6.1.1 构成空间几何体的基本元素&6.1.2 简单多面体——棱柱、棱锥和棱台（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（北师大版2019）

立体几何初步 §1　基本立体图形 1．1　构成空间几何体的基本元素 1．2　简单多面体——棱柱、棱锥和棱台 第六章 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 点 线(直线和曲线) 面(平面和曲面) 无限延展 返回导航 数学 必修 第二册 北　 画法 一般地，用平行四边形表示平面，当平面水平放置时，通常把平行四边形的锐角画成45°，横边长画成邻边长的两倍 图示 返回导航 数学 必修 第二册 北　 平面α 平面AC 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 A 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 平面多边形 面 棱 顶点 返回导航 数学 必修 第二册 北　 平行 平行 返回导航 数学 必修 第二册 北　 底 侧面 侧棱 顶点 对角线 高 返回导航 数学 必修 第二册 北　 相等 全等 平行四边形 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 直棱柱 正棱柱 返回导航 数学 必修 第二册 北　 平行六面体 矩形 棱长都相等 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 D 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 多边形 三角形 返回导航 数学 必修 第二册 北　 底面 侧面 侧棱 高 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 四面体 正棱锥 等腰三角形 斜高 返回导航 数学 必修 第二册 北　 棱锥 下底面 上底面 侧面 侧棱 高 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 正棱锥 等腰梯形 斜高 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 B 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 A 返回导航 数学 必修 第二册 北　 ①② 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 必修 第二册 北　 A 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 C 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 D 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 谢谢观看 返回导航 数学 必修 第二册 北　 学习目标 1.了解平面的表示方法与点、线与面的位置关系． 2．通过对实物模型的观察，归纳认知棱柱、棱锥、棱台的结构特征． 3．能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简单几何体的结构并进行有关计算． 知识点一　构成空间几何体的基本元素 生活中粉笔、电线杆等给我们以直线的形象，黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等则给我们以平面的形象，试举出更多例子，根据这些实例，试着描述平面有哪些特征？ 1．空间几何体的基本几何元素是__、________________、________________等． 2．平面 (1)平面是空间最基本的图形．平整的桌面、平静的湖面都给人平面的印象，平面是________的． (2)平面的画法 (3)平面的表示法 图①的平面可表示为______，平面ABCD，_______或平面BD. (4)直线与平面的位置关系 关系 平行 相交 直线与平面 没有公共点 有公共点 平面与平面 没有公共点 有公共点 (5)两平面相交的画法 两平面相交时，被遮挡的部分画成虚线或不画，如图： [例1] 下列说法正确的是________．(填序号) ①平面是无限延展的； ②一个平面长3 cm，宽4 cm； ③两个平面重叠在一起，比一个平面厚； ④通过改变直线的位置，可以把直线放在某个平面内． 答案：①④　 ①正确，平面是无限延展的；②不正确，平面没有大小；③不正确，平面没有薄厚；④正确，平面可以看成是直线平行移动形成的，所以直线通过改变其位置，可以放在某个平面内． 平面与平面图形的区别 (1)平面是从现实物体中抽象出来的，无法度量、无限延展． (2)平面图形是指平面上的三角形、正方形等几何图形，它们有长度、面积的大小，可以度量． [练1] 已知下列四个结论：①铺得很平的一张白纸是一个平面；②平面的形状是平行四边形；③一个平面的面积可以等于1 m2.其中正确结论的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 在立体几何中，平面是无限延展的，所以①③错误；通常我们画一个平行四边形来表示一个平面，但并不是说平面就是平行四边形，故②错误． 知识点二　棱柱 观察下列图形，你能给出它们的定义吗？它们又有哪些结构特征？你能结合具体模型来说一说吗？ 1．多面体 有些几何体是由__________围成的，称为多面体．这些多边形称为多面体的__，两个相邻的面的公共边称为多面体的__，棱与棱的公共点称为多面体的____． 