2.4.2 平面向量及运算的坐标表示（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（北师大版2019）

平面向量及其应用 4.2　平面向量及运算的坐标表示 第二章 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 向量运算 数学公式 文字语言表述 向量加法 a＋b＝ (______，______) 两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和 向量减法 a－b＝ (______，______) 两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差 向量数乘 λa＝ (_____，___) 实数与向量数乘的坐标等于这个实数与向量的相应坐标的乘积 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 ABC A 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 B 返回导航 数学 必修 第二册 北　 B 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 C 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 A 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 谢谢观看 返回导航 数学 必修 第二册 北　 学习目标 1.掌握平面向量的坐标表示． 2．理解用坐标表示的平面向量共线的条件． 3．掌握两个向量和、差、数乘向量的坐标运算． 知识点一　平面向量的坐标表示 前面我们学习了向量的运算，能够感觉到向量自从有了运算，其功能更加强大起来，通过学习平面向量基本定理知道，只要给定平面内一组基{e1，e2}，那么平面内所有向量都可以进行运算．但是，只用三角形法则和平行四边形法则进行运算，仍然显得麻烦，能否沟通向量的运算和实数的运算，即能否把向量的运算用实数来表示？如果可以，将大大简化向量的运算． 1．坐标表示 在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为标准正交基． 对于坐标平面内的任意向量a，由平面向量基本定理可知，有且仅有一对实数x，y，使得a＝_____，我们把(x，y)称为向量a在标准正交基{i，j}下的坐标． 向量a可以表示为a＝(x，y). xi＋yj 2．点P的位置被它的位置向量唯一确定，设点P的坐标为(x，y)，则＝(x，y)，即点P的坐标就是位置向量的坐标，反之亦然． (1)每个向量都有唯一的坐标． (2)相等的向量坐标相同． (3)注意点的坐标与向量的坐标的区别． [例1] 如图，已知边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角．求点B和点D的坐标． 由题意，点A在原点，AB与x轴正半轴成30°角， 可得∠BAx＝30°，∠DAx＝90°＋30°＝120°. 设B(x1，y1)，D(x2，y2). 则x1＝||cos 30°＝1×＝， y1＝||sin 30°＝1×＝，∴B(，). 同理可得x2＝||cos 120°＝1×(－)＝－，y2＝||sin 120°＝1×＝， ∴D(－，). 求向量坐标的方法 (1)向量的坐标等于终点的坐标减去起点的坐标，只有当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标才等于终点的坐标． (2)求向量的坐标一般转化为求点的坐标，解题时常常结合几何图形，利用三角函数的定义和性质进行计算． [练1] 如图，向量a，b，c的坐标分别是______，______，________． 答案：(－4，0)　(0，6)　(－2，－5)　 将各向量分别向基底{i，j}所在直线分解，则a＝－4i＋0j，∴a＝(－4，0)；b＝0i＋6j，∴b＝(0，6)；c＝－2i－5j，∴c＝(－2，－5). 知识点二　平面向量运算的坐标表示 基{i，j}为标准正交基，a＝i＋3j，b＝2i＋5j，写出a，b的坐标，计算a＋b，a－b，2a，你能发现a，b的坐标与a＋b，a－b，2a中i，j的系数有什么关系吗？ y1＋y2 x1－x2 y1－y2 λx1 λy1 1．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2). x1＋x2 2.已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量＝(_______，_______)，即任意一个向量的坐标等于其终点的坐标减去起点的坐标． x2－x1 y2－y1 (1)若点A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点M的坐标为(x，y)， 则此公式为线段AB的中点坐标公式． (2)若△ABC的三个顶点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则三角形的重心坐标为(，). [例2] 已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，设＝a，＝b，＝c. (1)求3a＋b－3c的值； (2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n的值； (3)若线段AB的中点为M，线段BC的三等分点为N(点N靠近点B)，求. (1)因为A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且＝a，＝b，＝c， 所以a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)，所以3a＋b－3c＝3×(5，－5)＋(－6，－3)－3×(1，8)＝(6，－42). (2)由mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)， 因为a＝mb＋nc，所以解得m＝－1，n＝－1. (3)因为线段AB的中点为M，线段BC的三等分点为N(点N靠近点B)， 所以＝＝(，－)，＝＝(－2，－1)， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，即(x1＋2，y1－4)＝(，－)，(x2－3，y2＋1)＝(－2，－1)， 所以解得x1＝，y1＝，x2＝1，y2＝－2， 即M点的坐标为(，)，N点的坐标为(1，－2)，所以＝(，－). 