精品解析：江苏省徐州市第三中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

徐州三中2024~2025学年度高二下学期3月学情调研 数学试题（树人班） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 计算（　　） A. 34 B. 35 C. 36 D. 37 【答案】A 【解析】 【分析】直接由组合数公式计算即可. 【详解】由题意. 故选：A. 2. 下列导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助基本初等函数的导数公式与复合函数的求导法则计算即可得. 【详解】对A：，故A错误； 对B：，故B错误； 对C：，故C正确； 对D：，故D错误. 故选：C. 3. 已知的图像开口向上，，则a＝（ ）． A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意结合导数的定义可得，从而可求出的值 【详解】由，得（）， 因为， 所以，即， 解得或（舍去）， 故选：A 4. 为提高新农村的教育水平，兴义市某校决定选派5名优秀的教师到、、、四所学校进行为期一年的支教活动，每人只能去一所学校，每所学校至少派一人，则不同的选派方案共有（ ） A. 60种 B. 120种 C. 240种 D. 480种 【答案】C 【解析】 【分析】利用不平均分组分配的方法求解即可. 【详解】根据题意，有一个学校得分配2名教师，其余学校各分配1名教师， 可以先从5名教师中任选2人，组成一个小组，有种选法； 然后连同其余三人，看成四个元素，四所学校看成四个不同的位置， 则四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有种， 根据乘法原理，共有种不同的分配方案. 故选：C. 5. 若函数在上的最大值为1，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导后分析单调性和极值可得. 【详解】， 令， 所以当时，，函数为单调递增函数； 当时，，函数为单调递减函数， 极大值为，极小值为， 又， 所以实数的取值范围是. 故选：C 6. 用，，，，，，这七个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ） A. 105个 B. 42个 C. 146个 D. 52个 【答案】A 【解析】 【分析】对个位数字分四种情况讨论，按照分类加法计数原理及组合数公式计算可得. 【详解】若个位数字为，则有个； 若个位数字为，则有个； 若个位数字为，则有个； 若个位数字为，则有个； 综上可得一共有个. 故选：A 7. 已知点不在函数的图象上，且过点P有三条直线与的图象相切，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，设出切点坐标，由导数的几何意义可得，将问题转化为函数有三个零点问题，然后列出不等式，即可得到结果. 【详解】点不在函数的图像上， 则，即， 设过点的直线与的图像相切于， 则切线的斜率， 整理可得， 则问题可转化为有三个零点， 且，令，可得或， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 即当时，有极大值，当时，有极小值， 要使有三个零点， 则，即，解得， 所以实数m取值范围为. 故选：C 8. 已知函数，在区间内任取两个实数，，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由可得，令，则在上为增函数，即在上恒成立，分离参数，利用二次函数的单调性求解最值即可. 【详解】对任意的，且，， 则，令，则， 由单调性的定义知在上为增函数，. 则在上恒成立，即， 也即在上恒成立， 记，因为的对称轴为，所以在上单调递减， 所以，所以，即实数a的取值范围为. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 可表示为 B. 若把英文“hero”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有23种 C. 10个朋友聚会，见面后每两个人握手一次，一共握手45次 D. 学校有5个“市三好学生”名额，现分给3个年级，每个年级至少一个名额，则有6种分法 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用排列数公式判断A；利用排除法列式计算判断B；利用组合计数判断C；分类计算判断D. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，四个字母全排列共有种，而正确的只有1种，可能出现的错误共有种，B正确； 对于C，10个朋友聚会，见面后每两个人握手一次，共有次，C正确； 对于D，5个名额，按分有种，按分有种，共有种，D正确. 故选：BCD 10. 下列说法正确的是（ ） A. 从含有2件次品和98件正品的100件产品中任取2件，则至少取到1件次品的取法有种 B. 甲乙等8名同学和1名老师站成一排照相，则老师必须站在最中间且甲乙必须站在一起的站法有8640种 C. 4名同学去争夺3项冠军，不允许并列，共有64种不同的情况 D. 将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，每个盒子至少放1个，共有300种放法 【答案】BC 【解析】 【分析】选项A至少取到1件次品的取法分为两类，抽1个次品1个正品和抽2个次品；选项B特殊位置优先排，相邻问题要捆绑处理；选项C由乘法原理即可判断；选项D不同元素分配问题，先分组再分配. 