阶段质量检测(1)（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（北师大版2019）

阶段质量检测(一) (时间：120分钟　满分：150分) 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知角α的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边经过点P(4，－3)，则sin (＋α)·cos (－α)的值是(　　) A．－ B． C．－ D． A　解析：因为α的终边经过点P(4，－3)，所以sin α＝＝－，cos α＝， 所以sin (＋α)·cos (－α)＝cos αsin α＝×(－)＝－. 2．下列函数以为周期的是(　　) A．f(x)＝sin 2x B．f(x)＝tan 2x C．f(x)＝|cos x| D．f(x)＝cos x B　解析：对A，T＝＝π，故A错误； 对B，T＝，故B正确； 对C，T＝＝π，故C错误； 对D，T＝＝4π，故D错误． 3．若α是第四象限角，则点P(sin α，cos α)在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 B　解析：由于α是第四象限角，所以sin α<0，cos α>0， 所以P(sin α，cos α)在第二象限． 4．工艺扇面是中国书画的一种常见表现形式．如图所示，已知扇面展开后形成一个中心角为的扇环，其中扇环的外圆半径为30 cm，内圆半径为10 cm，某同学准备用布料制作这样一个扇面，若不计损耗，则需要布料(　　) A.15π cm2 B．30π cm2 C．300π cm2 D．600π cm2 C　解析：由题意可知，扇环的面积为S＝××(302－102)＝300π( cm2). 5．已知a＝sin 55°，b＝sin 110°，c＝tan 55°，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a<b<c B．a<c<b C．b<a<c D．b<c<a A　解析：因为b＝sin 110°＝sin 70°>sin 55°＝a，所以a<b； 因为b＝sin 110°<1＝tan 45°<tan 55°，所以b<c，因此a<b<c. 6．已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 024)＝(　　) A． B．0 C．＋2 D．－2 B　解析：由f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的图象可知，A＝2，T＝8， 故ω＝＝，又f(0)＝0且|φ|<，则可得出φ＝0，故f(x)＝2sin x. 根据函数的对称性可知f(1)＝f(3)＝－f(5)＝－f(7)＝，f(2)＝－f(6)＝2，f(4)＝f(8)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(8)＝0， 所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 024)＝253×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(8)]＝0. 7．如图，A是自行车前轮外边沿上的一点，前轮半径为0.25 m，若单车向前直行6.80 m时(车轮向前顺时针滚动，无滑动)，下列描述正确的是(π≈3.14)(　　) A．点A在前轮的左下位置，距离地面约为0.125 m B．点A在前轮的右下位置，距离地面约为0.125 m C．点A在前轮的左上位置，距离地面约为0.375 m D．点A在前轮的右上位置，距离地面约为0.375 m C　解析：自行车在向前直行的过程中，点A在前轮上按照顺时针的方向在旋转， 点A转过的弧度数为－＝－27.2≈－π， 以前轮的圆心为原点，以向前的方向为x轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标系， 以x轴的正半轴为始边，以射线OA的初始位置为终边的角为－， 则向前直行6.80 m后，射线OA转到图中OB的位置，其中∠AOB≈， 故点A在前轮的左上位置， 距离地面约为0.25＋0.25sin (－)＝0.25＋0.25sin ＝0.375(m). 8．(2024·新课标Ⅰ卷)当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin (3x－)的交点个数为(　　) A．3 B．