课时梯级训练(19) 平面向量及运算的坐标表示（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（北师大版2019）

课时梯级训练(19)　平面向量及运算的坐标表示 1．已知点P与A(0，2)，B(－1，0)共线，则点P的坐标可以为(　　) A．(1，－1) B．(1，4) C．(－，－1) D．(－2，1) B　解析：设P(x，y)，则＝(x，y－2)，＝(－1，－2)， 由P，A，B三点共线，得∥，所以－2x＋(y－2)＝0，则2x－y＋2＝0. 选项A，2×1－(－1)＋2＝5≠0，不满足2x－y＋2＝0，故A错误； 选项B，2×1－4＋2＝0，满足2x－y＋2＝0，故B正确； 选项C，2×(－)－(－1)＋2＝2≠0，不满足2x－y＋2＝0，故C错误； 选项D，2×(－2)－1＋2＝－3≠0，不满足2x－y＋2＝0，故D错误． 2．已知平面向量a＝(－1，2)，b＝(3，－2)，c＝(t，t)，若(a＋c)∥b，则t＝(　　) A． B．－ C．－ D．－ B　解析：因为a＝(－1，2)，b＝(3，－2)，c＝(t，t)，所以a＋c＝(－1＋t，2＋t)，又(a＋c)∥b，所以3×(2＋t)＝(－2)×(－1＋t)，解得t＝－.故选B. 3．在四边形ABCD中，A(－2，0)，B(－1，3)，C(3，4)，D(2，3)，E，F分别为边AB，CD的中点，则＝(　　) A．(4，2) B．(－4，－2) C．(8，4) D．(－8，－4) A　解析：因为A(－2，0)，B(－1，3)，C(3，4)，D(2，3)，E，F分别为边AB，CD的中点， 所以E(－，)，F(，)，所以＝(，)－(－，)＝(4，2). 4．已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，若第四象限的点P满足＝＋λ，则实数λ的取值范围是(　　) A．(－∞，－1) B．(－∞，－) C．(－1，－) D．(－1，－) C　解析：方法一　设P(x，y)，则＝(x－2，y－3)，＝(3，1)，＝(5，7)， 又＝＋λ＝(3，1)＋λ(5，7)＝(3＋5λ，1＋7λ)， 所以(x－2，y－3)＝(3＋5λ，1＋7λ)， 所以x－2＝3＋5λ，y－3＝1＋7λ，即 因为点P在第四象限， 所以5λ＋5>0，7λ＋4<0， 解得－1<λ<－， 故所求实数λ的取值范围是(－1，－). 方法二　＝＋＝＋＋λ＝＋λ＝(5，4)＋λ(5，7)＝(5＋5λ，4＋7λ)， 所以P(5＋5λ，4＋7λ)，因为点P在第四象限，所以5λ＋5>0，7λ＋4<0，解得－1<λ<－. 5．(多选)已知向量a＝(1，－2)，若存在实数λ，μ，使得a＝λe1＋μe2，则e1，e2可以是(　　) A．e1＝(1，1)，e2＝(2，2) B．e1＝(0，0)，e2＝(－2，4) C．e1＝(1，1)，e2＝(1，2) D．e1＝(－1，2)，e2＝(2，－4) BCD　解析：对于A，由a＝λe1＋μe2，得(1，－2)＝λ(1，1)＋μ(2，2)，所以无解，所以不存在实数λ，μ，使得a＝λe1＋μe2，所以此选项错误； 对于B，由a＝λe1＋μe2，得(1，－2)＝λ(0，0)＋μ(－2，4)，所以解得μ＝－，λ∈R，存在实数λ，μ，使得a＝λe1＋μe2，所以此选项正确； 对于C，由a＝λe1＋μe2，得(1，－2)＝λ(1，1)＋μ(1，2)，所以解得所以存在实数λ，μ，使得a＝λe1＋μe2，所以此选项正确； 对于D，由a＝λe1＋μe2，得(1，－2)＝λ(－1，2)＋μ(2，－4)，所以解得或所以存在实数λ，μ，使得a＝λe1＋μe2，所以此选项正确．故选BCD. 6．已知向量a＝(1，2)，b＝(2，3)，c＝(3，4)，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1，λ2的值分别为________． 答案：－1，2　解析：由题意得解得 7．如图，在平面直角坐标系中，＝(2，－3)，则点D的坐标为________． 答案：(4，1)　解析：由图知C(2，4)，设点D的坐标为(x，y)， 则＝－＝(x－2，y－4)＝(2，－3)，即解得 所以点D的坐标为(4，1). 8．