课时梯级训练(11) 函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质与图象(二)（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（北师大版2019）

课时梯级训练(11)　函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质与图象(二) 1．已知函数y＝sin (x＋＋φ)是奇函数，则φ的值可以是(　　) A．0 B．－ C． D．π B　解析：y＝sin (x＋＋φ)为奇函数，则只需＋φ＝kπ，k∈Z， 从而φ＝kπ－，k∈Z，显然当k＝0时，φ＝－满足题意． 2．下列区间中，函数f(x)＝3sin (x＋)的单调递增区间是(　　) A．(0，) B．(，) C．(，) D．(π，2π) C　解析：令2kπ－≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，得2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z， 当k＝0时，单调递增区间是[－，]，当k＝1时，单调递增区间是[，]， 其中只有(，)是单调递增区间的子区间． 3．已知函数f(x)＝sin (ωx－)(ω>0)的最小正周期为π，则函数f(x)图象的一个对称中心为(　　) A．(－，0) B．(，0) C．(－，0) D．(－，0) C　解析：由函数f(x)的最小正周期T＝＝π，得ω＝2，所以f(x)＝sin (2x－). 由2x－＝kπ(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)， 所以函数f(x)图象的对称中心为(＋，0)(k∈Z). 显然当k＝－1时，一个对称中心为(－，0)，其他选项均不符合要求． 4．已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)(ω>0，0<φ<)的图象的相邻两个零点的距离为，f(0)＝，则f(x)＝(　　) A．sin (2x＋) B．2sin (2x＋) C．sin (4x＋) D．2sin (4x＋) B　解析：因为函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)(ω>0，0<φ<)的图象的相邻两个零点的距离为，所以T＝×2＝π，所以ω＝＝＝2，所以f(x)＝2sin (2x＋φ). 又因为f(0)＝，所以f(0)＝2sin φ＝，解得sin φ＝. 因为0<φ<，所以φ＝， 所以f(x)＝2sin (2x＋). 5．(多选)(2024·湖南长沙高一期末)已知函数f(x)＝2sin (2x＋)，则(　　) A．f(x)的最小正周期是π B．(－，0)是f(x)图象的对称中心 C.将f(x)的图象向左平移个单位长度后其图象关于y轴对称 D．f(x)在区间(0，)上单调递减 AB　解析：函数f(x)＝2sin (2x＋)的最小正周期T＝＝π，A选项正确； 因为f(－)＝2sin [2×(－)＋]＝2sin 0＝0，所以(－，0)是f(x)图象的对称中心，B选项正确； 将f(x)的图象向左平移个单位长度得函数y＝2sin [2(x＋)＋]＝2sin (2x＋)， 函数不是偶函数，图象不关于y轴对称，C选项错误； 当x∈(0，)时，2x＋∈(，π)，所以(，π)不是正弦函数的单调递减区间，D选项错误． 6．函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<2π)一个周期的图象如图所示，则函数f(x)的解析式为______________． 答案：f(x)＝4sin (x＋)　解析：由图象可知A＝4，T＝－(－)＝4π， 又ω>0，则ω＝＝＝， 所以f(x)＝4sin (x＋φ). 又(，0)在该曲线上，所以4sin (＋φ)＝0， 则＋φ＝2kπ，k∈Z，即φ＝－＋2kπ，k∈Z. 又0<φ<2π，则φ＝，故f(x)＝4sin (x＋). 7．函数f(x)＝sin (2x－)在区间[0，]上的最小值为________． 答案：－　解析：因为0≤x≤，0≤2x≤π，－≤2x－≤，所以－≤sin (2x－)≤1， 当2x－＝－，即x＝0时，f(x)取得最小值－. 8．已知函数f(x)＝2sin (2x＋). (1)用“五点(画图)法”在给定的坐标系中，画出函数f(x)在[0，π]上的图象； (2)先将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在[0，2π]上的取值范围． 解：(1)列表如下： x 0 π 2x＋ π 2π f(x) 1 2 0 －2 0 1 作图如下： (2)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位长度，得到y＝2sin [2(x－)＋]＝2sin (2x－)， 再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到g(x)＝2sin (x－)， 当0≤x≤2π时，0≤x≤π，－≤x－≤，－≤sin (x－)≤1，－1≤2sin (x－)≤2， 所以g(x)在[0，2π]上的取值范围是[－1，2]. 9．(2024·河北唐山高一期末)已知函数f(x)＝2sin (πx＋φ)(0<φ<)的最小正周期为T，且f(2)＝. (1)求T及φ的值； (2)求函数f(x)的单调递增区间． 