4 C．6 D．8 C　解析：因为函数y＝2sin (3x－)的最小正周期T＝，所以函数y＝2sin (3x－)在[0，2π]上的图象恰好是三个周期的图象，作出函数y＝2sin (3x－)与y＝sin x在[0，2π]上的图象如图所示， 由图可知，这两个图象共有6个交点，故选C. 二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．要得到y＝cos (2x－)的图象，可以(　　) A．将曲线y＝cos 2x上所有的点向右平移个单位长度 B．将曲线y＝cos 2x上所有的点向右平移个单位长度 C．将曲线y＝cos (x－)上所有的点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 D．将曲线y＝cos (x－)上所有的点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 BD　解析：要得到y＝cos (2x－)的图象，可以将曲线y＝cos 2x上所有的点向右平移个单位长度，故选项A错误，选项B正确； 又y＝cos (2x－)的图象也可将曲线y＝cos (x－)上所有的点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变得到，所以选项C错误，选项D正确． 10．已知函数f(x)＝sin (3x＋)，则(　　) A．点(－，0)是f(x)图象的一个对称中心 B．直线x＝是f(x)图象的一条对称轴 C．f(x)在[0，]上单调递增 D．f(x＋)＝f(x) AB　解析：函数f(x)＝sin (3x＋)， f(－)＝sin [3×(－)＋]＝sin 0＝0，点(－，0)是f(x)图象的一个对称中心，A选项正确； f()＝sin (3×＋)＝sin ＝1，是函数最值，直线x＝是f(x)图象的一条对称轴，B选项正确； 当x∈[0，]时，3x＋∈[，]，[，]不是正弦函数的单调递增区间，C选项错误； f(x＋)＝sin [3(x＋)＋]＝sin (3x＋π＋)＝－sin (3x＋)＝－f(x)，D选项错误． 11．关于函数f(x)＝cos |x|＋|sin x|的下述四个结论中，正确的有(　　) A．f(x)是偶函数 B．f(x)的最大值为2 C．f(x)在[－π，π]上有3个零点 D．f(x)在区间(0，)上单调递增 AD　解析：对于A，∵f(x)的定义域为R，f(－x)＝cos |－x|＋|sin (－x)|＝cos |x|＋|sin x|＝f(x)， ∴f(x)为偶函数，A正确； 对于B，∵当x＝2k1π(k1∈Z)时，(cos |x|)max＝1；当x＝＋k2π(k2∈Z)时，(|sin x|)max＝1， ∴cos |x|与|sin x|无法同时取得最大值，即f(x)最大值不为2，B错误； 对于C，当x∈[0，π]时，f(x)＝cos x＋sin x＝sin (x＋)， ∵x＋∈[，]，∴当且仅当x＋＝π，即x＝时，f(x)＝0， ∴f(x)在[0，π]上有且仅有一个零点x＝； 由A知f(x)为偶函数，∴f(x)在[－π，0]上有且仅有一个零点x＝－， ∴f(x)在[－π，π]上有2个零点，C错误； 对于D，当x∈(0，)时，f(x)＝cos x＋sin x＝sin (x＋)， ∵x＋∈(，)，∴f(x)在(0，)上单调递增，D正确． 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12．函数y＝的定义域为______________． 答案：[＋kπ，＋kπ)，k∈Z　解析：要使y＝有意义，则有tan x－1≥0， 由tan x≥得x∈[＋kπ，＋kπ)，k∈Z， 所以原函数的定义域为[＋kπ，＋kπ)，k∈Z. 13．函数f(x)＝sin2x－sinx＋1，x∈[0，]的值域是________． 答案：[，1]　解析：由题意，令t＝sin x，x∈[0，]，则t∈[0，1]， 函数f(x)＝sin2x－sinx＋1，x∈[0，]即为g(t)＝t2－t＋1，t∈[0，1]， 而g(t)＝t2－t＋1＝(t－)2＋， 当t＝时，g(t)＝t2－t＋1，t∈[0，1]取到最小值， 当t＝0或t＝1时，g(t)＝t2－t＋1，t∈[0，1]取到最大值1， 故f(x)＝sin2x－sinx＋1，x∈[0，]的值域为[，1]. 14．已知直线y＝a与函数f(x)＝tan (ωx＋φ)(ω>0，0<φ<)的图象所有交点之间的最小距离为2，且其中一个交点为(1，－1)，则函数y＝f(x)的图象与函数y＝(－<x<)的图象所有交点的横坐标之和为________． 