如图所示，已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6). (1)求顶点D的坐标； (2)已知点M(8，10)，判断A，M，C三点的位置关系，并作出证明． 解：(1)由四边形ABCD是平行四边形可得＝，又A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，＝(4，1)， 所以＝－＝(5，6)－(4，1)＝(1，5)，所以点D的坐标为(1，5). (2)A，M，C三点共线．证明如下： 因为A(－1，－2)，C(5，6)，M(8，10)， 所以＝(6，8)，＝(9，12)＝，又，有公共点A， 所以A，M，C三点共线． 9．已知向量a＝(1，2)，b＝(－1，3)，c＝(4，3). (1)求满足c＝ma＋nb的实数m，n的值； (2)若(a＋kc)∥(b－a)，求实数k的值． 解：(1)由c＝ma＋nb，得(4，3)＝m(1，2)＋n(－1，3)，则有解得 所以m＝3，n＝－1. (2)依题意，a＋kc＝(1＋4k，2＋3k)，b－a＝(－2，1)， 由(a＋kc)∥(b－a)，得1＋4k＋2(2＋3k)＝0，解得k＝－. 10．已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点不能构成三角形，则实数k应满足的条件是(　　) A．k＝－2 B．k＝ C．k＝1 D．k＝－1 C　解析：因为A，B，C三点不能构成三角形，则A，B，C三点共线，则∥，又＝－＝(1，2)，＝－＝(k，k＋1)，所以2k－(k＋1)＝0，解得k＝1. 11．如图，在正方形ABCD中，M是BC的中点．若＝λ＋μ，则λ＋μ的值为(　　) A． B． C． D．2 B　解析：以A为坐标原点建立平面直角坐标系(图略). 设正方形ABCD的边长为1，则＝(1，1)，＝(1，)，＝(－1，1)， 故解得所以λ＋μ＝.故选B. 12．已知A(0，0)，B(2，0)，C(0，2)，D为线段AB上的点，且＝2，则D点坐标为________，若＝x＋y，则xy＝________． 答案：(，0)　　解析：由题意知＝2，∴＝2，设D(x，y)，则∴ ∴D(，0)，∴＝(，－2)， 由＝x＋y＝x(0，－2)＋y(2，－2)＝(2y，－2x－2y)＝(，－2)， ∴∴∴xy＝. 13．已知向量＝(－2，4)，＝(－a，2)，＝(b，0)，a>0，b>0，若A，B，C三点共线，则＋的最小值为________． 答案：　解析：由题意得＝(－a＋2，－2)，＝(b＋2，－4). 又∥，所以－4(－a＋2)＝－2(b＋2)，整理得2a＋b＝2， 所以＋＝(2a＋b)(＋)＝(3＋＋)≥(3＋2)＝， 当且仅当b＝a时等号成立． 14．在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，－1). (1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长(提示：若a＝(x，y)，则|a|＝)； (2)设a＝－t，且b＝(1，－2)，若a∥b，求t的值． 解：(1)方法一　由题设知＝(3，5)，＝(－1，1)， 则＋＝(2，6)，－＝(4，4). 所以|＋|＝2，|－|＝4. 故所求的两条对角线的长分别为4，2. 方法二　设该平行四边形的第四个顶点为D， 两条对角线的交点为E，则E为线段BC的中点，即E(0，1). 又E(0，1)为线段AD的中点，所以D(1，4). 所以＝(－4，－4)，＝(2，6)， 故所求的两条对角线的长分别为BC＝4，AD＝2. (2)由题设知＝(－2，－1)，a＝－t＝(3＋2t，5＋t). 由a∥b得－6－4t＝5＋t，所以5t＝－11，所以t＝－. 15．设向量a＝(λ＋2，λ2－cos2α)，b＝(m，＋sinα)，其中λ，m，α为实数，若a＝2b，求的取值范围． 解：由a＝2b， 知∴ 又cos2α＋2sinα＝－sin2α＋2sinα＋1＝－(sin α－1)2＋2， ∴－2≤cos2α＋2sinα≤2，∴－2≤λ2－m＝(2m－2)2－m≤2， ∴≤m≤2.∵＝＝2－，∴－6≤2－≤1，∴的取值范围为[－6，1]. 学科网（北京）股份有限公司 $$