待定系数法解向量坐标中的参数 (1)待定系数法是最基本的数学方法之一，将未知量设出来，建立方程(组)求出未知数的值，是待定系数法的基本形式，也是方程思想的一种基本应用． (2)坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量．由此可建立相等关系求某些参数的值． [练2] 已知点O(0，0)，A(2，1)，B(4，3)及＝＋t. (1)若点P在第一象限，求t的取值范围． (2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由． (1)＝＋t＝(2，1)＋t(4，3)＝(4t＋2，3t＋1)， 由题意得解得t>－，即t的取值范围为(－，＋∞). (2)若四边形OABP是平行四边形，只需＝，即＝＋t＝， 由(1)知，＝(4t＋2，3t＋1)，而＝(2，2)， ∴方程组无解，故四边形OABP不能成为平行四边形． 知识点三　平面向量平行的坐标表示 根据平面向量运算的坐标表示，如何用坐标表示向量平行(共线)的充要条件？ 在平面直角坐标系中，已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2). 向量a，b(b≠0)共线的充要条件是_____________． x1y2－x2y1＝0 当a∥b且x2y2≠0时，＝，即两向量的相应坐标成比例． [例3] (1)(多选)下列向量组中，能作为平面内所有向量一组基的是(　　) A．a＝(－2，3)，b＝(4，6) B．a＝(2，3)，b＝(3，2) C．a＝(1，－2)，b＝(7，14) D．a＝(－3，2)，b＝(6，－4) (2)已知A(m，0)，B(0，1)，C(3，－1)，且A，B，C三点共线，则m＝(　　) A． B． C．－ D．－ (1)能作为平面向量的一组基，须使两向量a与b不平行，若a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a∥b⇔a1b2＝a2b1， 故只需判断选项中的两向量的坐标是否满足a1b2－a2b1≠0即可. 对于A选项，∵(－2)×6－3×4＝－24≠0， ∴a与b不平行，故A选项正确； 对于B选项，∵2×2－3×3＝－5≠0，∴a与b不平行，故B选项正确； 对于C选项，∵1×14－(－2)×7＝28≠0，∴a与b不平行，故C选项正确； 对于D选项，∵(－3)×(－4)－2×6＝12－12＝0，∴a∥b，故D选项错误． (2)由A(m，0)，B(0，1)，C(3，－1)，得＝(－m，1)，＝(3，－2)， 因为A，B，C三点共线，所以∥， 即(－m)×(－2)－1×3＝0，解得m＝. 由向量共线求参数的思路 (1)根据向量共线条件求参数问题，一般有两种思路：一是利用共线(平行)向量基本定理a＝λb(b≠0)列方程组求解；二是利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0求解． (2)若A，B，C三点共线，即由这三个点组成的任意两个向量共线． [练3] (1)已知a＝(1，2)，b＝(3，－1)，若(kb－a)∥(2a＋b)，则k＝(　　) A．－1 B．－ C．－ D． (2)已知平行四边形ABCD的三个顶点A(－2，1)，B(3，4)，C(－1，3)，则第四个顶点D的坐标为(　　) A．(2，2) B．(－6，0) C．(4，6) D．(－2，4) (1)因为kb－a＝(3k，－k)－(1，2)＝(3k－1，－k－2)，2a＋b＝(2，4)＋(3，－1)＝(5，3)，且(kb－a)∥(2a＋b)， 所以(3k－1)×3－5(－k－2)＝0，即14k＝－7，解得k＝－. (2)设D(x，y)，由平行四边形ABCD可知＝， 又A(－2，1)，B(3，4)，C(－1，3)，＝(5，3)，＝(－1－x，3－y)， 所以解得即点D的坐标为(－6，0). ◎随堂演练 1．如图所示，{e1，e2}为标准正交基，则向量a，b的坐标分别是(　　) A．(3，4)，(2，－2) B．(2，3)，(－2，－3) C．(2，3)，(2，－2) D．(3，4)，(－2，－3) 根据平面直角坐标系，可知a＝2e1＋3e2，b＝2e1－2e2，∴a＝(2，3)，b＝(2，－2). 2．已知点A(0，1)，B(1，2)，向量＝(2，3)，则向量＝(　　) A．(1，2) B．(－1，－2) C．(3，6) D．(－3，－5) 设点C(x，y)，所以＝(x，y－1)＝(2，3)，即解得 于是得点C(2，4)，因此＝(1，2). 3．已知a＝(－1，2)，b＝(3，m)，若a∥b，则m＝________． 答案：－6　 由a＝(－1，2)，b＝(3，m)，a∥b，得－m＝2×3，解得m＝－6. 4．已知m∈R，三点A(－1，－1)，B(1，3)，C(m，2m＋t)共线，则t＝________． 答案：1　 因为m∈R，三点A(－1，－1)，B(1，3)，C(m，2m＋t)共线，则∥， 且＝(2，4)，＝(m＋1，2m＋t＋1)，所以2(2m＋t＋1)＝4(m＋1)，解得t＝1. $$