答案：6　解析：依题意，函数f(x)＝tan (ωx＋φ)的最小正周期为2，则＝2，解得ω＝， 于是f(x)＝tan (x＋φ)，由f(1)＝tan (＋φ)＝－1，得＋φ＝＋kπ，k∈Z， 而0<φ<，取k＝0，φ＝，因此f(x)＝tan (x＋)，显然f()＝tan (＋)＝0， 则函数y＝f(x)的图象关于点(，0)成中心对称，又函数y＝的图象关于点(，0)成中心对称， 在同一平面直角坐标系内作出函数y＝f(x)和y＝的图象，如图， 观察图象知，两个函数在(－，)上的图象共有4个公共点，且关于点(，0)成中心对称， 所以4个交点的横坐标之和为×4＝6. 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(13分)已知角α的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过定点P(2，3). (1)求sin α，cos α的值； (2)求 的值． 解：(1)由题意知，因为角α的终边过点P(2，3)， 则点P到原点O的距离r＝|OP|＝＝， 则sin α＝＝＝，cos α＝＝＝. (2) ＝ ＝＝－ ＝－＝－. 16．(15分)设函数f(x)＝sin (2x－)(x∈R). (1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间； (2)求函数f(x)在区间[，]上的最大值和最小值． 解：(1)由题知，f(x)＝sin (2x－)(x∈R)， 所以函数f(x)的最小正周期T＝＝π. 令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)， 得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)， 所以f(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z). (2)因为x∈[，]，所以2x－∈[－，]， 所以当2x－＝，即x＝时，f(x)有最大值，最大值为1， 当2x－＝－，即x＝时，f(x)有最小值，最小值为－， 所以f(x)在区间[，]上的最大值为1，最小值为－. 17．(15分)已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)，其中ω>0，0<φ<，该函数图象以(，0)为对称中心，且与其相邻的一条对称轴为x＝. (1)求函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)的周期及表达式； (2)若函数f(x)对任意x∈[，]，都有f(x)－2a≤0恒成立，求实数a的取值范围． 解：(1)由于函数图象以(，0)为对称中心，且其相邻的一条对称轴为x＝， 可知＝－＝，故周期T＝， 由周期T＝(ω>0)，所以ω＝3，即函数f(x)＝2sin (3x＋φ)， 又由函数的一条对称轴为x＝，所以有3×＋φ＝＋kπ(k∈Z)， 又0<φ<，故有φ＝， 所以函数的表达式为f(x)＝2sin (3x＋). (2)由x∈[，]，可知≤3x＋≤， 由三角函数图象性质可得－≤sin (3x＋)≤， 所以－≤f(x)≤， 又因为函数f(x)对任意x∈[，]，都有f(x)－2a≤0恒成立， 故只需f(x)max≤2a即可，即≤2a⇒a≥. 故实数a的取值范围为[，＋∞). 18．(17分)已知函数f(x)＝sin (2x－). (1)用“五点法”作出f(x)在一个周期内的图象； (2)若方程f(x)＋a＝0在区间[0，]上有解，请写出a的取值范围，无需说明理由． 解：(1)列表： 2x－ 0 π 2π x sin (2x－) 0 1 0 －1 0 绘制图象如下： (2)a的取值范围是[－1，]. 19．(17分)已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的最小正周期为2，f(x)的一个零点是. (1)求f(x)的解析式； (2)当x∈[0，m](m>0)时，f(x)的最小值为－，求m的取值范围． 解：(1)由题知T＝＝2，所以ω＝π. 又因为f()＝sin (＋φ)＝0，所以＋φ＝kπ，k∈Z，即φ＝－＋kπ，k∈Z. 又－<φ<，则φ＝－， 所以f(x)＝sin (πx－). (2)因为f(x)＝sin (πx－)，x∈[0，m]，令t＝πx－∈[－，πm－]， 所以y＝sin t在[－，πm－](m>0)上的最小值为－， 所以πm－≤，解得m≤， 所以m的取值范围是(0，]. 学科网（北京）股份有限公司 $$