课时梯级训练(14) 从位移、速度、力到向量（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（北师大版2019）

课时梯级训练(14)　从位移、速度、力到向量 1．在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则||＝(　　) A．1 B． C．2 D．2 D　解析：易知AC⊥BD，且∠ABD＝30°. 设AC与BD交于点O，则AO＝AB＝1. 在Rt△ABO中，易得BO＝，则||＝， 所以||＝2||＝2.故选D. 2．如图，在圆O中，向量，，是(　　) A．有相同起点的向量 B．单位向量 C．模相等的向量 D．模互为相反数的向量 C　解析：由题图可知，三个向量的起点不同，方向不同，但模相等，故A，D错误，C正确；不能确定，，的模是1，故B错误． 3．如图所示，梯形ABCD为等腰梯形，则两腰上的向量与的关系是(　　) A.＝ B．||＝|| C．> D．< B　解析：||与||表示等腰梯形两腰的长度，故相等． 4．下列说法正确的是(　　) A．两条有公共终点的有向线段表示的向量是平行向量 B．若任意两个非零向量相等，则表示它们的有向线段的起点与终点是一平行四边形的四个顶点 C．若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量 D．若|a|＝|b|，则a＝b C　解析：有公共终点的有向线段的方向不一定相同或相反，故A不正确；两个相等的非零向量可能在同一直线上，故B不正确；若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量，否则不妨设a为零向量，则a与b共线，这与a与b不共线矛盾，故C正确；若|a|＝|b|，则只有长度相等，方向不一定相同，故D不正确． 5．(多选)如图所示，每个小正方形的边长都是1，在其中标出了5个向量，则(　　) A．向量，的模相等 B．||＝ C．DG∥HF D．||＋||＝10 BC　解析：对于A，||＝＝，||＝＝2，||≠||，所以A错误； 对于B，||＝＝，所以B正确； 对于C，因为∠CDG＝∠CFH＝45°，所以DG∥HF，所以C正确； 对于D，因为||＋||＝＋＝5≠10，所以D错误． 6．已知在▱ABCD中，∠DAB＝60°，则与的夹角大小为________． 答案：120°　解析：如图，∠DAB＝60°， 则与的夹角为∠ABC＝120°. 7．设点O是△ABC所在平面上一点，若||＝||＝||，则O是△ABC的________心． 答案：外　解析：由||＝||＝||，可得点O到△ABC三个顶点的距离相等， 所以点O是△ABC的外心． 8．用向量表示小船的位移： (1)由A地向东北方向航行15 km到达B地； (2)由A地向北偏西30°方向航行20 km到达C地，再由C地向正南方向航行25 km到达D地． 解：(1)小船由A地向东北方向航行15 km到达B地的位移用向量表示，如图1所示． (2)小船由A地经C地到达D地的位移用向量表示，如图2所示． 9．如图所示，在四边形ABCD中，＝，点N，M分别是AD，BC上的点，且＝.求证：＝. 证明：因为＝，所以||＝||且AB∥DC， 所以四边形ABCD是平行四边形， 所以||＝||且DA∥CB. 又与的方向相同，所以＝. 同理可证，四边形CNAM是平行四边形，所以＝. 因为||＝||，||＝||， 所以||＝||， 又与的方向相同，所以＝. 10．在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且∠OCB＝30°，||＝2，则||＝(　　) A．1 B． C． D．2 A　解析：由||＝||，得∠ABC＝∠OCB＝30°， 又∠ACB＝90°，则||＝||＝×2＝1. 11．如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，在以A，B，C，D，E，F，O七点中的任意一点为起点，与起点不同的另一点为终点的所有向量中，设与向量相等的向量的个数为m，与向量的模相等的向量的个数为n，则m，n的值分别为(　　) A．3，11 B．3，23 C．7，12 D．7，24 B　解析：与向量相等的向量为，，，所以m＝3； 与向量的模相等的向量为，，，，，，，，，，及它们的相反向量再加上，所以n＝23. 12．(多选)在下列结论中，正确的有(　　) A．a∥b且|a|＝|b|是a＝b的必要不充分条件 B．a∥b且|a|＝|b|是a＝b的既不充分也不必要条件 C．a与b方向相同且|a|＝|b|是a＝b的充要条件 D．a与b方向相反或|a|≠|b|是a≠b的充分不必要条件 ACD　解析：若a＝b，则a与b方向相同，模相等，所以A，C，D正确，B错误． 13．在四边形ABCD中，若＝且||＝||，则四边形的形状为________． 答案：菱形　解析：∵＝，∴AB＝DC，AB∥DC，∴四边形ABCD是平行四边形， ∵||＝||，∴四边形ABCD是菱形． 14．如图，半圆的直径AB＝6，C是半圆上的一点，D，E分别是AB，BC上的点，且AD＝1，BE＝4，DE＝3. (1)求证：∥； (2)求||； (3)求向量与向量的夹角的余弦值． (1)证明：由题意知，在△DBE中，BD＝5，DE＝3，BE＝4， ∴△DBE是直角三角形，且∠DEB＝90°. 又点C为半圆上一点，AB为直径， ∴∠ACB＝90°. ∴AC∥DE，∴∥. (2)解：∵AC∥DE，∴＝，即＝， ∴AC＝，即||＝. (3)解：向量与向量的夹角即向量与向量的夹角∠EDB，而cos ∠EDB＝＝. 15．如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形组成，方格纸中有两个定点A，B.点C为小正方形的顶点，且||＝. (1)画出所有的向量； (2)求||的最大值与最小值． 解：(1)所有的向量，如图所示． (2)由(1)所画的图知， ①当点C位于点C1或C2时，||取得最小值＝； ②当点C位于点C5或C6时，||取得最大值＝. 所以||的最大值为，最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$