模）如图，合肥市某画家书画作品装裱前是一个长为米，宽为米的矩形，对此画四周加上宽度相同的边衬进行装裱，装裱后整幅图画长与宽的比是，求边衬的宽度． 3．（2023下·重庆沙坪坝·八年级重庆一中校考阶段练习）如图1，在一张长方形纸片的四个角分别剪去一个边长相等的正方形，可折叠成如图2的一个无盖长方体纸盒． 图1                                                     图2 (1)若图1中原长方形纸片长，宽，被剪掉的正方形边长为，折叠得到的无盖长方体纸盒的长、宽、高之和为，求a的值； (2)现有60张同样规格的长方形纸片，可制作成60个无盖长方体纸盒，剪下来的正方形恰好全部制作成正方体（每个正方体需要6个正方形），现把20名同学分为甲、乙两组，甲组制作无盖长方体纸盒，乙组制作正方体，若甲组平均每人制作的无盖长方体纸盒个数是乙组平均每人制作的正方体个数的一半，求甲组有多少名同学？ 4．（2023下·浙江杭州·八年级阶段练习）为抗击新冠疫情，义乌市某企业承接了一批口罩所需包装盒的制作业务，该企业进行了前期的试生产，如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸箱，（加工时接缝材料不计） （1）该企业原计划用若干天加工纸箱300个，后来由于提升工作效率，实际加工时每天加工速度为原计划的1.5倍，这样提前3天超额完成了任务，且总共比原计划多加工15个，问原计划每天加工包装盒多少个； （2）若该企业购进正方形纸板550张，长方形纸板1200张．问竖式纸盒，横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完； （3）该企业某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板100张，长方形纸板a张，全部加工成上述两种纸盒，且，试求在这一天加工两种纸盒时a的所有可能值．（请直接写出结果） 【题型七： 航行问题 】 1．（2023上·天津和平·八年级天津市汇文中学校考期末）一条船往返于甲，乙两港之间，由甲至乙是顺水行驶，由乙至甲是逆水行驶，已知船在静水中的速度为，平时逆水航行与顺水航行所用的时间比为，某天恰逢暴雨，水流速度是原来的2倍，这条船往返共用了．则甲，乙两港之间的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山东滨州·期末）一艘轮船在静水中的最大航速为，它以最大航速沿江顺流航行所用时间与最大航速逆流航行所用时间相等，则江水的流速为 ． 3．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）轮船顺水航行所需要的时间与逆水航行所需要的时间相同，已知水流的速度是，则轮船在静水中的速度为 ． 4．（2023·浙江杭州·八年级期末）一艘轮船在静水中的最大航速为，它以最大航速沿江顺流航行所用时间是以最大航速逆流航行所用时间的1.2倍，则江水的流速为多少？ 【题型一： 素材问题 】 1．（2023下·浙江绍兴·八年级统考期末）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计奖品购买及兑换方案？ 素材1 某文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔的单价是笔记本的2倍，用120元购买笔记本的数量比用160元购买钢笔的数量多8件． 素材2 某学校花费400元购买该文具店的钢笔和笔记本作为奖品颁发给“优秀学生”，购买钢笔和笔记本的数量之比为． 素材3 学校花费400元后，文具店赠送张兑换券（如右）用于商品兑换．兑换后，笔记本与钢笔数量相同．    问题解决 任务1 探求商品单价 请运用适当方法，求出钢笔与笔记本的单价． 任务2 探究购买方案 探究购买钢笔和笔记本的数量． 任务3 确定兑换方式 运用数学知识，确定兑换方式． 2．（2023下·浙江温州·八年级苍南县金乡镇第二中学校联考阶段练习）根据以下素材，探索完成任务. 奶茶销售方案制定问题 素材1 当下年轻人喜欢喝奶茶，在入夏之际某知名奶茶品牌店推出两款爆款水果茶“满杯杨梅”和“芝士杨梅”．每杯“芝士杨梅”的售价比“满杯杨梅”贵2元，购买1杯“芝士杨梅”和2杯“满杯杨梅”共需53元． 素材2 两款奶茶配料表如下： 芝士杨梅 配料 芝士/杯 茉莉清茶/杯 杨梅肉 多肉   满杯杨梅 配料 茉莉清茶/杯 杨梅肉 多肉   素材3 5月27日当天销售“芝士杨梅”共获利润400元，“满杯杨梅”获利润480元，其中每杯“芝士杨梅”的利润是每杯“满杯杨梅”的倍，“满杯杨梅”比“芝士杨梅”多卖20杯． 素材4 由于芝士保质期将至，为了去库存，5月28日决定对“芝士杨梅”每杯降价4元促销，并要求当天芝士消耗量不少于3500mL，配制的17500mL茉莉清茶全部用于制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”． 问题解决 任务1 确定奶茶的售价 每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的售价是多少？ 任务2 确定奶茶的成本 每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的成本是多少？（） 任务3 拟定最优方案 为了使5月28日这两种奶茶获利最大，需制做“芝士杨梅”和“满杯杨梅”共多少杯？ 3．（2023下·浙江湖州·八年级校考期末）根据素材，完成活动任务： 素材一 为鼓励学生积极参加学校劳动，养成劳动习惯，培养劳动品质某校“方志实践”劳动基地打算用如图所示的围栏搭建一块蔬菜基地．已知围栏的横杠长为15dm，竖杠长为8dm 一副围栏由2个横杠，5个竖杠制作而成    素材二 项目化学习小组到市场了解到：现木材市场的这种规格的围栏材料每根长为40dm，价格为50元/根．为了深度参与学校蔬菜基地的建立，项目化小组打算自己购买材料，制作搭建蔬菜基地的围栏同时为了围栏的牢固性，用料不能是拼接而成． 解决问题 任务要求 解决办法 任务一 一根40dm长的围栏材料有哪些裁剪方法呢？（余料作废）． 方法①：当只裁剪8dm长的竖杠时，最多可裁剪_______________根； 方法②：当先裁剪下1根15dm长的横杠时，余下部分最多能裁剪8dm长的竖杠_______________根； 方法③：当先裁剪下2根15dm长的横杠时，余下部分最多能裁剪8dm长的竖杠________________根： 任务二 基地负责老师告诉项目化学习小组：搭建蔬菜基地需要用到的围栏长为75dm（即需要制作5副围栏，需要的用料为：25个竖杠，10个横杠），请完成裁剪并计算费用． 项目化小组打算用“任务一”中的方法②和方法③完成裁剪任务．请计算：分别用“任务一”中的方法②和方法③各裁剪多少根40dm长的围栏材料，才能刚好得到所需要的相应数量的用料？并求出购买围栏材料的费用． 任务三 某安装技术人员告诉项目化小组同学：我们在单位时间内可以安装m根竖杠或（7－m）根横杠．现需知道技术人员的安装效率． 任务二中的5副围栏安装完毕时，项目化小组发现技术人员安装竖杠所需的时间与安装横杠所需的时间相同，则m＝_______________． 【题型二：方案问题 】 1．（2024春•江山市期末）“三头一掌”是衢州地方特色美食，其中最具代表性的是鸭头和兔头．在某品牌销售店中，已知一个鸭头的价格与一个兔头的价格和为23元，用40元购进鸭头的个数与用75元购进兔头的个数相同． （1）求出鸭头和兔头的单价． （2）某位游客在该销售店中购买鸭头和兔头恰好用了320元（鸭头和兔头都购买），请写出所有购买方案． 2．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）为迎接“五一”小长假购物高潮，某品牌专卖店准备购进甲、乙两种衬衫，其中甲、乙两种衬衫的进价和售价如下表： 衬衫价格 甲 乙 进价（元/件） 售价（元/件） 若用元购进甲种衬衫的数量与用元购进乙种衬衫的数量相同． (1)求甲、乙两种衬衫每件的进价； (2)要使购进的甲、乙两种衬衫共件的总利润不少于元，且不超过元，问该专卖店有几种进货方案． 3．（2023上·湖南永州·八年级统考期中）在甲、乙两公司全体员工捐款活动中，甲公司共捐款100000元，乙公司共捐款140000元．下面是甲、乙两公司员工的一段对话： 甲公司员工：我们公司的人数比你们公司少20人 乙公司员工：我们公司的人均捐款数是你们公司的倍 (1)甲、乙两公司各有多少人？ (2)现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买A、B两种物资，A种物资每箱15000元，B种物资每箱12000元．若购买B种物资不少于10箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？请设计出来．（注：A、B两种物资均需购买，并按整箱配送．） 4．（湖北省武汉市部分学校2024—2025学年下学期五月质量检测八年级数学试题）为了迎接“五一 ”小长假的客流高峰，某商场准备购进甲，乙两种运动鞋，其中甲，乙两种运动鞋的进价和售价如下表： 运动鞋价格/种类 甲 乙 进价元/双 m 售价元/双 100 160 已知用3000 元购进甲种运动鞋的数量与用4000 元购进乙种运动鞋的数量相同． (1)求 m 的值． (2)要使购进的甲，乙两种运动鞋共 220 双的总利润（利润售价进价），不少于 12400 元，且不超过 13120 元， 问该商场有几种进货方案？ (3)在（2）的条件下，商场准备对乙种运动鞋进行优惠促销活动，决定对乙种运动鞋每双优惠 元出售，甲种运动鞋价格不变，那么该商场要获得最大利润应如何进货？ 【题型一：分式方程与不等式（组）应用的综合 】 1．