课时梯级训练(13) 三角函数的简单应用（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（北师大版2019）

课时梯级训练(13)　三角函数的简单应用 1．如图，某港口某天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝4sin (x＋φ)＋k，据此图象可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(　　) A．10 m B．8 m C．6 m D．5 m A　解析：某港口某天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝4sin (x＋φ)＋k， 据此图象可知，这段时间水深最小值为－4＋k＝2，所以k＝6， 故这段时间水深的最大值为4＋6＝10.故选A. 2．一半径为2 m的水轮，水轮圆心O距离水面1 m；已知水轮按逆时针做匀速转动，每3秒转一圈，且当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间．如图所示，建立平面直角坐标系，将点P距离水面的高度h(单位：m)表示为时间t(单位：s)的函数，记h＝f(t)，则f(0)＋f(1)＋f(2)＝(　　) A．0 B．1 C．3 D．4 C　解析：由题意设h＝f(t)＝A sin (ωt＋φ)＋k，则A＝2，k＝1，T＝3，则ω＝＝， 当t＝0时，f(0)＝2sin φ＋1＝0，取φ＝－， 故f(t)＝2sin (t－)＋1，f(0)＝0，f(1)＝3，f(2)＝0，f(0)＋f(1)＋f(2)＝3.故选C. 3．为了研究钟表秒针针尖的运动变化规律，建立如图所示的平面直角坐标系，设秒针针尖位置为点P(x，y).若初始位置为点P0(，)，秒针从P0(规定此时t＝0)开始沿顺时针方向转动，点P的纵坐标为y，t∈[0，60]，则y<－时t的取值范围为(　　) A．(，) B．(，) C．(，) D．(，) B　解析：设y与时间t的函数关系式为y＝A sin (ωt＋φ)，由题意可得，初始位置为P0(，)，即初相为φ，故可得sin φ＝，cos φ＝，则A＝1，φ＝. 又函数周期是60秒且秒针按顺时针方向旋转，即T＝||＝60， 所以|ω|＝，即ω＝－， y＝sin (－t＋)＝cos [－(－t＋)]＝cos (t＋). 令cos (t＋)<－，则＋2kπ<t＋<＋2kπ，k∈Z，因为t∈[0，60]，解得<t<. 4．(多选)如图，弹簧挂着的小球做上下振动，小球的最高点与最低点间的距离为10 cm，它在t(单位：s)时相对于平衡位置(静止时的位置)的高度h(单位：cm)由关系式h＝A sin (πt＋)确定，其中A>0，t≥0.则下列说法正确的是(　　) A．小球在往复振动一次的过程中，从最高点运动至最低点用时2 s B．小球在往复振动一次的过程中，经过的路程为20 cm C．小球从初始位置开始振动，重新回到初始位置时所用的最短时间为 s D．小球从初始位置开始振动，若经过最高点和最低点的次数均为10，则所用时间的范围是[20，21) BC　解析：由题意可知，A＝＝＝5，则h＝5sin (πt＋). 对于A选项，函数h＝A sin (πt＋)的最小正周期为T＝＝2， 所以小球在往复振动一次的过程中，从最高点运动至最低点用时1 s，A错误； 对于B选项，小球在往复振动一次的过程中，经过的路程为20 cm，B正确； 对于C选项，因为当t＝0时，h＝5sin ＝， 由h＝5sin (πt＋)＝可得πt＋＝2kπ＋(k∈Z)或πt＋＝2nπ＋(n∈Z)， 解得t＝2k(k∈Z)或t＝2n＋(n∈Z)， 易知，t≥0，则t的可能取值有0，，2，，4，，…， 小球从初始位置开始振动，重新回到初始位置时所用的最短时间为 s，C正确； 对于D选项，由πt＋＝可得t＝，则当t＝ s时，小球第一次到达最高点， 以后每隔一个周期都出现一次最高点， 因为小球在t s内经过最高点和最低点的次数恰好是10， 所以＋9T＋T≤t<＋10T，因为T＝2，则19≤t<20， 所以小球从初始位置开始振动，若经过最高点和最低点的次数均为10，则所用时间的范围是[19，20)，D错误． 5．某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足f(t)＝10－2sin (t＋)，要求实验室温度不低于11 ℃，则实验室需要降温的时间段是________时到________时． 答案：10　18　解析：由f(t)＝10－2sin (t＋)，令f(t)≥11，即10－2sin (t＋)≥11， 所以sin (t＋)≤－， 因为0≤t<24，所以≤t＋<，所以≤t＋≤，解得10≤t≤18， 所以实验室需要降温的时间段是10时到18时． 6．水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具，其工作示意图如图所示，设水车的半径为4 m，其中心O到水面的距离为2 m，水车逆时针匀速旋转，旋转一周的时间为120 s，当水车上的一个水桶A从水中(A0处)浮现时开始计时，经过t s后水桶A距离水面的高度为f(t)(单位：m，在水面以下时，高度为负数)，则当0<t<120时，f(t)＝________． 答案：4sin (－)＋2　解析：由题设，水车的角速度为 rad/s＝ rad/s. 又水车的半径为4 m，所以中心O到水面的距离为2 m， 设经过t s后水桶A距离水面的高度为f(t)＝A sin (ωt＋φ)＋2(ω>0，|φ|<)， 由题意可知A＝4，ω＝，由于t＝0时，水桶A在A0处，即f(0)＝4sin φ＋2＝0， 即sin φ＝－，由于|φ|<，故取φ＝－， 故t s后水桶A距离水面的高度可表示为f(t)＝4sin (－)＋2. 7．