课时梯级训练(10) 函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质与图象(一)（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（北师大版2019）

课时梯级训练(10)　函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质与图象(一) 1．函数y＝sin x图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y＝sin ωx，则ω的值为(　　) A．2 B． C．4 D． B　解析：所求的解析式为y＝sin x＝sin ωx，故ω＝. 2．函数y＝sin x，x∈[－π，3π]的图象是(　　) A　解析：令x＝0，则y＝0，排除C，D；令x＝π，则y＝1，排除B.故选A. 3．把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin (x－)的图象，则f(x)＝(　　) A．sin (－) B．sin (＋) C．sin (2x－) D．sin (2x＋) 4．函数y＝sin (2x＋)的图象经过怎样的平移可得到函数y＝sin 2x的图象(　　) A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 D　解析：因为y＝sin (2x＋)＝sin 2(x＋)，所以y＝sin (2x＋)的图象向右平移个单位长度后可得到函数y＝sin 2x的图象．故选D. 5．(多选)将函数f(x)＝sin (2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位长度后得到一个奇函数的图象，则φ的一个可能取值为(　　) A． B． C．0 D．－ AD　解析：函数f(x)＝sin (2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位长度后的解析式为 g(x)＝sin [2(x＋)＋φ]＝sin (2x＋＋φ). 因为g(x)为奇函数，所以＋φ＝kπ，k∈Z，得φ＝kπ－，k∈Z， 当k＝0时，φ＝－，当k＝1时，φ＝.故选AD. 6．把正弦曲线y＝sin x上所有点的横坐标伸长到原来的5倍(纵坐标不变)得到函数________的图象． 答案：y＝sin x　解析：由＝5得ω＝，所以得到的函数为y＝sin x. 7．将函数y＝cos (2x＋)的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，所得图象的解析式为________． 答案：y＝cos (4x＋)　解析：将函数y＝cos (2x＋)的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，所得图象的解析式为y＝cos (2·2x＋)＝cos (4x＋). 8．函数y＝sin x的图象经过怎样的变换能得到函数y＝2sin (3x＋)的图象？ 解：将函数y＝sin x的图象上所有点向左平移个单位长度，得到y＝sin (x＋)的图象； 再将y＝sin (x＋)的图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，得到y＝sin (3x＋)的图象； 最后将y＝sin (3x＋)的图象上的所有点的纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变)，就可得到y＝2sin (3x＋)的图象． 9．(多选)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin (2x＋)，则下面结论正确的是(　　) A．把曲线C1向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到曲线C2 B．把曲线C1向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到曲线C2 C．把曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2 D．把曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2 AD　解析：对于A，曲线C1：y＝cos x向左平移个单位长度，得到y＝cos (x＋)的图象， 再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变， 得到y＝cos (2x＋)＝cos (2x＋－)＝sin (2x＋)的图象，故A正确； 对于B，把曲线C1：y＝cos x向左平移个单位长度，得到y＝cos (x＋)的图象， 再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变， 得到y＝cos (2x＋)＝cos (2x＋－)的图象，故B错误； 对于C，把曲线C1：y＝cos x上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到y＝cos 2x的图象， 再把得到的曲线向左平移个单位长度， 得到y＝cos 2(x＋)＝cos (2x＋)＝cos (2x＋－)的图象，故C错误； 对于D，把曲线C1：y＝cos x上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到y＝cos 2x的图象， 再把得到的曲线向左平移个单位长度， 得到y＝cos 2(x＋)＝cos (2x＋)＝cos (2x＋－)＝sin (2x＋)，故D正确． 