（2025·贵州毕节·一模）某市区通过绘制城市主题“文化墙”来弘扬中华优秀传统文化．为确保任务按时完成，现安排甲、乙两支队伍进行城市主题墙绘制作业．已知甲队比乙队平均每人每天多绘制平方米，且甲队每人绘制平方米所用时间与乙队每人绘制平方米所用时间相同． (1)甲队和乙队平均每人每天各绘制多少平方米？ (2)该市安排甲、乙两队共人同时进行主题墙绘制作业，为确保每天完成超过平方米的绘制任务，至少要安排甲队人员多少人？ 2．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）某超市销售甲、乙两种商品，五月份该超市同时购进甲、乙两种商品共80件，购进甲种商品用去400元，购进乙种商品用去1200元． (1)已知每件乙种商品的进价是每件甲种商品的进价的3倍，求甲、乙两种商品每件的进价 (2)由于甲、乙这两种商品受到市民欢迎，六月份超市决定再次购进甲、乙两种商品共80件，且保持（1）的进价不变，已知甲种商品每件的售价15元，乙种商品每件的售价40元．要使六月份购进的甲、乙两种商品共80件全部销售完的总利润不少于600元，那么该超市最多购进甲种商品多少件？ 3．（2025·河南许昌·二模）“一笔一世界，一划一时光”，如图是一款便携小楷软笔头——钢笔式毛笔，它巧妙地将传统毛笔的韵味和现代钢笔的便捷融为一体，让书写变得更加自由流畅．某商家欲购进甲、乙两种钢笔式毛笔进行销售．已知一套甲种钢笔式毛笔比一套乙种钢笔式毛笔进价少4元，且用480元购买甲种钢笔式毛笔的数量是用360元购买乙种钢笔式毛笔数量的2倍． (1)求这两种钢笔式毛笔的进价分别为多少元？ (2)若购买的甲乙两种钢笔式毛笔的总数量为50套，且总费用不超过500元，则甲种钢笔式毛笔至少购买多少套？ 4．（2025年湖北省荆楚联盟中考三模数学试题）鲜桃刚上市，某水果店率先用1000元购进了一批鲜桃，前两天以高于进价的价格卖出；第三天水果店又用1000元购进了一批鲜桃，由于进价降低了，这一批鲜桃多购进． (1)求水果店购进第一批鲜桃的数量； (2)注意到市场上鲜桃数量逐渐增多，水果店主决定将剩余和新进鲜桃在原销售价的基础上，全部降价元（为整数）销售．实际销售过程中，平均每天销售量相对于前两天平均每天增加了，仅仅销售两天，剩下量不超过． ①求的值； ②若店主将剩余鲜桃以20元的价格全部卖完，求前后一共获利多少元． 【题型二：分式方程与一次函数应用的综合 】 1．（2025·河南省直辖县级单位·一模）2025年3月10日，西昌卫星发射中心成功发射通信技术试验卫星十五号，标志着我国航天技术取得重大突破．作为青少年，自豪感油然而生，某学校为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，计划给科技社团购买一批航空、航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，用2000元购买航空模型的数量是用1800元购买航海模型数量的． (1)求航空和航海模型的单价； (2)学校采购时恰逢该商场“迎五一劳动节”促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，且航空模型数量不少于航海模型数量的，请问分别购买多少个航空和航海模型时，学校花费最少？ 2．（2025年河南省普通高中招生名校联考三模数学试题）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，相关的玩偶也跟着热销，小郑准备在网上开设一家玩偶专卖店，已知用600元购买款哪吒玩偶的个数与用900元购买款哪吒玩偶个数相等，且款哪吒玩偶单价比款哪吒玩偶单价多3元． (1)，款哪吒玩偶每个各多少元？ (2)试营业时计划购买款哪吒玩偶共200个，其中款哪吒玩偶的数量不超过款哪吒玩偶数量的，求购买款哪吒玩偶多少个时，购买这批玩偶总费用最低，最低费用是多少元？ 3．（22-23八年级下·山东青岛·期中）某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如表： 进价（元/张） 零售价（元/张） 成套售价（元/套） 餐桌 150 270 500元 餐椅 40 70 (1)商场计划购进餐桌，餐椅共100张且总进价低于5100元，求最多能购买多少张餐桌？ (2)若该商场购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过200张，该商场计划将一半的餐桌成套销售（一张餐桌加四张椅子为一套），其余餐桌、餐椅以零售方式销售，请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？ 4．（24-25七年级下·安徽合肥·阶段练习）超市准备购进甲、乙两种商品，甲商品的进货单价比乙商品多20元/件，用6000元购进甲商品的数量与用4800元购进乙商品的数量相同． (1)求甲商品的进货单价； (2)甲、乙两种商品的售价分别为160元/件、120元/件，要求：购进这两种商品共200件，且全部销售的总利润不少于10800元． ①超市购进甲商品最少为多少件？ ②若购进甲商品不超过155件，且销售甲商品时优惠元/件．超市要获得最大利润应如何进货？ 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业12 分式方程的实际应用问题 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型一：由实际问题列分式方程 】 1．（2025·福建厦门·二模）林老师计划购买240颗糖果，要在校园活动日分给全班学生，正好能够平分；活动当日有10人请假，剩余的学生均分糖果每人能多分到2颗．设全班学生有x人，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了列分式方程，确定等量关系是列分式方程的关键．由题意可表示原计划每人能分到的糖果，及实际每人分到的糖果，再根据原计划每人能分到的糖果实际每人分到的糖果列出方程即可． 【详解】根据题意得：． 故选：A． 2．（2025·山西朔州·三模）端午节是中国的传统节日，某商店销售甲、乙两种礼盒的粽子，经调查发现：用880元购进的甲礼盒数量是用400元购进的乙礼盒数量的2倍，且每个甲礼盒的进价比乙礼盒贵4元，设每个乙礼盒的进价为x元，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查从实际问题中抽象出分式方程，设每个乙礼盒的进价为x元，则每个甲礼盒的进价为元，根据用880元购进的甲礼盒数量是用400元购进的乙礼盒数量的2倍即可列出方程． 【详解】解：设每个乙礼盒的进价为x元，则每个甲礼盒的进价为元， 根据题意得：， 故选：B． 3．（2025八年级下·全国·专题练习）农机厂职工到距工厂的某地检修农机，一部分人骑自行车先走半小时后，其余人乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车速度为自行车速度的3倍．若设自行车的速度为，则所列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了列分式方程，根据骑自行车先走半小时，但骑自行车和乘汽车的人同时到达为等量关系列出分式方程即可． 【详解】解：设自行车的速度为，则汽车速度为， 根据题意可得：， 故选：C 4．（2025·广东深圳·二模）深圳作为“无人机之都”，率先构建低空经济全产业链生态．某外卖订单按照传统方式配送，其行程为，若采用无人机配送，其行程只需，且配送时间比传统方式快．已知无人机配送速度是传统方式配送速度的倍，设传统方式配送速度为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的应用，找到合适的等量关系是解决问题的关键，行程问题常用的等量关系为：时间路程速度．设传统方式配送速度为，则采用无人机配送的速度是，根据采用无人机配送，其行程只需，且配送时间比传统方式快，列出方程即可． 【详解】解：设传统方式配送速度为，则采用无人机配送的速度是，根据题意： ， 故选：B． 5．（2025·福建·二模）在古代建筑中，榫（sǔn）卯（mǎo）结构至关重要，它通过凸出的榫和凹进的卯精密配合连接，使得建筑物连接牢固且难以松动．工匠们制作了一种特定的榫卯组合，每个榫需要的木材比每个卯需要的木材多千克．已知用30千克木材制作榫的数量与用25千克木材制作卯的数量相同．设制作1个榫需要的木材为x千克，则符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是分式方程的应用，设制作1个榫需要的木材为x千克，则每个卯需要的木材为千克，结合30千克木材制作榫的数量与用25千克木材制作卯的数量相同，再建立方程即可． 【详解】解：设制作1个榫需要的木材为x千克，则每个卯需要的木材为千克，则 ， 故选：A 6．（2025·江苏淮安·二模）淮安马拉松全程的总赛程约为千米，途经众多历史人文景观和现代都市区域，参赛者将领略“伟人故里”“运河之都”“美食之都”“文化名城”四张城市名片的独特魅力（如图）．在同一场比赛中选手甲的平均速度是选手乙的倍，最终甲冲刺终点的时间比乙提早分钟，若乙的平均速度为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的应用，设乙的平均速度为，由题意列出方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设乙的平均速度为，则甲的平均速度为， 由题意得：， 故选：． 【题型二：行程问题 】 1．（24-25八年级上·四川德阳·期末）肖老师周末从市区某小区开车前往相距的成都天府国际机场，考虑到机场附近可能出现道路拥堵问题．为不耽误航班．