课时梯级训练(18) 平面向量基本定理（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（北师大版2019）

课时梯级训练(18)　平面向量基本定理 1．如图所示，点O为正六边形ABCDEF的中心，则可作为基的一对向量是(　　) A．， B．， C．， D．， B　解析：由题中图形可知，与，与，与共线，不能作为基向量，与不共线，可作为基向量． 2．在△ABC中，＝c，＝b，若点D满足＝2，以{b，c}作为基，则＝(　　) A．b＋c B．b－c C．b－c D．b＋c A　解析：如图，因为＝2，则－＝2(－)，即－c＝2(b－)，解得＝b＋c. 3．在梯形ABCD中，设＝a，＝b，若＝－2，则＝(　　) A．a＋b B．－a＋b C．a＋b D．a－b A　解析：＝＋＝b＋＝b＋a. 4．如图，在△ABC中，D为AB上一点，＝2，P为CD上一点，＝3，且＝m＋n(m，n∈R)，则m＋n的值为(　　) A． B． C． D． D　解析：因为＝3，＝2，所以＝，＝， ＝＋＝＋＝＋－＝＋＝＋×＝＋， 又＝m＋n(m，n∈R)，所以m＝，n＝，故m＋n＝. 5．(多选)若e1，e2是平面α内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是(　　) A．λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量 B．对于平面α中的任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数λ，μ有无数多对 C．λ1，μ1，λ2，μ2均为实数，且向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2) D．若存在实数λ，μ，使λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0 BC　解析：由题意可知，e1，e2可以看成一组基向量， 根据平面向量基本定理可知，A，D正确，B不正确； 对于C，当λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，则λ1e1＋μ1e2＝λ2e1＋μ2e2＝0， 此时任意实数λ均有λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)，故C不正确． 6．已知▱ABCD的两条对角线相交于点O，以＝a，＝b为基向量，则＝________． 答案：b－a　解析：根据平行四边形的性质可知，＝＝(－)＝b－a. 7．(2024·福建福州高一期末)如图，在四边形ABCD中，＝，E为BC的中点，且＝x＋y，则3x－2y＝________． 答案：1　解析：∵E为BC的中点，∴＝， 又＝＋＋＝－＋＋＝－＋， ∴＝(－＋)＝－＋， ∴＝＋＝－＋＝＋. 而＝x＋y，∴x＝，y＝. ∴3x－2y＝2－1＝1. 8．如图所示，已知在△AOB中，BC＝2AC，OD＝2DB，DC和OA交于点E，设＝a，＝b. (1)用a和b表示向量，； (2)若＝λ，求实数λ的值． 解：(1)由题意知，A是BC的中点，且＝， 由向量加法的平行四边形法则知，＋＝2， 所以＝2－＝2a－b， ＝－＝(2a－b)－b＝2a－b. (2)因为∥，又＝－＝(2a－b)－λa＝(2－λ)a－b， ＝2a－b，所以＝，解得λ＝. 9．如图所示，在△ABC中，AQ为边BC的中线，＝t，＝x，＝λ，＝μ，其中t>0，x>0，λ>0，μ>0. (1)当t＝时，用向量，表示； (2)证明：＋为定值． (1)解：当t＝时，＝， 因为AQ为边BC的中线， 所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋， 所以＝＋. (2)证明：由(1)可知＝＋，所以＝t＝(＋). 而＝x，＝λ，＝μ， 所以＝－＝x－x， 即(＋)－λ＝xμ－xλ， 整理可得(－λ＋xλ)＝(xμ－)， 而，是不共线向量，所以－λ＋xλ＝xμ－＝0，即 两式相加可得＋＝2，是定值． 11．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆弧AB上的两个三等分点，＝a，＝b，则＝(　　) A．a－b B．a－b C．a＋b D．a＋b D　解析：连接CD，OD(图略)， 12．已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，动点P满足＝(·＋＋2)，则点P一定为(　　) A．AB边中线的中点 B．AB边中线的三等分点(非重心) C．△ABC的重心 D．AB边的中点 B　解析：∵O是△ABC的重心， ∴＋＋＝0， ∴＝(－＋2)＝， ∴点P是线段OC的中点， 即AB边中线上靠近点C的三等分点(非重心). 13．已知在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，＝y，＝x，其中x，y∈R，且均不为0.若∥，则＝________． 答案：　解析：＝－＝x－y，由∥，可设＝λ(λ∈R)， 即x－y＝λ(－)＝λ(－＋)＝－＋λ，所以则＝. 14．如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是BD的中点，设＝a，＝c. (1)用a，c表示向量； (2)若点F在AC上，且＝a＋c，求AF∶CF. 解：(1)∵＝－＝c－a， ∴＝＝(c－a)， ∴＝(＋)＝＋＝－a＋(c－a)＝c－a. (2)设＝λ(λ∈R)，∴＝＋＝＋λ＝a＋λ(c－a)＝(1－λ)a＋λc. 又＝a＋c，∴λ＝，∴＝， ∴AF∶CF＝4∶1. 15．已知M，P，N是平面上不同的三点，点A是此平面上任意一点，则“M，P，N三点共线”的充要条件是“存在实数λ，使得＝λ＋(1－λ)”．此结论往往称为向量的爪子模型． (1)给出这个结论的证明； (2)在△OAB的边OA，OB上分别取点E，F，使＝，＝，连接BE，AF交于点G.设＝a，＝b.利用上述结论，求出用a，b表示向量的表达式． (1)证明：先证充分性． 若＝λ＋(1－λ)， 则＝λ(－)＋，－＝λ(－)， 即＝λ，∥，又NP，NM有公共点N，故M，P，N三点共线． 再证必要性．若M，P，N三点共线，则存在实数λ，使得＝λ， 即－＝λ(－)，＝λ(－)＋， 故＝λ＋(1－λ). 综上知，结论成立． (2)解：利用A，G，F和B，G，E共线的充要条件，存在实数λ，μ使得 ＝λa＋(1－λ)(b)＝u(a)＋(1－u)b， 则解得故＝a＋b. 学科网（北京）股份有限公司 $$