2．棱柱的结构特征 (1)定义 每个多面体都有两个面是边数相同的多边形，且它们所在平面都____，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都相互____，像这样的几何体称为棱柱． (2)相关概念 棱柱中，两个互相平行的面称为棱柱的底面，简称__；其余各面称为棱柱的____；相邻侧面的公共边称为棱柱的____；侧面与底面的公共顶点称为棱柱的____；既不在同一底面上也不在同一个侧面上的两个顶点的连线称为棱柱的______(如图).过上底面上一点O1作下底面的垂线，这点和垂足O间的距离OO1称为点O1到下底面的距离，也是两底面间的距离，即棱柱的__． (3)棱柱的性质 ①侧棱都____； ②两个底面与平行于底面的截面都是____的多边形； ③过不相邻两条侧棱的截面都是__________． (4)棱柱的表示 棱柱可以用它的两个底面各顶点的字母来表示，也可以用它的某一条对角线的两个端点的字母来表示，如(2)图，棱柱既可表示为棱柱ABCDE­A1B1C1D1E1，也可表示为棱柱AC1. (5)棱柱的分类 ①侧面平行四边形都是矩形的棱柱称为______，其他的棱柱称为斜棱柱．底面是正多边形的直棱柱称为______． 棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形……这样的棱柱分别称为三棱柱、四棱柱、五棱柱……； ②底面是平行四边形的棱柱称为__________．侧棱与底面垂直的平行六面体称为直平行六面体；底面是____的直平行六面体是长方体；__________的长方体是正方体． (1)棱柱的底面多边形平行且全等，棱柱的侧面均为平行四边形； (2)既不在同一底面上也不在同一侧面上的对角线称为体对角线，而在同一侧面或底面上的对角线称为面对角线． [例2] 关于如图所示的4个几何体，说法正确的是(　　) A.只有②是棱柱 B．只有②④是棱柱 C.只有①②是棱柱 D．只有①②④是棱柱 棱柱是多面体中最简单的一种，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行． 图①，满足棱柱的定义，正确； 图②，满足棱柱的定义，正确； 图③，不满足棱柱的定义，不正确； 图④，满足棱柱的定义，是四棱柱，正确． 棱柱结构的辨析方法 (1)扣定义：判定一个几何体是不是棱柱的关键是看是否符合棱柱的定义． ①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面；其余各面是平行四边形． ②看“线”，即观察相邻两个四边形的公共边是否都互相平行． (2)举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除． [练2] 对如图所示的几何体描述正确的是________．(填序号) ①这是一个六面体； ②这是一个四棱柱； ③此几何体可由三棱柱截去一个小三棱柱而得到； ④此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱而得到． 答案：①②③④　 题图所示的几何体共有6个面，因此是一个六面体．①判断正确； 题图所示的几何体可以看成以前后面梯形为底面的四棱柱．②判断正确； 题图所示的几何体可以看成由三棱柱截去一个小三棱柱而得到．③判断正确； 题图所示的几何体可以看成由四棱柱截去一个三棱柱而得到．④判断正确． 知识点三　棱锥和棱台 你能给出下列图形的定义，并类比棱柱的研究过程研究下列图形的结构特征吗？请结合模型说一说． 1．棱锥的结构特征 (1)定义 有一个面是______，其余各面都是有一个公共顶点的______，由这些面所围成的几何体称为棱锥． (2)相关概念 如图，多边形ABCDEF称为棱锥的____，简称底；其余各面称为棱锥的____；各个侧面的公共点称为棱锥的顶点；相邻两个侧面的公共边称为棱锥的____；顶点到底面的距离称为棱锥的__． (3)棱锥的表示 棱锥可以用表示它的顶点和底面各顶点的字母来表示，如棱锥S­ABCDEF(如(2)图)，也可用顶点和底面一条对角线端点的字母来表示，如棱锥S­AC(如(2)图). (4)棱锥的性质 如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似． (5)棱锥的分类 棱锥的底面可以是三角形、四边形、五边形……这样的棱锥分别称为三棱锥、四棱锥、五棱锥……三棱锥也叫作______． 如果棱锥的底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上，那么这个棱锥称为______．正棱锥各侧面都是全等的__________，这些等腰三角形底边上的高都相等，称为正棱锥的____． 2．棱台的结构特征 (1)定义 用一个平行于底面的平面去截____，截面与底面之间的部分称为棱台． (2)相关概念 原棱锥的底面和截面分别称为棱台的______和______；其余各面称为棱台的____；相邻两个侧面的公共边称为棱台的____；上底面、下底面之间的距离称为棱台的__． (3)棱台的表示 棱台用上底面、下底面多边形各顶点的字母来表示，如图中的棱台表示为棱台ABC­A1B1C1. (4)棱台分类 由三棱锥、四棱锥、五棱锥……所截得的棱台，分别称为三棱台、四棱台、五棱台……由______截得的棱台称为正棱台．正棱台各侧面都是全等的________，这些等腰梯形的高称为正棱台的____． (1)棱锥的侧棱均有公共点，侧面均为三角形． (2)侧棱长与底面边长相等的三棱锥叫作正四面体，面数最少的多面体是三棱锥． (3)棱台的侧棱的延长线交于一点，两底面平行． [例3] 如图，三棱台ABC­A′B′C′截去三棱锥A′­ABC后，剩余部分是(　　) A.