实际开车的平均速度比原计划提高了，结果提前20分钟到达机场，则肖老师实际开车的平均速度是 ．    【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用，原计划所需时间实际所用时间小时，据此列方程，即可求解；找出等量关系式是解题的关键． 【详解】解：设原计划的开车的平均速速为 ，由题意得 ， 解得：， 经检验：是所列方程的解，且符合实际意义， （）， 肖老师实际开车的平均速度是 ； 故答案为：． 2．（2025·辽宁葫芦岛·二模）葫芦岛北到哈尔滨西的铁路里程约为，从葫芦岛北乘“G”字头列车A和“T”字头列车B都可到达哈尔滨西．已知A车的平均速度为B车的2倍，且行驶时间比B车少（中间站停车时间忽略不计）．请根据以上信息，求出列车A车的平均速度． 【答案】A车的平均数速度为 【分析】本题主要考查的是分式方程的应用，找出题目的相等关系是解题的关键． 设B车的平均速度为，则A车的平均数速度为，然后依据A车行驶时间比B车少列方程求解即可． 【详解】解：设B车的平均速度为，则A车的平均数速度为， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， 答：A车的平均数速度为． 3．（2025·安徽合肥·三模）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译文为把一份文件用慢马送到900里外的城市需要的时间比规定时间多2天；如果用快马送，所需时间比规定时间少3天，已知快马速度是慢马速度的2倍，求规定时间是多少天？ 【答案】规定时间为8天 【分析】此题考查了分式方程的应用，设规定时间为x天，快马速度是慢马速度的2倍，据此列分式方程，解方程并检验即可． 【详解】解：设规定时间为x天， 由题意得：， 解得，经检验是所列方程的根，且符合题意 答：规定时间为8天． 4．（2025·江苏扬州·二模）马小虎同学早上到离家1200米的学校上学，到学校后发现数学作业丢在家里了，此时还有30分钟上第一节课，于是他立即步行回家，在家拿数学作业用了2分钟，然后骑自行车返回学校，已知马小虎骑自行车的平均速度是步行平均速度的2.5倍，马小虎骑自行车到学校比他从学校步行到家少用了9分钟． (1)马小虎步行的平均速度是每分钟多少米？ (2)通过计算判断马小虎能否在第一节课上课前赶到学校？ 【答案】(1)马小虎步行的平均速度是每分钟80米 (2)能 【分析】本题考查了分式方程的应用，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键． （1）设马小虎步行的平均速度是每分钟x米，根据骑自行车到学校比他从学校步行到家少用了9分钟，即可列出分式方程，解方程并检验后可得答案； （2）求出马小虎步行回家和骑自行车到学校所用的时间，即可得出结论． 【详解】（1）解：设马小虎步行的平均速度是每分钟x米，则马小虎骑自行车的平均速度是每分钟米， 由题意得：， 解得：， 经检验：是所列方程的解，且符合题意， 答：马小虎步行的平均速度是每分钟80米； （2）解：因为， 所以马小虎能在第一节课上课前赶到学校． 5．（24-25九年级下·重庆北碚·自主招生）甲、乙两地之间新修建了一条高速公路，比原来国道的长度减少了35千米，现两条公路一共长315千米． (1)求甲、乙两地之间的高速公路和原来国道各有多少千米？ (2)高速公路通车后，某长途货车的行驶速度比在原来国道上的行驶速度提高了，从甲地到乙地的行驶时间缩短了小时．求该长途货车在原来国道上行驶的速度． 【答案】(1)175千米 (2)50千米/小时 【分析】本题考查一元一次方程和分式方程的应用，解题关键是根据路程、速度、时间的关系准确设未知数并列出方程求解． （1）设高速公路长度为x千米，根据高速公路与国道长度关系表示出国道长度．依据两条公路总长度列出一元一次方程，求解得到高速公路和国道长度． （2）设货车在原来国道上速度为y千米/小时，根据速度提高比例得出高速公路上速度．利用路程、速度、时间关系，结合行驶时间缩短量列出分式方程，求解并检验得到货车在原来国道上的速度． 【详解】（1）设甲、乙两地之间的高速公路为千米，则甲、乙两地之间的原来国道为千米，由题意得： ， 解得：， ， 答：甲、乙两地之间的高速公路为140千米，甲、乙两地之间的原来国道为175千米； （2）设长途货车在原来国道上行驶的速度为千米/小时，则长途货车在高速公路上行驶的速度为， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：该长途货车在原来国道上行驶的速度为50千米/小时． 【题型三：工程问题 】 1．（22-23八年级上·广西贵港·期末）为了改善生态环境，防止水土流失；某村计划在荒坡上种480棵树．由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种，结果提前4天完成任务．则原计划每天种树（    ） A．30棵 B．28棵 C．25棵 D．20棵 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设原计划每天种树棵，则实际每天种树棵，利用工作时间工作总量工作效率，结合实际比原计划提前4天完成任务，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【详解】解：设原计划每天种树棵，则实际每天种树棵， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 原计划每天种树30棵． 故选：A 2．（2025·江苏南京·二模）机器狗在景区充当“挑山工”的现象成为今年“五一”文旅市场的一大亮点．景区有300千克货物需要搬运．已知机器狗A每小时能搬运的货物重量是机器狗B的倍，机器狗A单独搬运货物所需的时间比机器狗B少1小时．求两只机器狗每小时分别能搬运多少千克的货物． 【答案】A型机器人每小时搬运60千克，B型机器人每小时搬运50千克． 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，理解题意列出分式方程是解题的关键． 设B型机器人每小时搬运x千克，则A型机器人每小时搬运千克，再根据题意列出分式方程求解并检验即可解答． 【详解】解：设B型机器人每小时搬运x千克，则A型机器人每小时搬运千克， 根据题意得：，解得：， 经检验：为分式方程的解， 则． 答：A型机器人每小时搬运60千克，B型机器人每小时搬运50千克． 3．（2025·云南西双版纳·二模）为保障某蔬菜基地的种植用水，需要修一条灌溉水渠．现在有两个施工队参与修渠，甲施工队比乙施工队每天多修30米水渠．甲施工队修750米水渠所用的时间和乙施工队修500米水渠所用的时间相同．甲，乙两个施工队每天分别修多少米水渠？ 【答案】甲，乙两个施工队每天分别修90米、60米水渠 【分析】本题考查了分式方程的应用，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键； 设乙施工队每天修x米水渠，则甲施工队每天修米水渠，根据：甲施工队修750米水渠所用的时间和乙施工队修500米水渠所用的时间相同，即可列出关于x的分式方程，解方程并检验后即可得出答案． 【详解】解：设乙施工队每天修x米水渠，则甲施工队每天修米水渠， 根据题意，得， 解得：， 经检验：是所列方程的解，， 答：甲，乙两个施工队每天分别修90米、60米水渠． 4．（2025·重庆·模拟预测）列方程解应用题：为发展农业新质生产力，重庆农科院研发的智能采茶机器人正式上岗作业．经测试，每分钟一名工人采茶的数量比一台机器人采茶的数量少5片，若一名工人采茶6分钟、一台机器人采茶10分钟，共采茶450片． (1)分别求出一名工人和一台机器人每分钟采茶的片数； (2)经科研人员研发指导，工人和机器人的采茶速度都得以提高，机器人每分钟比之前多采片茶叶，工人每分钟比之前多采a片茶叶，这样，一台机器人采1200片茶叶所用的时间是一名工人采600片茶叶所用时间的1.5倍，求出a的值． 【答案】(1)一台机器人每分钟采茶的片数为30，则一名工人每分钟采茶的片数为25 (2) 【分析】此题考查了一元一次方程和分式方程的应用， （1）设一台机器人每分钟采茶的片数为x，则一名工人每分钟采茶的片数为，根据题意列出一元一次方程求解即可； （2）根据题意列出分式方程求解即可． 【详解】（1）设一台机器人每分钟采茶的片数为x，则一名工人每分钟采茶的片数为 根据题意得， 解得 ∴ ∴一台机器人每分钟采茶的片数为30，则一名工人每分钟采茶的片数为25； （2）根据题意得， 解得 经检验，是原方程的解． 5．（2025·辽宁阜新·二模）某工程队承接一项隧道工程，在挖掘一条520米长的隧道时，为了尽快完成，实际施工时每天挖掘的长度是原计划的1.5倍，结果提前了30天完成了其中360米的隧道挖掘任务． (1)求实际每天挖掘多少米？ (2)由于气候等原因，需要进一步缩短工期，要求完成整条隧道不超过80天，那么为了完成剩下的任务，在实际每天挖掘长度的基础上，至少每天还应多挖掘多少米？ 【答案】(1)实际每天挖掘6米 (2)至少每天应多挖掘2米 【分析】此题主要考查了分式方程的应用，以及一元一次不等式的应用，在工程问题中，工作量=工作效率×工作时间．在列分式方程解应用题的时候，也要注意进行检验． （1）设原计划每天挖掘x米，则实际每天挖掘米，根据结果提前了30天完成了其中360米的隧道挖掘任务，列方程求解； （2）设每天还应多挖掘m米．根据完成该项工程的工期不超过80天，列不等式进行分析． 【详解】（1）解：设计划每天挖掘米，根据题意，得 ，， 解得． 经检验是原方程的根． 实际每天挖掘为米． 答：实际每天挖掘6米． （2）解：设每天应多挖掘米，根据题意得， 解得． 答：至少每天应多挖掘2米． 【题型四：销售问题 】 1．