【详解】选项A：从含有2件次品和98件正品的100件产品中任取2件，则至少取到1件次品的取法有种，故A错误； 选项B：甲乙等8名同学和1名老师站成一排照相，则老师必须站在最中间，故只需排8名学生， 老师左右各4个位置，甲乙必须站在一起，将甲乙捆绑看作一个元素， 若甲乙在老师左边，则左边还有2个位置可以在甲乙左侧或右侧，右边有4个位置， 若甲乙在老师右边，则左边还有2个位置可以在甲乙左侧或右侧，左边有4个位置， 共有种，故B正确； 选项C，每个冠军都是4种情况，共有种，故C正确； 选项D：先分组，再排列， 第一类，将5个不同的小球分为数量为3、1、1的三组，再排列，有种； 第二类，将5个不同的小球分为数量为2、2、1的三组，再排列，有种 共有种，故D错误. 故选：BC 11. 已知函数，，下列说法正确的是（ ） A. 函数有两个极值点，则 B. 当时，函数在上有最小值 C. 当时，函数有两个零点 D. 当时，函数在上单调递增 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用判别式和函数极值点的定义可判断A选项的正误；利用导数分析函数的单调性，可判断B选项的正误；利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可判断C选项的正误；利用函数的单调性与导数的关系可判断D选项的正误. 【详解】因为，则. 对于A选项，函数有两个极值点，即方程有两个不等的实根， 此时，，则，故A错误； 对于B选项，当时，设的两个不等的实根分别为，且， 由韦达定理可得，必有， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 故函数在上有最小值，故B正确； 对于C选项，当时，，， 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增. 所以，函数的极大值为，极小值为， 作出函数的图象如下图所示： 由图可知，函数有两个零点，故C正确. 对于D选项，当且时，， 故函数在上单调递增，故D正确. 故选： BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ___________（用数字表示）． 【答案】20 【解析】 【分析】根据组合数的计算公式计算即可. 【详解】解：由题可知： ， 故答案为：20. 13. 今有2个红球､3个黄球､4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列，要求2个红球相邻，3个黄球不相邻，不同的排列种数为__________.（用数字作答） 【答案】100 【解析】 【分析】先将4个白球放好，把两个红球捆绑插空，然后再将3个黄球插空即可求解. 【详解】先将4个白球放好有一种，将两个红球捆绑插空有种，将两个红球看作一个与4个白球共6个空，将3个黄球插空则有种， 所以共有种， 故答案为： 14. 有6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有______种分法. 【答案】540 【解析】 【分析】按1，2，3或或1，1，4三种情况计算即可. 【详解】按1，2，3分配有种， 按分配有种， 按1，1，4分配有， 故共有种， 故答案为：540 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 求解下列问题： （1）计算：； （2）求证：. （3）解关于的不等式：； 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）（2）（3）应用排列数公式化简求值、证明恒等关系及解不等式； 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ， 小问3详解】 依题意，有，可得， 由，得，即， 整理得，解得，所以， 又，得，所以的解集为. 16. 已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若函数在上最小值是，求a的值. 【答案】（1）的单调递增区间为，无单调递减区间；（2） 【解析】 【分析】（1）确定函数定义域，根据可得在定义域上的单调性; （2）求导函数，分类讨论,确定函数在上的单调性利用在上的最小值为即可求的值. 【详解】解：（1）函数的定义域为, 且, 当时，，即函数在定义域上为增函数， 的单调递增区间为，无单调递减区间. （2）由（1）知,, ①若，则，即在上恒成立, 此时在上为增函数, 在上的最小值为, , （舍去） ②若,则，即在上恒成立, 此时在上为减函数, ，（舍去）. ③若，令，得. 当时,,在上为减函数； 当时，，在上为增函数， ， 综上可知： 17. 已知函数，其中，e是自然对数的底数. （1）当时，求函数在区间上的零点个数； （2）若对任意的实数x恒成立，求a的取值范围. 【答案】（1）有1个零点；（2）. 【解析】 【分析】 （1）求导得到函数的单调性，再利用零点存在性定理得解； （2）分离参变量，不等式恒成立转化为求函数的最值得解. 【详解】（1）当时，， 则， ∴在上单调递增， 又，， 故，使得， ∴函数在区间上有1个零点； （2）若对任意的实数x恒成立， 即恒成立， 令，则， 令，得； 令，得. ∴在上递增，在上递减， ∴， ∴a的取值范围为. 【点睛】方法点睛： 不等式恒成立问题解决思路：一般参变量分离、转化为最值问题. 18. 已知函数，记的图象为曲线C （1）若以曲线C上的任意一点为切点作C的切线，求切线的斜率的最小值； （2）求证：以曲线C上的两个动点A，B为切点分别作C的切线，，若恒成立，则动直线恒过某定点M. 【答案】（1） （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用导数来求斜率，然后求最小值即可； （2）利用两点的导数值恒相等，可得，从而猜想定点为两点的中点，从而去检验中点是否在曲线上即可. 【小问1详解】 由函数，求导得， 因此曲线C在处切线的斜率为， 当且仅当时取等号， 所以切线的斜率的最小值为. 【小问2详解】 设点，，，由，得， 即，整理得， 因为，所以， 于是 ， 显然点是线段的中点， 所以当时，直线恒过定点. 