三棱锥 B.四棱锥 C.三棱台 D.四棱柱 三棱台ABC­A′B′C′截去三棱锥A′­ABC后，剩下的部分是多面体A′­BCC′B′，是以四边形BCC′B′为底面，点A′为顶点的四棱锥A′­BCC′B′. 棱锥、棱台的判断方法 (1)举反例法 结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构的某些说法不正确． (2)直接法 棱锥 棱台 定底面 只有一个面是多边形，此面即为底面 两个互相平行的面，即为底面 看侧棱 相交于一点 延长后相交于一点 [练3] (1)下列说法中，正确的个数为(　　) ①有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱； ②有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台； ③底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥； ④棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是正六棱锥． A．0 B．1 C．2 D．3 (2)下列关于棱锥、棱台的说法： ①棱台的侧面一定不会是平行四边形； ②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥； ③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥． 其中正确说法是________．(填序号) (1)①中，有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边互相平行的几何体一定是棱柱．故①不正确； ②中，有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体不一定是棱台，只有当四个等腰梯形的腰延长后交于一点时，这个六面体才是棱台．故②不正确； ③中，底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥不一定是正三棱锥，只有当三棱锥的顶点在底面的射影是底面中心时，才是正三棱锥．故③不正确； ④中，因为正六棱锥的底面是正六边形，侧棱在底面内的射影与底面边长相等，所以正六棱锥的侧棱长一定大于底面边长，故④不正确．故正确的个数为0. (2)对于①：棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形，故①正确； 对于②：由四个平面围成的封闭图形是四面体也就是三棱锥，故②正确； 对于③：如图所示的四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥，故③错误． 知识点四　空间几何体的平面展开图 [例4] 如图，在侧棱长为2的正三棱锥V­ABC中，∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝40°，过点A作截面△AEF，求截面△AEF周长的最小值． 沿着侧棱VA把正三棱锥V­ABC展开在一个平面内，如图． 则AA1的长即为截面△AEF周长的最小值， 且∠AVA1＝∠AVB＋∠BVC＋∠CVA＝120°. 取AA1的中点为D，连接VD，则VD⊥AA1，且VA＝2，∠AVD＝60°， 在Rt△VAD中，AD＝VA sin 60°＝3，所以AA1＝2AD＝6， 故截面△AEF周长的最小值为6. 求几何体表面上两点间的最小距离 (1)将几何体沿着某棱剪开后展开，画出其侧面展开图． (2)将立体图形问题转化为平面图形问题． (3)结合已知条件求得结果． [练4] 已知正六棱柱ABCDEF­A1B1C1D1E1F1的底面边长为，侧棱长为1，则动点从A沿侧面移到点D1时的最短的路程是多长？ 将正六棱柱侧面展开，只需展开一半，即可求得A与D1之间的距离．如图所示： 则AD＝AD2＋DD＝(3×)2＋1＝28，所以AD1＝2. 即动点从A沿侧面移到点D1时的最短路程为2. ◎随堂演练 1．下列几何体中，面的个数最小的是(　　) A．四面体 B．四棱锥 C．三棱柱 D．三棱台 四面体有4个面， 四棱锥有5个面， 三棱柱有5个面， 三棱台有5个面， 所以面的个数最小的是四面体． 2．下列描述中，不是棱锥的结构特征的是(　　) A．三棱锥有4个面是三角形 B．棱锥的侧面都是三角形 C．棱锥都有两个互相平行的多边形面 D．棱锥的侧棱交于一点 A中，根据棱锥的结构特征，可得三棱锥有4个面是三角形，所以A正确； B中，根据棱锥的定义，可得棱锥的侧面都是三角形，所以B正确； C中，根据棱锥的定义，可得棱锥都没有两个互相平行的多边形面，所以C错误； D中，根据棱锥的定义，可得棱锥的侧棱交于一点，所以D正确． 3．下列说法正确的是(　　) A．棱台的侧棱长都相等 B．棱锥被平面截成的两部分是棱锥和棱台 C．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 D．棱台的两个底面相似 由棱台的定义知棱台的侧棱长不一定都相等，而棱台的两个底面相似，所以A不正确，D正确； 若平面沿棱锥的高去截，则棱锥被平面截成的两部分都是棱锥，B不正确； 棱柱的侧棱都相等且相互平行，且侧面是平行四边形，但侧面并不一定全等，C不正确，故选D. 4．如图所示，在所有棱长均为1的直三棱柱上，有一只蚂蚁从点A出发，围着三棱柱的侧面爬行一周到达点A1，则爬行的最短路线长为________． 答案： 正三棱柱的侧面展开图是如图所示的矩形， 矩形的长为3，宽为1，则其对角线AA′1的长为最短路程． 因此蚂蚁爬行的最短路程为＝. $$