（24-25八年级上·山东菏泽·期末）某商场用3000元购进某种商品，售完后，第二次购进时，每件商品进价提高了，同样用3000元购进商品的数量比第一次少了10件，则第一次购进每件商品的进价为（　　） A．50元 B．60元 C．70元 D．80元 【答案】A 【分析】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是理解题意；设第一次购进每件商品的进价为x元，则第二次购进的商品进价为元，然后根据题意列出方程进行求解即可． 【详解】解：设第一次购进每件商品的进价为x元，则第二次购进的商品进价为元，由题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解； ∴第一次购进每件商品的进价为50元； 故选：A． 2．（2025八年级下·全国·专题练习）某书店在开学之初用760元购进工具书若干本，按每本20元出售，很快销售一空，据了解学生还急需2倍这种工具书，于是又用1300元购进所需工具书，由于量大每本进价比上次优惠2元，该店仍按每本20元出售，最后剩下2本按七五折卖出，这笔生意该店共盈利 元． 【答案】1230 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设第一批购进该工具书x本，则第二批购进该工具书2x本，根据单价＝总价÷数量结合第二批的进价比第一批便宜2元，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可求出第一批及第二批购进的数量，再利用总利润＝销售单价×数量﹣进价，即可求出结论． 【详解】解：设第一批购进该工具书x本，则第二批购进该工具书本， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． ∴（元）． 故答案为：1230． 3．（24-25八年级上·河南漯河·期末）某网店用5000元购进一批新品种草莓进行试销，由于销售状况良好，网店又用11000元第二次购进的该品种草莓，但第二次的进货价比试销时每千克多了0.5元，第二次购进的草莓数量是试销时的2倍．试销时该品种草莓的进货价是每千克 元，两次共购进草莓 千克． 【答案】 5 3000 【分析】本题考查了分式方程的应用．设试销时该品种草莓的进货价是每千克元，则第二次进货价为元，根据题意列出分式方程求解；再根据题意列式求解即可． 【详解】解：设试销时该品种草莓的进货价是每千克元，则第二次的进货价为元， 由题意得，， 解得：，     经检验，是原分式方程的解，且符合题意． ∴（千克） ∴两次共购进草莓3000千克． 答：试销时该品种草莓的进货价是每千克5元；两次共购进草莓3000千克． 故答案为：5，3000 4．（2025七年级下·全国·专题练习）某学校去年通过采购平台在某体育用品店购买A品牌足球共花费2880元，B品牌足球共花费3000元，且购买A品牌足球数量是B品牌数量的倍，每个足球的售价A品牌比B品牌便宜12元 (1)求去年A品牌足球和B品牌足球的单价； (2)今年需要从该店再购买A、B两种足球共60个，已知今年该店对每个足球的售价进行了调整，A品牌比去年降低了，B品牌比去年提高了，如果今年购买A、B两种足球的总费用不超过去年总费用的一半，那么学校至少要购买多少个A 品牌足球？ 【答案】(1)去年A品牌足球的单价为48元，B品牌足球的单价为60元 (2)50 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，理解题意，正确找出数量关系是解题的关键． （1）设去年A品牌足球的单价为元，则去年B品牌足球的单价为元，根据“购买A品牌足球数量是B品牌数量的倍”列方程即可求解； （2）先求出今年A、B两种品牌的单价，再设学校今年购买个A品牌足球，根据“今年购买A、B两种足球的总费用不超过去年总费用的一半”列不等式即可求解． 【详解】（1）解：设去年A品牌足球的单价为元，则去年B品牌足球的单价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解， 则去年B品牌足球的单价为（元）， 答：去年A品牌足球的单价为48元，B品牌足球的单价为60元． （2）解：今年A品牌足球的单价为（元）， 今年B品牌足球的单价为（元）， 设学校今年购买个A品牌足球， 根据题意，得， 解得， 答：学校至少要购买50个A 品牌足球． 5．（2025·重庆·三模）为了美化校园环境，学校在今年2月份购进了、两种盆栽，每种盆栽均花费了4000元，其中种盆栽的数量比种盆栽的数量少100盆，已知2月份种盆栽的单价是种盆栽的单价的2倍． (1)请问学校在2月份购进种盆栽和种盆栽各多少盆？ (2)3月份学校再次购进了、两种盆栽，其中种盆栽单价有折扣优惠，种盆栽单价不变，学校3月份购进的种盆栽的数量比2月份购进的数量增加了，3月份购进的种盆栽的数量比2月份的减少了75盆，结果学校3月份购进、两种盆栽的总费用比2月份的总费用少了1180元，请问种盆栽打了几折？ 【答案】(1)学校2月份购进A种盆栽100盆，B种盆栽200盆 (2)九折 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次方程的应用：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次方程． （1）由题意：用4000元全部购进A种盆栽的数量比用4000元全部购进B种盆栽的数量少100盆，列出分式方程，解方程即可； （2）根据“学校3月份购进、两种盆栽的总费用比2月份的总费用少了1180元”列方程求解即可． 【详解】（1）解：设B种盆栽的单价为x元，则A种盆栽的单价为元，根据题意，A的数量比B少100盆，则： ， 解得， 故B的单价为20元，A的单价为40元； A的数量：盆，B的数量：盆； 答：学校2月份购进A种盆栽100盆，B种盆栽200盆； （2）解：3月份A的数量为盆，B的数量为盆， 设A打d折，则A的单价为元，总费用为元， 根据总费用关系得：， 整理得：， 解得：， 所以，种盆栽打了九折． 【题型五：和差倍分问题 】 1．（24-25八年级上·山东东营·期中）“五•一”期间，几名同学共同包租一辆面包车去某地旅游，面包车的租价为120元，出发时又有2名同学参加进来，结果每位同学少分摊3元，则原来旅游同学的人数为（　　） A．8人 B．10人 C．12人 D．30人 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的应用，准确理解题意是解题的关键．设原来人数为x人，根据结果每位同学少分摊3元列分式方程，求解即可． 【详解】解：设原来人数为x人，由题意得 ， 解得， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 答：原来旅游同学有8人， 故选：A． 2．（23-24八年级下·云南昭通·期末）在运动会到来之际，八年级（3）班计划学生自制30个运动会入场表演道具，现因时间紧迫，将制作道具任务委托给商家，已知商家的制作速度是学生的倍，商家制作完这批道具比学生自制少用5小时，则学生每小时制作道具的个数是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的应用，等量关系式：学生自制30个运动会入场表演道具所用时间商家制作30个运动会入场表演道具所用时间小时，据此列方程，即可求解；找出等量关系式是解题的关键． 【详解】解：设学生每小时制作道具个，则商家每小时制作道具个，由题意得 ， 解得：， 经检验：是所列方程的解，且符合实际意义； 故选：D． 3．（2023上·福建福州·八年级福建省福州屏东中学校考期中）学校要举行跳绳比赛，同学们都积极练习．甲同学跳120个所用的时间，乙同学可以跳180个；又已知甲每分钟比乙少跳20个，求每人每分钟各跳多少个？ 【答案】甲每分钟跳40个，乙每分钟跳60个． 【分析】设甲每分钟跳x个，则乙每分钟跳个，然后根据“甲同学跳120个所用的时间，乙同学可以跳180个”列分式方程求解即可． 【详解】解：设甲每分钟跳x个，则乙每分钟跳个， 由题意可得：，解得：， 经检验，是分式方程的解 所以，甲每分钟跳40个，乙每分钟跳个． 答：甲每分钟跳40个，乙每分钟跳60个． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，审清题意、找到等量关系、列出分式方程是解答本题的关键． 4．（2023上·四川广元·八年级统考期末）某社区拟建，两类摊位以搞活“地摊经济”，每个类摊位的占地面积比每个类摊位的占地面积多2平方米．用60平方米建类摊位的个数恰好是用同样面积建类摊位个数的？ (1)求每个，类摊位占地面积各为多少平方米； (2)该社区拟建，两类摊位共90个，且类摊位的数量不少于类摊位数量的3倍．求最多建多少个类摊位． 【答案】(1)每个类摊位占地面积为5平方米，每个类摊位占地面积为3平方米 (2)最多建22个类摊位 【分析】（1）设每个类摊位占地面积为平方米，则每个类摊位占地面积为平方米，由题意：用60平方米建类摊位的个数恰好是用同样面积建类摊位个数的，列出分式方程，然后解方程即可； （2）设类摊位的数量为个，则类摊位的数量为个，由题意：建造类摊位的数量不少于类摊位数量的3倍，列出一元一次不等式，然后解不等式即可． 【详解】（1）解：设每个类摊位占地面积为平方米，则每个类摊位占地面积为平方米， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 则． 答：每个类摊位占地面积为5平方米，每个类摊位占地面积为3平方米． （2）设类摊位的数量为个，则类摊位的数量为个， 依题意，得：， 解得：， 因为取整数，所以的最大值为22． 答：最多建22个类摊位． