课时梯级训练(12) 正切函数（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（北师大版2019）

课时梯级训练(12)　正切函数 1．已知角α的终边经过点A(4，－3)，则sin α·tan α＝(　　) A．－ B． C．－ D． D　解析：由题意可知点A到原点的距离r＝＝5， 由任意角的三角函数的定义得sin α＝＝－，tan α＝＝－， 所以sin α·tan α＝. 2．tan (－)＝(　　) A．－ B． C．－ D． C　解析：tan (－)＝tan (－2π＋)＝tan ＝tan (π－)＝－tan ＝－. 3．已知a＝tan (sin )，b＝tan (cos )，c＝tan (tan )，则(　　) A．b<a<c B．b<c<a C．c<a<b D．c<b<a D　解析：∵a＝tan (sin )＝tan >0， b＝tan (cos )＝tan >0，c＝tan (tan )＝tan <0， 又函数y＝tan x在区间(0，)上单调递增，且>>>0，∴tan >tan >0， 即0<b<a，∴a>b>c. 4．(多选)已知函数f(x)＝tan (2x＋)，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)在定义域内是增函数 B．y＝f(x－)是奇函数 C．f(x)的最小正周期是T＝ D．f(x)图象的对称中心是(－，0)，k∈Z BCD　解析：A选项，∵kπ－<2x＋<kπ＋，k∈Z，则－<x<＋，k∈Z， ∴f(x)＝tan (2x＋)的增区间是(－＋，＋)，k∈Z， 其在定义域内的每一个区间上都是单调递增函数，但在整个定义域上没有单调性，故A错误； B选项，f(x－)＝tan [2(x－)＋]＝tan 2x， ∵tan 2(－x)＝tan (－2x)＝－tan 2x， ∴f(x－)是奇函数，故B正确； C选项，函数f(x)＝tan (2x＋)的最小正周期为T＝，故C正确； D选项，令2x＋＝，k∈Z，解得x＝－＋，k∈Z，所以f(x)图象的对称中心是(－，0)，k∈Z，故D正确． 5．(多选)已知函数f(x)＝|tan (x－)|，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)的最小正周期是2π B．f(x)的值域是(0，＋∞) C．直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴 D．f(x)的单调递减区间是(2kπ－，2kπ＋]，k∈Z AD　解析：对于选项A，因为f(x)的最小正周期和y＝tan (x－)的最小正周期相同，即T＝＝2π，故选项A正确； 对于选项B，因为y＝tan (x－)的值域为R， 所以f(x)≥0，即函数f(x)的值域为[0，＋∞)，故选项B错误； 对于C，结合绝对值的意义，由x－＝，k∈Z，得x＝kπ＋，k∈Z， 则直线x＝不是函数f(x)图象的一条对称轴，故选项C错误； 对于选项D，由kπ－<x－≤kπ，k∈Z，得2kπ－<x≤2kπ＋，k∈Z， 则函数f(x)的单调递减区间是(2kπ－，2kπ＋]，k∈Z，故选项D正确．故选AD. 6．函数y＝3tan (π＋x)，－<x≤的值域为________． 答案：(－3，]　解析：由诱导公式，得y＝3tan (π＋x)＝3tan x. 根据正切函数的性质，可知y＝tan x在(－，]上单调递增， 且当x＝－时，y＝tan (－)＝－1； 当x＝时，y＝tan ＝， 所以－1<tan x≤， 则－3<3tan x≤， 即函数y＝3tan (π＋x)(－<x≤)的值域为(－3，]. 7．若x∈[0，)∪(，π)，则不等式tan x≥－1的解集为________________． 答案：[0，)∪[，π)　解析：当x∈[0，)时，tan x≥0>－1； 当x∈(，π)时， ∵tan ＝－1且y＝tan x在(，π)上单调递增， ∴x∈[，π). 综上所述，tan x≥－1的解集为[0，)∪[，π). 8．(2024·辽宁抚顺高一期中)已知函数f(x)＝2tan (ωx＋)(ω>0)的最小正周期为. (1)求f(x)图象的对称中心； (2)求不等式f(x)>－2在(－，)上的解集． 解：(1)由＝，得ω＝2.由2x＋＝(k∈Z)，得x＝－＋(k∈Z)， 所以f(x)图象的对称中心为(－＋，0)(k∈Z). (2)由x∈(－，)，得2x＋∈(－，)， 由f(x)＝2tan (2x＋)>－2， 得tan (2x＋)>－1， 所以－<2x＋<，得－<x<， 故不等式f(x)>－2在(－，)上的解集为(－，). 