10．(多选)已知f(x)＝sin (x＋)，g(x)＝cos (x－)，则f(x)的图象(　　) A．与g(x)的图象形状相同，位置不同 B．与g(x)的图象关于y轴对称 C．向右平移个单位长度，得到g(x)的图象 D．向左平移个单位长度，得到g(x)的图象 ACD　解析：f(x)＝sin (x＋)＝cos x，g(x)＝cos (x－)＝cos (－x)＝sin x， 选项A，将g(x)＝sin x的图象向左平移个单位长度可以得到f(x)＝cos x的图象， 故f(x)的图象与g(x)的图象形状相同，位置不同，故A选项正确； 选项B，因为f(－)＝cos (－)＝0，且g()＝sin ＝1，故f(－)≠g()，所以f(x)的图象与g(x)的图象不关于y轴对称，故B选项错误； 选项C，因为cos (x－)＝cos (－x)＝sin x，所以把f(x)的图象向右平移个单位长度，得到g(x)的图象，故C选项正确； 选项D，因为cos (x＋)＝cos (x－)＝cos (－x)＝sin x，所以把f(x)的图象向左平移个单位长度，得到g(x)的图象，故D选项正确． 11．y＝sin x的图象向右平移φ个单位长度与y＝cos x的图象重合，则正数φ的最小值为________． 答案：　解析：要得到y＝cos x＝sin (x＋)的图象，可把y＝sin x的图象向左平移个单位长度，即可把y＝sin x的图象向右平移个单位长度． 12．将函数f(x)＝a sin x＋b cos x(a，b∈R且b≠0)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移个单位长度后，得到一个奇函数的图象，则＝________． 答案：－　解析：将函数f(x)＝a sin x＋b cos x(a，b∈R且b≠0)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)＝f(x)＝a sin x＋b cos x(a，b∈R且b≠0)的图象， 再将所得图象向左平移个单位长度后，得到函数h(x)＝g(x＋)＝a sin (x＋)＋b cos (x＋)(a，b∈R且b≠0). 因为h(x)为奇函数，图象关于原点对称，所以有h(0)＝a sin ＋b cos ＝a＋b＝0， 解得＝－. 13．把正弦函数y＝sin x的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，然后再把所得曲线上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的(ω>1)倍，所得曲线是f(x).点P，Q，R分别是直线y＝m(m>0)与函数f(x)的图象从左至右的某三个相邻交点，且|PQ|＝|QR|＝. (1)求f(x)的解析式； (2)求实数m的值． 解：(1)由题意得f(x)＝sin (ωx＋)＋(ω>1)，T＝|PQ|＋|QR|＝π， ∵T＝，∴ω＝2， ∴f(x)＝sin (2x＋)＋. (2)设P(x0，m)，Q(x0＋，m)， 则sin (2x0＋)＋＝sin [2(x0＋)＋]＋，即sin (2x0＋)＝sin (2x0＋)， ∴2x0＋＝2x0＋＋2kπ(舍去)或2x0＋＋2x0＋＝π＋2kπ(k∈Z)， 解得x0＝(k∈Z)，则m＝sin (kπ＋)＋，∵m>0，∴m＝1. 14．已知函数y＝g(x)＝2sin (4x－). (1)函数y＝g(x)＝2sin (4x－)的图象经过怎样的变化可以得到h(x)＝2sin 2x的图象，写出变化过程，并求出函数g(x)在x∈[－，]的单调区间； (2)若方程g(x)＝在x∈[，]上的根从小到大依次为x1，x2，…，xn，试确定n的值，并求x1＋2x2＋2x3＋…＋2xn－1＋xn的值． 解：(1)g(x)＝2sin 4(x－)，首先将g(x)的图象向左平移个单位长度得g(x＋)＝2sin 4x的图象，再将其沿x轴方向伸长2倍，即可得h(x)＝2sin 2x的图象． 由x∈[－，]，可得－≤4x－≤， ∴由正弦函数的性质知，当－≤4x－<－时，g(x)单调递减；在－≤4x－≤时，g(x)单调递增， ∴g(x)在[－，－)上单调递减，在[－，]上单调递增． (2)由题设，x1，x2，…，xn为g(x)的图象与直线y＝在x∈[，]上的交点横坐标， 由解析式可知，g(x)在x∈[，]上的图象如图所示， ∴共有5个交点，且x1，x2，x3，x4，x5依次关于直线x＝，x＝，x＝，x＝对称， ∴x1＋x2＝，x2＋x3＝，x3＋x4＝，x4＋x5＝， ∴x1＋2x2＋2x3＋2x4＋x5＝＋＋＋＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$