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用．解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程：（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． 【题型六： 图形问题 】 1．（2023下·安徽合肥·八年级合肥市第四十五中学校考阶段练习）一根水管因使用日久，内壁均匀地形成一层厚2mm的附着物，而导致流通截面面积减少至原来的，这根水管原来的内壁直径是（    ） A．8mm B．9mm C．16mm D．18mm 【答案】C 【分析】设这根水管原来的内壁半径是xmm，然后根据内壁均匀地形成一层厚2mm的附着物，而导致流通截面面积减少至原来的，列出方程求解即可． 【详解】解：设这根水管原来的内壁半径是xmm， 由题意得， ∴，即， 解得， 经检验是原方程的解， ∴这根水管原来的内壁直径是16mm 故选C． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键在于能够根据题意列出方程． 2．（2024·安徽合肥·二模）如图，合肥市某画家书画作品装裱前是一个长为米，宽为米的矩形，对此画四周加上宽度相同的边衬进行装裱，装裱后整幅图画长与宽的比是，求边衬的宽度． 【答案】边衬的宽度为米 【分析】本题考查分式方程解决实际问题，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程． 设边衬的宽度为米，根据题意可知，装䄇后的长为米，宽为米，再根据整幅图画长与宽的比是，即可得到相应的方程进行求解即可． 【详解】解：设边衬的宽度为米，则装裱后的长为米，宽为米， 由题意可得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 答：边衬的宽度为米． 3．（2023下·重庆沙坪坝·八年级重庆一中校考阶段练习）如图1，在一张长方形纸片的四个角分别剪去一个边长相等的正方形，可折叠成如图2的一个无盖长方体纸盒． 图1                                                     图2 (1)若图1中原长方形纸片长，宽，被剪掉的正方形边长为，折叠得到的无盖长方体纸盒的长、宽、高之和为，求a的值； (2)现有60张同样规格的长方形纸片，可制作成60个无盖长方体纸盒，剪下来的正方形恰好全部制作成正方体（每个正方体需要6个正方形），现把20名同学分为甲、乙两组，甲组制作无盖长方体纸盒，乙组制作正方体，若甲组平均每人制作的无盖长方体纸盒个数是乙组平均每人制作的正方体个数的一半，求甲组有多少名同学？ 【答案】(1)4 (2)15名 【分析】（1）根据“折叠得到的无盖长方体纸盒的长、宽、高之和为”，列出方程，即可求解； （2）设甲组有x名同学，则乙组有名同学，根据“甲组平均每人制作的无盖长方体纸盒个数是乙组平均每人制作的正方体个数的一半”，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解： 解得： 答：a的值为4． （2）解：设甲组有x名同学，则乙组有名同学，根据题意得： ， 解得： 经检验，是原方程的解且符合题意． 答：甲组有15名同学． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 4．（2023下·浙江杭州·八年级阶段练习）为抗击新冠疫情，义乌市某企业承接了一批口罩所需包装盒的制作业务，该企业进行了前期的试生产，如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸箱，（加工时接缝材料不计） （1）该企业原计划用若干天加工纸箱300个，后来由于提升工作效率，实际加工时每天加工速度为原计划的1.5倍，这样提前3天超额完成了任务，且总共比原计划多加工15个，问原计划每天加工包装盒多少个； （2）若该企业购进正方形纸板550张，长方形纸板1200张．问竖式纸盒，横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完； （3）该企业某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板100张，长方形纸板a张，全部加工成上述两种纸盒，且，试求在这一天加工两种纸盒时a的所有可能值．（请直接写出结果） 【答案】（1）30个；（2）竖式纸盒加工150个，横式纸盒加工200个；（3）155、160和165． 【分析】（1）设原计划每天加工礼盒x个，则实际加工时每天加工礼盒1.5x个，根据“提前3天超额完成了任务，且总共比原计划多加工15个”即可得出关于x的分式方程，解方程即可得出x值； （2）设竖式纸盒加工m个，横式纸盒加工n个，恰好能将购进的纸板全部用完．根据“竖式纸盒需要4个长方形和1个正方形纸板，横式纸盒需要3个长方形和2个正方形纸板”即可得出关于m、n的二元一次方程组，解方程组即可得出结论； （3）设该天横式纸盒加工t个，则竖式纸盒加工（100-2t）个，根据“竖式纸盒需要4个长方形和1个正方形纸板，横式纸盒需要3个长方形和2个正方形纸板”即可得出a与t之间的关系式，再结合a的取值范围即可求出t的取值范围，根据t为正整数，即可得出t的值，从而即可得出a的所有可能值． 【详解】解：（1）设原计划每天加工礼盒x个，则实际加工时每天加工礼盒1.5x个， 根据题意得：， 解得：x=30， 经检验：x=30为分式方程的解． 答：原计划每天加工礼盒30个． （2）设竖式纸盒加工m个，横式纸盒加工n个，恰好能将购进的纸板全部用完． 由已知得：，解得：， 答：竖式纸盒加工150个，横式纸盒加工200个，恰好能将购进的纸板全部用完． （3）设该天横式纸盒加工t个，则竖式纸盒加工（100-2t）个， 由题意得：a=3t+4×（100-2t）=-5t+400， ∵150＜a＜168， ∴150＜-5t+400＜168， 解得：46＜t＜50， ∵t为整数， ∴t=47、48、49， ∴a=165、160、155． 答：在这一天加工两种纸盒时a的所有可能值为155、160和165． 【点睛】本题考查了解分式方程、二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系列出关于x的分式方程；（2）根据数量关系列出关于m、n的二元一次方程组；（3）根据数量关系找出a关于t的函数关系式．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程（方程组或函数关系式）是关键． 【题型七： 航行问题 】 1．（2023上·天津和平·八年级天津市汇文中学校考期末）一条船往返于甲，乙两港之间，由甲至乙是顺水行驶，由乙至甲是逆水行驶，已知船在静水中的速度为，平时逆水航行与顺水航行所用的时间比为，某天恰逢暴雨，水流速度是原来的2倍，这条船往返共用了．则甲，乙两港之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题有两个等量关系： ①平时逆水航行时间：顺水航行时间； ②雨天逆水航行时间+顺水航行时间，同时顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度，再列方程，解方程即可． 【详解】解：设甲、乙两港相距，水流速度平时速度为． 根据平时逆水航行与顺水航行所用的时间比为，得： ∴，即， 解得：，经检验，符合题意且符合实际应用， ∵某天恰逢暴雨，水流速度是原来的2倍，这条船往返共用了． ∴， 解得：． 答：甲，乙两港相距． 故选D． 【点睛】本题考查的是分式方程的应用，一元一次方程的应用，注意找好两个未知量之间的关键．分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 2．（24-25八年级上·山东滨州·期末）一艘轮船在静水中的最大航速为，它以最大航速沿江顺流航行所用时间与最大航速逆流航行所用时间相等，则江水的流速为 ． 【答案】6 【分析】此题主要考查了分式方程的应用，根据题意可得顺水速度为，逆水速度为，根据题意可得等量关系：以最大航速沿江顺流航行所用时间＝以最大航速逆流航行所用时间，根据等量关系列出方程求解即可． 【详解】解：设江水的流速为， 根据题意得：， ， 解得． 经检验，是原方程的解． 答：江水的流速为． 故答案为：6． 3．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）轮船顺水航行所需要的时间与逆水航行所需要的时间相同，已知水流的速度是，则轮船在静水中的速度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用．解决本题的关键是根据顺水速度静水速度水流的速度、逆水速度静水速度水流的速度把轮船的顺水速度和逆水速度用含的代数式表示出来，再根据轮船顺水航行所需要的时间与逆水航行所需要的时间相同列方程求解，求出解后一定要把求出的解代入原分式方程的最简公分母检验是否增根． 【详解】解：设轮船在静水中的速度为， 根据题意可得：， 解得：， 经检验是原分式方程的根， 答：轮船在静水中的速度为． 故答案为： ． 4．（2023·浙江杭州·八年级期末）一艘轮船在静水中的最大航速为，它以最大航速沿江顺流航行所用时间是以最大航速逆流航行所用时间的1.2倍，则江水的流速为多少？ 【答案】6km/h 【分析】根据题意可得顺水速度为（30+v）km/h，逆水速度为（30-v）km/h，根据题意可得等量关系：以最大航速沿江顺流航行108km所用时间=以最大航速逆流航行60km所用时间×1.2，根据等量关系列出方程求解即可． 【详解】解：设江水的流速为vkm/h， 根据题意得：， 解得：v=6． 经检验，v=6是原方程的解． 