9．(2024·河南南阳高一期中)已知函数f(x)＝A tan (ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)，y＝f(x)的部分图象如图，则f()＝(　　) A．2＋ B． C．－ D．－ C　解析：由图象可知，－＝＝，所以T＝. 由T＝＝，可得ω＝2， 所以f(x)＝A tan (2x＋φ). 又f()＝0，所以A tan (＋φ)＝0， 所以＋φ＝kπ，k∈Z，所以φ＝－＋kπ，k∈Z. 因为|φ|<，所以φ＝，f(x)＝A tan (2x＋). 又f(0)＝1，所以A tan ＝A＝1，所以A＝1， 所以f(x)＝tan (2x＋)， 所以f()＝tan (2×＋)＝tan ＝－. 10．(多选)(2024·四川泸州高一统考期末)已知函数f(x)＝tan (ωx－)(ω>0)，则下列说法正确的是(　　) A．若函数f(x)的最小正周期是2π，则ω＝ B．当ω＝2时，f(－)>f() C．当ω＝1时，函数f(x)图象的对称中心为(kπ＋，0)(k∈Z) D．若函数f(x)在区间(0，)上单调递增，则0<ω≤2 ABD　解析：函数f(x)＝tan (ωx－)(ω>0)， 对于A，f(x)的最小正周期T＝＝2π⇒ω＝，故A正确； 对于B，当ω＝2时，f(x)＝tan (2x－)，f()＝tan ＝tan (－)<tan (－)＝f(－)，故B正确； 对于C，当ω＝1时，函数f(x)＝tan (x－)， 令x－＝⇒x＝＋，k∈Z，则其图象的对称中心为(＋，0)，k∈Z，故C错误； 对于D，由x∈(0，)，则ωx－∈(－，－)，又函数f(x)在区间(0，)上单调递增， 则－≤⇒ω≤2，又ω>0，所以0<ω≤2，故D正确．故选ABD. 11．在区间(－，)内，函数y＝tan x与y＝sin x的图象交点的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 C　解析：在同一平面坐标系中，首先作出函数y＝sin x与y＝tan x在(－，)内的图象，需明确x∈(0，)时，有sin x<x<tan x(利用单位圆中的正弦值、正切值就可以证明)，然后利用对称性作出x∈(－，)时两函数的图象如图． 由图象可知，它们有3个交点．故选C. 12．若函数f(x)＝tan x在区间[－，]上是增函数，则实数a的取值范围是________． 答案：(0，1)　解析：因为>－，所以a>0，所以>0，－<0. 因为f(x)＝tan x在(－，)上单调递增，所以解得0<a<1. 所以实数a的取值范围是(0，1). 13．已知函数f(x)＝|1－tan x|＋|1＋tan x|. (1)判断函数f(x)的奇偶性，并给出证明； (2)求函数f(x)的最小值． 解：(1)f(x)是偶函数．证明如下： 因为函数f(x)＝|1－tan x|＋|1＋tan x|，所以f(x)的定义域为{x|x≠＋kπ，k∈Z}， 所以f(x)的定义域关于原点对称． 又f(－x)＝|1－tan (－x)|＋|1＋tan (－x)|＝|1＋tan x|＋|1－tan x|， 即f(－x)＝f(x)，所以f(x)是偶函数． (2)因为函数f(x)＝|1－tan x|＋|1＋tan x|，去绝对值有 f(x)＝所以当－1≤tan x≤1时，f(x)取得最小值2. 所以函数f(x)的最小值为2. 14．设函数f(x)＝tan (ωx＋φ)(ω>0，0<φ<)，已知函数y＝f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点M(－，0)对称． (1)求f(x)的单调区间； (2)求不等式－1≤f(x)≤的解集． 解：(1)由题意知，函数f(x)的最小正周期为T＝， 即＝，因为ω>0，所以ω＝2，从而f(x)＝tan (2x＋φ). 因为函数y＝f(x)的图象关于点M(－，0)对称， 所以2×(－)＋φ＝，k∈Z，即φ＝＋，k∈Z. 因为0<φ<，所以φ＝，故f(x)＝tan (2x＋). 令－＋kπ<2x＋<＋kπ，k∈Z，得－＋kπ<2x<kπ＋，k∈Z， 即－＋<x<＋，k∈Z， 所以函数f(x)的单调递增区间为(－＋，＋)，k∈Z，无单调递减区间． (2)由(1)知，f(x)＝tan (2x＋). 由－1≤tan (2x＋)≤， 得－＋kπ≤2x＋≤＋kπ，k∈Z， 即－＋≤x≤＋，k∈Z， 所以不等式－1≤f(x)≤的解集为{x|－＋≤x≤＋，k∈Z}． 学科网（北京）股份有限公司 $$