解：(1)由题意得T＝＝2，由f(2)＝得2sin (2π＋φ)＝， 故sin (2π＋φ)＝，即sin φ＝. 因为0<φ<，所以φ＝. (2)f(x)＝2sin (πx＋)， 令－＋2kπ≤πx＋≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋2k≤x≤＋2k，k∈Z， 故f(x)的单调递增区间为[－＋2k，＋2k]，k∈Z. 10．(2024·河南三门峡高一期末)若函数f(x)＝sin (ωx＋)(1<ω<3)图象的一条对称轴为直线x＝－，则(　　) A．ω＝2 B．f(x)的最小正周期为2π C．f(x)在区间[－，]上单调递增 D．f(2 023π)＝ A　解析：由函数f(x)＝sin (ωx＋)图象的一条对称轴为直线x＝－，得－ω＋＝kπ－，k∈Z， 解得ω＝－k＋2，k∈Z，而1<ω<3，则k＝0，ω＝2，A正确； 显然f(x)＝sin (2x＋)的最小正周期是π，B错误； 当x∈[－，]时，2x＋∈[－，]，而正弦函数y＝sin x在[－，]上不单调， 因此函数f(x)在区间[－，]上不单调，C错误； f(2 023π)＝f(0)＝sin ＝，D错误． 11．(多选)(2024·山东德州高一期末)函数f(x)＝2sin (2ωx＋)(0<ω<1)的图象如图所示，将其向左平移个单位长度，得到y＝g(x)的图象，则下列说法正确的是(　　) A．ω＝ B．函数f(x)的图象关于点(－，0)对称 C．函数y＝g(x)的图象关于直线x＝对称 D．函数y＝g(2x＋)在[－，]上单调递减 ABD　解析：函数f(x)＝2sin (2ωx＋)，f()＝2sin (＋)＝2， 此时＋＝＋2kπ，k∈Z，ω＝＋6k，k∈Z， 因为0<ω<1，所以ω＝，所以f(x)＝2sin (x＋)，故A正确； f(－)＝2sin (－＋)＝2sin 0＝0，所以f(x)的图象关于点(－，0)对称，故B正确； 函数f(x)图象向左平移个单位长度后得到g(x)＝2sin [(x＋)＋]＝2cos x的图象， g(x)＝2cos x，当x＝时，g(x)＝2cos ＝，所以函数y＝g(x)的图象不关于直线x＝对称，故C错误； g(2x＋)＝2cos (2x＋)，当x∈[－，]时，2x＋∈[，]⊆[0，π]， 所以函数g(2x＋)在[－，]上单调递减，故D正确． 12．已知函数f(x)＝sin (ωx＋)(ω>0)的图象关于直线x＝对称，且f(x)在区间(，)内单调，则ω的最大值为________． 答案：4　解析：因为区间(，)的左端点为对称轴，且f(x)在区间(，)内单调， 所以－≤，其中T＝，所以≤. 又ω>0，所以0<ω≤4，所以ω的最大值为4. 13．函数f(x)＝sin (ωx－)(ω>0)在区间[0，]上存在最小值－1，则实数ω的取值范围是________． 答案：[5，＋∞)　解析：因为x∈[0，]，ω>0，所以ωx－∈[－，ω－]. 因为函数f(x)＝sin (ωx－)(ω>0)在区间[0，]上存在最小值－1， 所以ω－≥，解得ω≥5，所以实数ω的取值范围是[5，＋∞). 14．(2024·云南玉溪高一期末)已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的图象与y轴交于点P(0，1)，若x1，x2是方程f(x)－1＝0的两个相邻的实根，且|x1－x2|＝. (1)求f(x)的解析式； (2)求f(x)的单调递减区间． 解：(1)由题可得1＝sin φ，且|φ|<，得φ＝， x1，x2是方程f(x)－1＝0的两个相邻的实根，且|x1－x2|＝， 由f(x)－1＝0，解得x＝或x＝(k∈Z). 由|x1－x2|＝，可得＝或＝， 即ω＝2或ω＝6， 则f(x)＝sin (2x＋)或f(x)＝sin (6x＋). (2)当f(x)＝sin (2x＋)时，由＋2nπ≤2x＋≤＋2nπ(n∈Z)， 解得＋nπ≤x≤＋nπ，n∈Z， f(x)的单调递减区间为[＋nπ，＋nπ](n∈Z)； 当f(x)＝sin (6x＋)时，由＋2mπ≤6x＋≤＋2mπ(m∈Z)， 解得＋≤x≤＋，m∈Z， f(x)的单调递减区间为[＋，＋](m∈Z). 15．如图是函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)，x∈R(A>0，ω>0，0<φ<)的部分图象，M，N是它与x轴的两个不同交点，D是M，N之间的最高点且横坐标为，点F(0，1)是线段DM的中点． (1)求函数f(x)的解析式； (2)若x∈[－，]时，函数h(x)＝f(x)－2a有两个零点，求实数a的取值范围． 解：(1)因为点F(0，1)是线段DM的中点，所以D(，2)，M(－，0)， 则A＝2，T＝＝4×[－(－)]＝2π. 又因为ω>0，则ω＝1，所以f(x)＝2sin (x＋φ). 由f()＝2sin (＋φ)＝2，得＋φ＝＋2kπ，k∈Z，所以φ＝＋2kπ，k∈Z. 又因为0<φ<，则φ＝，所以f(x)＝2sin (x＋). (2)因为x∈[－，]，则x＋∈[，]， 所以sin (x＋)∈[，1]，即f(x)＝2sin (x＋)∈[1，2]. 因为函数h(x)＝f(x)－2a有两个零点，则方程f(x)＝2a有两个不等实数根， 即函数y＝f(x)的图象与直线y＝2a有两个交点． 又因为函数y＝f(x)在[－，]上单调递增，在[，]上单调递减，且f(－)＝1，f()＝， 所以≤2a<2，即≤a<1. 故a的取值范围为[，1). 学科网（北京）股份有限公司 $$