答：江水的流速为6km/h． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，表示出顺水和逆水行驶速度，找出题目中等量关系，然后列出方程． 【题型一： 素材问题 】 1．（2023下·浙江绍兴·八年级统考期末）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计奖品购买及兑换方案？ 素材1 某文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔的单价是笔记本的2倍，用120元购买笔记本的数量比用160元购买钢笔的数量多8件． 素材2 某学校花费400元购买该文具店的钢笔和笔记本作为奖品颁发给“优秀学生”，购买钢笔和笔记本的数量之比为． 素材3 学校花费400元后，文具店赠送张兑换券（如右）用于商品兑换．兑换后，笔记本与钢笔数量相同．    问题解决 任务1 探求商品单价 请运用适当方法，求出钢笔与笔记本的单价． 任务2 探究购买方案 探究购买钢笔和笔记本的数量． 任务3 确定兑换方式 运用数学知识，确定兑换方式． 【答案】任务1：笔记本的单价为5元，钢笔的单价为10元； 任务2：购买钢笔30支，笔记本20本． 任务3：文具店赠送2张兑换券时，其中1张兑换钢笔，1张兑换笔记本；文具店赠送5张兑换券，其中3张兑换钢笔，2张兑换笔记本；文具店赠送8张兑换券时，其中5张兑换钢笔，3张兑换笔记本． 【分析】任务1：设笔记本的单价为元，根据用120元购买笔记本的数量比用160元购买钢笔的数量多8件列出分式方程，解方程即可； 任务2：设购买钢笔为支，笔记本为本，根据总的花费为400元，购买钢笔和笔记本的数量之比为，列出方程，求出、的值即可； 任务3：由任务2可知钢笔和笔记本数量的情况进行解答即可． 【详解】解：任务1：设笔记本的单价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根， 这时． 笔记本的单价为5元，钢笔的单价为10元； 任务2：设购买钢笔为支，笔记本为本， 根据题意，得：， 解得， 购买钢笔30支，笔记本20本． 任务3：当原有钢笔30支，笔记本20本时，设有张兑换券兑换钢笔， 根据题意，得， 整理得， ，且，均为正整数， 解得：或或， 文具店赠送2张兑换券时，其中1张兑换钢笔，1张兑换笔记本；文具店赠送5张兑换券时，其中3张兑换钢笔，2张兑换笔记本；文具店赠送8张兑换券时，其中5张兑换钢笔，3张兑换笔记本． 【点睛】本题主要考查了分式方程和二元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程，准确解方程． 2．（2023下·浙江温州·八年级苍南县金乡镇第二中学校联考阶段练习）根据以下素材，探索完成任务. 奶茶销售方案制定问题 素材1 当下年轻人喜欢喝奶茶，在入夏之际某知名奶茶品牌店推出两款爆款水果茶“满杯杨梅”和“芝士杨梅”．每杯“芝士杨梅”的售价比“满杯杨梅”贵2元，购买1杯“芝士杨梅”和2杯“满杯杨梅”共需53元． 素材2 两款奶茶配料表如下： 芝士杨梅 配料 芝士/杯 茉莉清茶/杯 杨梅肉 多肉   满杯杨梅 配料 茉莉清茶/杯 杨梅肉 多肉   素材3 5月27日当天销售“芝士杨梅”共获利润400元，“满杯杨梅”获利润480元，其中每杯“芝士杨梅”的利润是每杯“满杯杨梅”的倍，“满杯杨梅”比“芝士杨梅”多卖20杯． 素材4 由于芝士保质期将至，为了去库存，5月28日决定对“芝士杨梅”每杯降价4元促销，并要求当天芝士消耗量不少于3500mL，配制的17500mL茉莉清茶全部用于制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”． 问题解决 任务1 确定奶茶的售价 每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的售价是多少？ 任务2 确定奶茶的成本 每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的成本是多少？（） 任务3 拟定最优方案 为了使5月28日这两种奶茶获利最大，需制做“芝士杨梅”和“满杯杨梅”共多少杯？ 【答案】（1）“芝士杨梅”的定价为19元，“满杯杨梅”的定价为17元；（2）“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的成本均为9元/杯；（3）当利润最大时，两种奶茶共制作42杯 【分析】（1）设“芝士杨梅”的售价为x元/杯，“满杯杨梅”的定价为y元/杯，根据题意列方程求解即可； （2）设“满杯杨梅”成本为a元/杯，则“满杯杨梅”利润为元/杯，根据素材3列方程求解即可； （3）设制作m杯“芝士杨梅”和n杯“满杯杨梅”，根据素材4列方程求解正整数解，再结合获利最大即可求解． 【详解】（1）设“芝士杨梅”的售价为x元/杯，“满杯杨梅”的定价为y元/杯， 由题意得：， 解得， 答：“芝士杨梅”的定价为19元，“满杯杨梅”的定价为17元， （2）设“满杯杨梅”成本为a元/杯，则“满杯杨梅”利润为元/杯， 则“芝士杨梅”利润为元/杯， 由题意 ， 解得， 经检验满足题意， 芝士杨梅成本：（元/杯）， 答：“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的成本均为9元/杯； （3）设制作m杯“芝士杨梅”和n杯“满杯杨梅”， 由题意得：，变形得， ∵芝士配料不低于， ∴且m是5的倍数， ∴解得， ∵“芝士杨梅”每杯减4元则每杯利润6元，“满杯杨梅”每杯利润8元， 当时，总利润为266元， 当时，总利润为264元， ∴当利润最大时，两种奶茶共制作42杯． 【点睛】本题考查了分式方程的应用、二元一次方程组及二元一次方程的应用．找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 3．（2023下·浙江湖州·八年级校考期末）根据素材，完成活动任务： 素材一 为鼓励学生积极参加学校劳动，养成劳动习惯，培养劳动品质某校“方志实践”劳动基地打算用如图所示的围栏搭建一块蔬菜基地．已知围栏的横杠长为15dm，竖杠长为8dm 一副围栏由2个横杠，5个竖杠制作而成    素材二 项目化学习小组到市场了解到：现木材市场的这种规格的围栏材料每根长为40dm，价格为50元/根．为了深度参与学校蔬菜基地的建立，项目化小组打算自己购买材料，制作搭建蔬菜基地的围栏同时为了围栏的牢固性，用料不能是拼接而成． 解决问题 任务要求 解决办法 任务一 一根40dm长的围栏材料有哪些裁剪方法呢？（余料作废）． 方法①：当只裁剪8dm长的竖杠时，最多可裁剪_______________根； 方法②：当先裁剪下1根15dm长的横杠时，余下部分最多能裁剪8dm长的竖杠_______________根； 方法③：当先裁剪下2根15dm长的横杠时，余下部分最多能裁剪8dm长的竖杠________________根： 任务二 基地负责老师告诉项目化学习小组：搭建蔬菜基地需要用到的围栏长为75dm（即需要制作5副围栏，需要的用料为：25个竖杠，10个横杠），请完成裁剪并计算费用． 项目化小组打算用“任务一”中的方法②和方法③完成裁剪任务．请计算：分别用“任务一”中的方法②和方法③各裁剪多少根40dm长的围栏材料，才能刚好得到所需要的相应数量的用料？并求出购买围栏材料的费用． 任务三 某安装技术人员告诉项目化小组同学：我们在单位时间内可以安装m根竖杠或（7－m）根横杠．现需知道技术人员的安装效率． 任务二中的5副围栏安装完毕时，项目化小组发现技术人员安装竖杠所需的时间与安装横杠所需的时间相同，则m＝_______________． 【答案】任务一：5    3    1；任务二：8根，1根，费用450元；任务三：5 【分析】根据围栏材料不同裁剪方法，分别计算出需要的竖杠或横杠；利用方法②与方法③列出方程组求解即可；利用在单位时间内可以安装m根竖杠或根横杠，所用的时间相同，建立分式方程，求解即可． 【详解】任务一：(根) 方法①：当只裁剪长的竖杠时，最多可裁剪5根． ， 方法②：当先裁剪下1根长的横杠时，余下部分最多能裁剪长的竖杠3根． ， 方法③：当先裁剪下2根长的横杠时，余下部分最多能裁剪长的竖杠1根． 任务二：设方法②需裁剪x根，方法③需裁剪y根，依据题意得： ，解得：． (元)． 答：方法②和方法③各裁剪8根与1根长的围栏材料，才能刚好得到所需要的相应数量的用料，购买围栏材料的费用共需45元． 任务三：依据题意得，解得：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组与分式方程的应用，解题的关键是仔细审题，正确列出方程． 【题型二：方案问题 】 1．（2024春•江山市期末）“三头一掌”是衢州地方特色美食，其中最具代表性的是鸭头和兔头．在某品牌销售店中，已知一个鸭头的价格与一个兔头的价格和为23元，用40元购进鸭头的个数与用75元购进兔头的个数相同． （1）求出鸭头和兔头的单价． （2）某位游客在该销售店中购买鸭头和兔头恰好用了320元（鸭头和兔头都购买），请写出所有购买方案． 【分析】（1）设鸭头的单价为x元，则兔头的单价为（23﹣x）元，根据用40元购进鸭头的个数与用75元购进兔头的个数相同，列出分式方程，解方程即可； （2）设购买鸭头m个，兔头n个，根据某位游客在该销售店中购买鸭头和兔头恰好用了320元（鸭头和兔头都购买），列出二元一次方程，求出正整数解，即可得出结论． 【详解】解：（1）设鸭头的单价为x元，则兔头的单价为（23﹣x）元， 由题意得：， 解得：x＝8， 经检验，x＝8是原方程的解，且符合题意， ∴23﹣x＝15， 答：鸭头的单价为8元，兔头的单价为15元； （2）设购买鸭头m个，兔头n个， 由题意得：8m+15n＝320， 整理得：m＝40n， ∵m、n均为正整数， ∴或， ∴有2种购买方案： ①购买鸭头25个，兔头8个； ②购买鸭头10个，兔头16个． 