2.4.1 平面向量基本定理（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（北师大版2019）

平面向量及其应用 §4　平面向量基本定理及坐标表示 4．1　平面向量基本定理 第二章 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 不共线 任意一个 唯一 返回导航 数学 必修 第二册 北　 垂直 正交基 单位 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 D 返回导航 数学 必修 第二册 北　 A 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 B 返回导航 数学 必修 第二册 北　 B 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 B 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 A 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 谢谢观看 返回导航 数学 必修 第二册 北　 学习目标 1.理解平面向量基本定理及其意义，了解基、正交基、正交分解及标准正交基的概念． 2．掌握平面向量基本定理，会用基表示平面向量． 3．会用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题． 知识点　平面向量基本定理 已知两个力，可以求出它们的合力；反过来，一个力 可以分解为两个力． 如图，通过作平行四边形，将力F分解为大小、方向不同的分力． 由力的分解得到启发，我们是否可以通过平行四边形，将向量a分解为两个向量，使向量a是这两个向量的和呢？ 1．平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理：如果e1和e2是同一平面内两个______的向量，那么对该平面内________向量a，存在____的一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. (2)基：把不共线的向量e1和e2叫作表示这一平面向量的一组基，记为{e1，e2}． 2．正交基、正交分解及标准正交基 (1)若基中的两个向量互相____，则称这组基为正交基． (2)在______下向量的线性表示称为正交分解． (3)若基中的两个向量是互相垂直的____向量，则称这组基为标准正交基． (1)基{e1，e2}中两向量e1，e2不共线． (2)基不唯一，关键是不共线． (3)由定理可将任一向量a在给出基{e1，e2}的条件下进行分解． (4)基给定时，分解形式唯一． [例1] (多选)已知e1，e2是平面内的一组基，则下列向量中能作为一组基的是(　　) A．e1＋e2和e1－e2 B．3e1－e2和－6e1＋4e2 C．e1＋e2和e2＋e1 D．e2和e2＋e1 ABD 对于A，e1＋e2与e1－e2不共线，故可作为一组基，故A正确； 对于B，3e1－e2和－6e1＋4e2不共线，故可作为一组基，故B正确； 对于C，e1＋e2＝e2＋e1，故不能作为一组基，故C错误； 对于D，e2和e2＋e1不共线，故可作为一组基，故D正确． 对平面向量基本定理的两点说明 (1)考查两个向量是否能构成基，主要看两向量是否不共线． (2)一个平面的基一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基唯一线性表示． [练1] 已知e1与e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝λe1＋e2，且a与b是一组基，则实数λ的取值范围是________． 答案：(－∞，)∪(，＋∞)　 因为e1与e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝λe1＋e2， 若a与b共线，则a＝μb，即a＝e1＋2e2＝μ(λe1＋e2)， 所以解得因为a与b是一组基，所以a与b不共线， 所以λ的取值范围是(－∞，)∪(，＋∞). 一　用基表示向量 [例2] 如图，已知M，N，P分别是△ABC三边BC，CA，AB上的点，且＝，＝，＝，如果＝a，＝b，试用基{a，b}表示向量，，. 在△ABC中，＝a，＝b，由＝，得＝＝b，＝－b， 由＝，得＝＝(－)＝a－b，＝b－a， 所以＝－＝(－b)－(a－b)＝－a＋b， 由＝，得＝＝－a，所以＝－＝－b＝a－b， ＝－＝(b－a)－(－a)＝a＋b. 平面向量基本定理的作用及注意点 (1)根据平面向量基本定理可知，同一平面内的任何一组基都可以表示该平面内的任意一个向量．用基表示向量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则进行向量的线性运算． (2)基的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过解方程或方程组求出要表示的向量． [练2] (1)如图，在△ABC中，＝a，＝b，＝4，用a，b表示，正确的是(　　) A．＝a＋b B．＝a＋b C．＝a－b D．＝a＋b (2)如图，在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，AE和BD相交于点F.记＝a，＝b，则(　　) A．＝－a－b B．＝a＋b C．＝－a－b D．＝a＋b (1)＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b.故选D. (2)在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AE和BD相交于点F， 所以△ABF∽△EDF，又E是CD的中点， 所以＝＝，所以＝＝(－)， 所以＝＋＝－＋(－)＝－－＝－a－b. 二　平面向量基本定理的应用 [例3] (1)如图，在任意四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，且－＝λ，则实数λ＝(　　) A. B．2 C． D．3 (2)在△ABC中，＝，＝(＋)，P为AE与BF的交点，＝λ＋μ，则λ－μ＝(　　) A．0 B． C． D． (1)－＝＋＋－＝＋2＋， ＝＋＋＝＋＋， 所以－＝2，又因为－＝λ，所以λ＝2. (2)因为＝(＋)， 所以F为AC的中点， B，P，F三点共线，故可设＝k，即－＝k(－)， 整理得＝k＋(1－k)＝(1－k)＋k， 因为＝，所以－＝－，即＝＋， A，P，E三点共线， 可得＝m＝m(＋)＝m＋m， 所以解得 可得＝＋，则λ＝，μ＝，λ－μ＝. 平面向量基本定理唯一性的应用 如果对于一组基{e1，e2}，有a＝λ1e1＋μ1e2＝λ2e1＋μ2e2，那么有这一性质常用于确定未知系数，即利用平面向量基本定理建立待求向量与基的关系式，再根据同一向量用同一组基表示的唯一性可求解相应的参数． [练3] (1)已知△ABC，点D满足2＝3，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则μ＝________． (2)(2024·北京昌平高一统考期末)在△ABC中，点D，E满足＝2，＝.若＝x＋y，则x＋y＝________． 答案：(1)　(2)－　 (1)由2＝3，得＝－，所以－＝－(－)， 即－＝－，所以＝＋，所以λ＝，μ＝，故μ＝. (2)如图，在△ABC中，点D，E满足＝2， ＝， 则＝＋＝－＝(－)－＝－＋， 而，不共线，又＝x＋y，因此x＝－，y＝， 所以x＋y＝－. ◎随堂演练 1．设e1，e2是平面内所有向量的一组基，则下面四组向量中，不能作为基的是(　　) A．e1＋e2和e1－e2 B．2e1－3e2和4e1－6e2 C．e1＋2e2和2e1＋e2 D．e2和e1＋e2 不共线的向量可以作为基，所以不能作为基的便是共线向量，显然选项B中，4e1－6e2＝2×(2e1－3e2)，所以2e1－3e2和4e1－6e2共线． 2．在△ABC中，＝a，＝b，若＝，M为线段AD的中点，则＝(　　) A．a＋b B．a＋b C．a－b D．a－b 如图所示，可知＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝2，所以＝a＋b. 3．已知在△ABC中，点D满足＝2，若＝＋λ，则λ＝________． 答案：　 如图，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋， 又＝＋λ，所以λ＝. $$