19. 南京玄武湖号称“金陵明珠”，是我国仅存的皇家园林湖泊．在玄武湖的一角有大片的荷花，每到夏季，荷花飘香，令人陶醉．夏天的一个傍晚，小胡和朋友游玄武湖，发现观赏荷花只能在岸边，无法深入其中，影响观赏荷花的乐趣，于是他便有了一个愿景：若在玄武湖一个盛开荷花的一角（该处岸边近似半圆形，如图所示）设计一些栈道和一个观景台，观景台在半圆形的中轴线上（图中与直径垂直，与不重合），通过栈道把连接起来，使人行在其中，犹如置身花海之感．已知，栈道总长度为函数． （1）求； （2）若栈道的造价为每米5万元，试确定观景台的位置，使实现该愿景的建造费用最小（观景台的建造费用忽略不计），并求出实现该愿景的建造费用的最小值． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）在直角三角形中，由边角关系分别表达，进而求出，则可得栈道总长度； （2）利用导数研究函数单调性求最值即可. 【小问1详解】 由题意知，，， 则，， 所以. 所以栈道总长度为 【小问2详解】 建造栈道的费用为，则， 令，得，又，解得， 当时， ，当时， ， 则在单调递减，在单调递增， 故， 此时， 故观景台位于离岸边半圆弧中点的距离为米时，建造费用最小，最小费用为万元. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 徐州三中2024~2025学年度高二下学期3月学情调研 数学试题（树人班） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 计算（　　） A. 34 B. 35 C. 36 D. 37 2. 下列导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知的图像开口向上，，则a＝（ ）． A. B. C. 2 D. 4. 为提高新农村的教育水平，兴义市某校决定选派5名优秀的教师到、、、四所学校进行为期一年的支教活动，每人只能去一所学校，每所学校至少派一人，则不同的选派方案共有（ ） A. 60种 B. 120种 C. 240种 D. 480种 5. 若函数在上的最大值为1，则实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 6. 用，，，，，，这七个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ） A. 105个 B. 42个 C. 146个 D. 52个 7. 已知点不在函数的图象上，且过点P有三条直线与的图象相切，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，在区间内任取两个实数，，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 可表示为 B. 若把英文“hero”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有23种 C. 10个朋友聚会，见面后每两个人握手一次，一共握手45次 D. 学校有5个“市三好学生”名额，现分给3个年级，每个年级至少一个名额，则有6种分法 10. 下列说法正确的是（ ） A. 从含有2件次品和98件正品的100件产品中任取2件，则至少取到1件次品的取法有种 B. 甲乙等8名同学和1名老师站成一排照相，则老师必须站在最中间且甲乙必须站在一起的站法有8640种 C. 4名同学去争夺3项冠军，不允许并列，共有64种不同的情况 D. 将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，每个盒子至少放1个，共有300种放法 11. 已知函数，，下列说法正确的是（ ） A. 函数有两个极值点，则 B. 当时，函数在上有最小值 C. 当时，函数有两个零点 D. 当时，函数在上单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ___________（用数字表示）． 13. 今有2个红球､3个黄球､4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列，要求2个红球相邻，3个黄球不相邻，不同的排列种数为__________.（用数字作答） 14. 有6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有______种分法. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 求解下列问题： （1）计算：； （2）求证： （3）解关于的不等式：； 16. 已知函数. （1）当时，求函数单调区间； （2）若函数在上的最小值是，求a的值. 17. 已知函数，其中，e是自然对数的底数. （1）当时，求函数在区间上的零点个数； （2）若对任意的实数x恒成立，求a的取值范围. 18. 已知函数，记的图象为曲线C （1）若以曲线C上的任意一点为切点作C的切线，求切线的斜率的最小值； （2）求证：以曲线C上的两个动点A，B为切点分别作C的切线，，若恒成立，则动直线恒过某定点M. 19. 南京玄武湖号称“金陵明珠”，是我国仅存皇家园林湖泊．在玄武湖的一角有大片的荷花，每到夏季，荷花飘香，令人陶醉．夏天的一个傍晚，小胡和朋友游玄武湖，发现观赏荷花只能在岸边，无法深入其中，影响观赏荷花的乐趣，于是他便有了一个愿景：若在玄武湖一个盛开荷花的一角（该处岸边近似半圆形，如图所示）设计一些栈道和一个观景台，观景台在半圆形的中轴线上（图中与直径垂直，与不重合），通过栈道把连接起来，使人行在其中，犹如置身花海之感．已知，栈道总长度为函数． （1）求； （2）若栈道的造价为每米5万元，试确定观景台的位置，使实现该愿景的建造费用最小（观景台的建造费用忽略不计），并求出实现该愿景的建造费用的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$