【点睛】本题考查了分式方程方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． 2．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）为迎接“五一”小长假购物高潮，某品牌专卖店准备购进甲、乙两种衬衫，其中甲、乙两种衬衫的进价和售价如下表： 衬衫价格 甲 乙 进价（元/件） 售价（元/件） 若用元购进甲种衬衫的数量与用元购进乙种衬衫的数量相同． (1)求甲、乙两种衬衫每件的进价； (2)要使购进的甲、乙两种衬衫共件的总利润不少于元，且不超过元，问该专卖店有几种进货方案． 【答案】(1)甲种衬衫每件进价元，乙种衬衫每件进价元 (2)该专卖店有种进货方案 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系． （1）用总价除以单价表示出购进衬衫的数量，根据两种衬衫的数量相等列出方程求解即可； （2）设购进甲种衬衫件，表示出乙种衬衫件，然后根据总利润列出一元一次不等式，求出不等式组的解集后，再根据衬衫的件数是正整数解答． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 乙的进价为：（元）， 答：甲种衬衫每件进价元，乙种衬衫每件进价元； （2）设购进甲种衬衫件，则购进乙种衬衫件， 根据题意得：， 解得：， 为整数， 即，，，，，，，，，，， 共有种进货方案， 答：共有种进货方案． 3．（2023上·湖南永州·八年级统考期中）在甲、乙两公司全体员工捐款活动中，甲公司共捐款100000元，乙公司共捐款140000元．下面是甲、乙两公司员工的一段对话： 甲公司员工：我们公司的人数比你们公司少20人 乙公司员工：我们公司的人均捐款数是你们公司的倍 (1)甲、乙两公司各有多少人？ (2)现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买A、B两种物资，A种物资每箱15000元，B种物资每箱12000元．若购买B种物资不少于10箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？请设计出来．（注：A、B两种物资均需购买，并按整箱配送．） 【答案】(1)甲公司有100人，乙公司有120人 (2)购买方案有2种：一种A物资买8箱，B物资买10箱．另一种是A物资买4箱，B物资买15箱 【分析】（1）设甲公司有x人，则乙公司有人，根据“乙公司的人均捐款数是甲公司的倍”，再建立分式方程求解即可； （2）设购买A种物资x箱，购买B种物资y箱，且，x，y都是正整数．根据“恰好将捐款用完”再建立方程，利用方程的正整数解即可解决问题． 【详解】（1）解：设甲公司有x人，则乙公司有人，根据题意得 解得： 检验：把代入 故是所列方程的解． 则（人） 答：甲公司有100人，乙公司有120人． （2）设购买A种物资x箱，购买B种物资y箱，且，x，y都是正整数． 根据题意得 ∴ ∴， 当时，   符合题意． 当时，   符合题意． 当时，   不符合题意． 综上所述，购买方案有2种：一种A物资买8箱，B物资买10箱．另一种是A物资买4箱，B物资买15箱． 【点睛】本题考查的是二元一次方程的整数解问题的应用，分式方程的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键． 4．（湖北省武汉市部分学校2024—2025学年下学期五月质量检测八年级数学试题）为了迎接“五一 ”小长假的客流高峰，某商场准备购进甲，乙两种运动鞋，其中甲，乙两种运动鞋的进价和售价如下表： 运动鞋价格/种类 甲 乙 进价元/双 m 售价元/双 100 160 已知用3000 元购进甲种运动鞋的数量与用4000 元购进乙种运动鞋的数量相同． (1)求 m 的值． (2)要使购进的甲，乙两种运动鞋共 220 双的总利润（利润售价进价），不少于 12400 元，且不超过 13120 元， 问该商场有几种进货方案？ (3)在（2）的条件下，商场准备对乙种运动鞋进行优惠促销活动，决定对乙种运动鞋每双优惠 元出售，甲种运动鞋价格不变，那么该商场要获得最大利润应如何进货？ 【答案】(1) (2)19种 (3)当时，购进甲种运动鞋112双，乙种运动鞋108双时，利润最大；当时，利润为定值元；当时，购进甲种运动鞋130双，乙种运动鞋90双时，利润最大 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，一次函数的实际应用，正确理解题意列出函数关系式，方程和不等式组是解题的关键． （1）根据用3000 元购进甲种运动鞋的数量与用4000 元购进乙种运动鞋的数量相同建立方程求解即可； （2）设购进甲种运动鞋x双，则购进乙种运动鞋双，根据利润不少于 12400 元，且不超过 13120 元建立不等式组求解即可； （3）设购进甲种运动鞋x双，则购进乙种运动鞋双，利润为W元，列出W关于x的函数关系式，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意； （2）解：设购进甲种运动鞋x双，则购进乙种运动鞋双， 由题意得， 解得， ∵x为整数， ∴一共有种进货方案； （3）解：设购进甲种运动鞋x双，则购进乙种运动鞋双，利润为W元， 由题意得， ， 当时，，则W随x增大而减小， ∵， ∴当时，W最大，此时； 当时，； 当时，，则W随x增大而增大， ∴当时，W最大，此时； 综上所述，当时，购进甲种运动鞋112双，乙种运动鞋108双时，利润最大；当时，利润为定值元；当时，购进甲种运动鞋130双，乙种运动鞋90双时，利润最大． 【题型一：分式方程与不等式（组）应用的综合 】 1．（2025·贵州毕节·一模）某市区通过绘制城市主题“文化墙”来弘扬中华优秀传统文化．为确保任务按时完成，现安排甲、乙两支队伍进行城市主题墙绘制作业．已知甲队比乙队平均每人每天多绘制平方米，且甲队每人绘制平方米所用时间与乙队每人绘制平方米所用时间相同． (1)甲队和乙队平均每人每天各绘制多少平方米？ (2)该市安排甲、乙两队共人同时进行主题墙绘制作业，为确保每天完成超过平方米的绘制任务，至少要安排甲队人员多少人？ 【答案】(1)甲队平均每人每天绘制平方米，乙队平均每人每天绘制平方米 (2)至少要安排甲队人员人 【分析】本题考查分式方程及一元一次不等式的应用， （1）设乙队平均每人每天绘制平方米，则甲队平均每人每天绘制平方米，根据“甲队每人绘制平方米所用时间与乙队每人绘制平方米所用时间相同”建立分式方程，求解并检验即可； （2）设安排甲队人员（为正整数，）人，则安排乙队人员人，根据“确保每天完成超过平方米的绘制任务”建立一元一次不等式，求解即可； 正确理解题意并列出分式方程和一元一次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设乙队平均每人每天绘制平方米，则甲队平均每人每天绘制平方米， 由题意，得， 解得：， 经检验，是原分式方程的解且符合题意， ∴， 答：甲队平均每人每天绘制平方米，乙队平均每人每天绘制平方米； （2）设安排甲队人员（为正整数，）人，则安排乙队人员人， 由题意，得：， 解得：， ∵为正整数， ∴， 答：至少要安排甲队人员人． 2．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）某超市销售甲、乙两种商品，五月份该超市同时购进甲、乙两种商品共80件，购进甲种商品用去400元，购进乙种商品用去1200元． (1)已知每件乙种商品的进价是每件甲种商品的进价的3倍，求甲、乙两种商品每件的进价 (2)由于甲、乙这两种商品受到市民欢迎，六月份超市决定再次购进甲、乙两种商品共80件，且保持（1）的进价不变，已知甲种商品每件的售价15元，乙种商品每件的售价40元．要使六月份购进的甲、乙两种商品共80件全部销售完的总利润不少于600元，那么该超市最多购进甲种商品多少件？ 【答案】(1)甲、乙两种商品的进价分别为每件10元、30元 (2)40件 【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程求解． （1）设甲种商品每件的进价是x元，则乙种商品每件的进价为元，根据甲乙两种商品共80件以及甲乙两种商品花的钱数，列方程求解； （2）设六月份再次购进甲种商品a件，则购进乙种商品件，根据总利润不少于600元，列不等式求解． 【详解】（1）解：设甲种商品每件的进价是元，则乙种商品每件的进价为元. 依题意可得， 解得 经检验为原分式方程的解， ∴ 答：甲、乙两种商品的进价分别为每件10元、30元； （2）解：设六月份再次购进甲种商品件，则购进乙种商品件， 依题意可得 解得， ∴的最大值是40 答：该超市六月份最多购进甲种商品40件 3．（2025·河南许昌·二模）“一笔一世界，一划一时光”，如图是一款便携小楷软笔头——钢笔式毛笔，它巧妙地将传统毛笔的韵味和现代钢笔的便捷融为一体，让书写变得更加自由流畅．某商家欲购进甲、乙两种钢笔式毛笔进行销售．已知一套甲种钢笔式毛笔比一套乙种钢笔式毛笔进价少4元，且用480元购买甲种钢笔式毛笔的数量是用360元购买乙种钢笔式毛笔数量的2倍． (1)求这两种钢笔式毛笔的进价分别为多少元？ (2)若购买的甲乙两种钢笔式毛笔的总数量为50套，且总费用不超过500元，则甲种钢笔式毛笔至少购买多少套？ 【答案】(1)甲、乙两种钢笔式毛笔的进价分别为8元、12元 (2)甲种钢笔式毛笔至少购买25套 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程或不等式是解题的关键； （1）设甲种钢笔式毛笔的进价为x元，则乙种钢笔式毛笔的进价为元，依题意列出分式方程，解方程并检验，即可求解； （2）设甲种钢笔式毛笔购买了a套，则乙种钢笔式毛笔购买了套，依题意列出表达式，求得最小整数解，即可求解． 