心脏跳动时，血压在增加或减少，血压的最大值、最小值分别称为收缩压、舒张压，血压计上的读数就是收缩压、舒张压，读数120/80 mmHg为标准值．设某人的血压满足P(t)＝115＋25sin (160πt)，其中P(t)为血压(mmHg)，t为时间(min). (1)求此人每分钟心跳的次数； (2)求出此人的血压在血压计上的读数，并与标准值进行比较． 解：(1)函数P(t)＝115＋25sin (160πt)的最小正周期T＝＝，所以此人每分钟心跳的次数为＝80. (2)由题意得P(t)max＝115＋25＝140，P(t)min＝115－25＝90，所以此人的血压在血压计上的读数为140/90 mmHg，与标准值120/80 mmHg相比较，此人血压偏高． 8．阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置，我国第一高楼—上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“镇楼神器”，如图(1).由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y(单位：m)和时间t(单位：s)的函数关系为y＝sin (ωt＋φ)(ω>0，|φ|<π)，如图(2).若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为t1，t2，t3(0<t1<t2<t3)，且t1＋t2＝2，t2＋t3＝6，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5 m的总时间为(　　) A． s B． s C．1 s D． s D　解析：由题意得(t1＋t2)＝1，(t2＋t3)＝3， 故函数y＝sin (ωt＋φ)(ω>0，|φ|<π)的周期为T＝2×(3－1)＝4，ω＝＝， 可得y＝sin (t＋φ)， 令sin (t＋φ)>0.5， 解得4k＋－φ<t<4k＋－φ，k∈Z， 故总时间为4k＋－φ－(4k＋－φ)＝， 综上，在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5 m的总时间为 s． 9．如图，直线AB与单位圆相切于点O，射线OP从OA出发绕着点O逆时针旋转，在此过程中，记∠AOP＝x(0<x<π)，射线OP经过的单位圆O内阴影部分的面积为S，则对函数S＝f(x)说法正确的是(　　) A．当x＝时，S＝－ B．∃x1≠x2，使得f(x1)＝f(x2) C．对∀x∈(0，)，都有f(＋x)＝f(x)＋ D．对∀x∈(0，)，都有f(－x)＋f(＋x)＝π D　解析：如图(OD与OP重合)∠OCD＝2x，则阴影部分面积f(x)＝×1×2x－sin 2x＝x－sin 2x，且0<x<π， 所以f()＝－sin π＝，A错误； 由图知在旋转过程中阴影面积不断变大，不存在x1≠x2使得f(x1)＝f(x2)，B错误； 当x∈(0，)，则f(＋x)＝＋x－sin (π＋2x)＝＋x＋sin 2x≠＋f(x)，C错误； f(－x)＋f(＋x)＝－x－sin (π－2x)＋＋x－sin (π＋2x)＝－x－sin 2x＋＋x＋sin 2x＝π，D正确． 10．水车又称孔明车，是以水流为动力的机械装置，是我国古老的农业灌溉工具．如图，某水车的半径为4米，圆心O距离水面2米，每分钟逆时针匀速旋转5圈．当水车上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计时，已知点P距离水面的高度h(米)关于时间t(秒)的函数为h(t)＝4sin (ωt＋φ)＋2(ω>0，|φ|<)，则ω＋φ＝______；点P第一次到达最高点大约需要______秒． 答案：0　4　解析：以O为坐标原点建立如图所示平面直角坐标系， 由题知周期T＝12秒，h(0)＝0，所以ω＝＝， 又h(0)＝0，所以sin φ＝－，又因为|φ|<，则φ＝－，则ω＋φ＝0， 所以h(t)＝4sin (t－)＋2(t≥0). 令h＝6得4sin (t－)＋2＝6，所以sin (t－)＝1， 所以t－＝，得t＝4.所以点P第一次到达最高点需要4秒． 11．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周的景色(如图(1)).某摩天轮的最高点距离地面的高度为90米，最低点距离地面10米，摩天轮上均匀设置了36个座舱(如图(2)).开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱．摩天轮转一周需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时． (1)经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米，已知H关于t的函数关系式满足H(t)＝A sin (ωt＋φ)＋B(其中A>0，ω>0，|φ|≤π)，求摩天轮转动一周的解析式H(t)； (2)若游客甲乘坐摩天轮转动一周，求经过多长时间，游客距离地面的高度恰好为30米？ 解：(1)∵H(t)＝A sin (ωt＋φ)＋B(其中A>0，ω>0，|φ|≤π)， 由题意知⇒ T＝＝30⇒ω＝，故H(t)＝40sin (t＋φ)＋50， ∵H(0)＝10，∴sin φ＝－1， 又|φ|≤π，∴φ＝－，∴H(t)＝40sin (t－)＋50＝－40cos t＋50， 故解析式为H(t)＝－40cos t＋50，t∈[0，30]. (2)令H(t)＝30，则－cos t＝－， 即cos t＝. 因为t∈[0，30]，则t∈[0，2π]，所以t＝或，解得t＝5或t＝25， 故游客甲坐上摩天轮5分钟时和25分钟时，游客距离地面的高度恰好为30米． 学科网（北京）股份有限公司 $$