【详解】（1）解：设甲种钢笔式毛笔的进价为x元，则乙种钢笔式毛笔的进价为元， 依题意可列方程为， 解得， 经检验：是原分式方程的解，且符合实际意义， 所以 答：甲、乙两种钢笔式毛笔的进价分别为8元、12元； （2）设甲种钢笔式毛笔购买了a套，则乙种钢笔式毛笔购买了套． 依题意可得：， 解得， 最小整数为， 答：甲种钢笔式毛笔至少购买25套． 4．（2025年湖北省荆楚联盟中考三模数学试题）鲜桃刚上市，某水果店率先用1000元购进了一批鲜桃，前两天以高于进价的价格卖出；第三天水果店又用1000元购进了一批鲜桃，由于进价降低了，这一批鲜桃多购进． (1)求水果店购进第一批鲜桃的数量； (2)注意到市场上鲜桃数量逐渐增多，水果店主决定将剩余和新进鲜桃在原销售价的基础上，全部降价元（为整数）销售．实际销售过程中，平均每天销售量相对于前两天平均每天增加了，仅仅销售两天，剩下量不超过． ①求的值； ②若店主将剩余鲜桃以20元的价格全部卖完，求前后一共获利多少元． 【答案】(1)第一批鲜桃的数量为； (2)①；②前后一共获利元． 【分析】本题考查了分式方程和不等式的应用． （1）设第一批鲜桃的进价为元，由第二批鲜桃的进价为元，根据“第二批批鲜桃多购进”列分式方程，求解即可； （2）①求得总剩余数量为，降价后，每天销售，根据“剩下量不超过”列不等式，求解即可； ②利用总收入减去总支出求解即可． 【详解】（1）解：设第一批鲜桃的进价为元，由第二批鲜桃的进价为元， ∴第一批鲜桃的数量为，第二批鲜桃的数量为， 根据题意得，解得， 经检验是原方程的解，且符合题意， ∴第一批鲜桃的数量为； （2）解：①前两天每天销售，剩余， ∵第二批鲜桃的数量为， ∴总剩余数量为， 降价后，每天销售，两天共销售， 根据题意得，解得； ∵为整数，且保证销售量不超过总剩余量， ∴取； ②总成本为元， 总收入为 ， ∴前后一共获利：元． 【题型二：分式方程与一次函数应用的综合 】 1．（2025·河南省直辖县级单位·一模）2025年3月10日，西昌卫星发射中心成功发射通信技术试验卫星十五号，标志着我国航天技术取得重大突破．作为青少年，自豪感油然而生，某学校为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，计划给科技社团购买一批航空、航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，用2000元购买航空模型的数量是用1800元购买航海模型数量的． (1)求航空和航海模型的单价； (2)学校采购时恰逢该商场“迎五一劳动节”促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，且航空模型数量不少于航海模型数量的，请问分别购买多少个航空和航海模型时，学校花费最少？ 【答案】(1)航空模型的单价为125元，航海模型的单价为90元 (2)当购买航空模型40个，购买航海模型80个时，学校花费最少 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用： （1）设航空模型的单价为元，则航海模型的单价为元，根据“用2000元购买航空模型的数量是用1800元购买航海模型数量的”列出方程求解即可； （2）设购买航空模型个，花费为元，先根据航空模型数量不少于航海模型数量的列出不等式求出m的取值范围，再列出y关于m的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设航空模型的单价为元，则航海模型的单价为元， 由题意得，， 解得， 检验，当时，， 是原方程的解，且符合题意， ， 答：航空模型的单价为125元，航海模型的单价为90元． （2）解：设购买航空模型个，花费为元． 由题意得，， 解得， ， ， 随增大而增大， 当时，有最小值，最小值为， 此时有， 答：当购买航空模型40个，购买航海模型80个时，学校花费最少 2．（2025年河南省普通高中招生名校联考三模数学试题）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，相关的玩偶也跟着热销，小郑准备在网上开设一家玩偶专卖店，已知用600元购买款哪吒玩偶的个数与用900元购买款哪吒玩偶个数相等，且款哪吒玩偶单价比款哪吒玩偶单价多3元． (1)，款哪吒玩偶每个各多少元？ (2)试营业时计划购买款哪吒玩偶共200个，其中款哪吒玩偶的数量不超过款哪吒玩偶数量的，求购买款哪吒玩偶多少个时，购买这批玩偶总费用最低，最低费用是多少元？ 【答案】(1)、款哪吒玩偶每个各6元和9元 (2)购买款哪吒玩偶50个时，购买这批哪吒玩偶总费用最低，最低费用是1650元 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的一用以及一次函数的实际应用． （1）设款哪吒玩偶每个元，则款哪吒玩偶每个元．根据用600元购买款哪吒玩偶的个数与用900元购买款哪吒玩偶个数相等为等量关系列出分式方程的解即可得出答案． （2）设购买款哪吒玩偶个，则购买款哪吒玩偶个，根据其中款哪吒玩偶的数量不超过款哪吒玩偶数量的列出不等式求出a的取值范围，再列出w关于a的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设款哪吒玩偶每个元，则款哪吒玩偶每个元． 根据题意，得， 解得． 经检验，是原分式方程的解， 则（元）， 、款哪吒玩偶每个各6元和9元． （2）解：设购买款哪吒玩偶个，则购买款哪吒玩偶个， 款哪吒玩偶的数量不超过款哪吒玩偶数量的， ， 解得， ，且为正整数． 根据题意，购买这批哪吒玩偶总费用， ， 随的增大而减小， ，且为正整数， 当时，取最小值，此时， 即购买款哪吒玩偶50个时，购买这批哪吒玩偶总费用最低，最低费用是1650元． 3．（22-23八年级下·山东青岛·期中）某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如表： 进价（元/张） 零售价（元/张） 成套售价（元/套） 餐桌 150 270 500元 餐椅 40 70 (1)商场计划购进餐桌，餐椅共100张且总进价低于5100元，求最多能购买多少张餐桌？ (2)若该商场购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过200张，该商场计划将一半的餐桌成套销售（一张餐桌加四张椅子为一套），其余餐桌、餐椅以零售方式销售，请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)最多能购买9张餐桌 (2)当购买餐桌30张，餐椅170张时，才能获得最大利润，最大利润为7950元 【分析】（1）设购买餐桌x张，则购买餐椅张，然后根据购进餐桌，餐椅共100张且总进价低于5100元列出不等式求解即可； （2）设购买餐桌a张，利润为w元，先列出w关于a的一次函数关系式，再求出a的取值范围即可利用一次函数的性质求出答案． 【详解】（1）解：设购买餐桌x张，则购买餐椅张， 由题意得，， 解得， 又∵x为正整数， ∴x的最大值为9， ∴最多能购买9张餐桌； （2）解：设购买餐桌a张，利润为w元， 由题意得， ， ∵， ∴w随a增大而增大； ∵， ∴， ∴当时，w最大，最大为7950， ∴， ∴当购买餐桌30张，餐椅170张时，才能获得最大利润，最大利润为7950元． 【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出对应的不等式和函数关系式是解题的关键． 4．（24-25七年级下·安徽合肥·阶段练习）超市准备购进甲、乙两种商品，甲商品的进货单价比乙商品多20元/件，用6000元购进甲商品的数量与用4800元购进乙商品的数量相同． (1)求甲商品的进货单价； (2)甲、乙两种商品的售价分别为160元/件、120元/件，要求：购进这两种商品共200件，且全部销售的总利润不少于10800元． ①超市购进甲商品最少为多少件？ ②若购进甲商品不超过155件，且销售甲商品时优惠元/件．超市要获得最大利润应如何进货？ 【答案】(1)甲商品的进货单价是100元/件． (2)①超市购进甲商品最少为140件；②超市应购进甲商品155件，乙商品45件． 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的实际应用，一次函数的图形与性质，读懂题意，得出分式方程，一元一次不等式，求出一次函数的解析式，是解答本题的关键． （1）设甲商品的进货单价是元/件，则乙商品的进货单价是元/件，根据用6000元购进甲商品的数量与用4800元购进乙商品的数量相同．列出分式方程求解即可； （2）①设超市购进甲商品件，则购进乙商品件，根据全部销售的总利润不少于10800元，建立一元一次不等式，求解即可； ②设超市购进甲商品件，则购进乙商品件，销售总利润为元，则，利用一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设甲商品的进货单价是元/件，则乙商品的进货单价是元/件， 得， 解得；经检验，是原分式方程的解； 即甲商品的进货单价是100元/件． （2）解：①甲商品的利润为：（元）； 乙商品的利润为：（元）； 设超市购进甲商品件，则购进乙商品件； 得， 解得，即超市购进甲商品最少为140件． ②设超市购进甲商品件，则购进乙商品件，销售总利润为元， 则， 其中； ， ， 当时，值最大， 即超市应购进甲商品155件，乙商品45件． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$