2.3 从速度的倍数到向量的数乘（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（北师大版2019）

平面向量及其应用 §3　从速度的倍数到向量的数乘 第二章 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 向量 λ>0 λ<0 0 返回导航 数学 必修 第二册 北　 λ>0 λ<0 返回导航 数学 必修 第二册 北　 模 同 单位 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 λa＋μa (λμ)a λa＋λb 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 B 返回导航 数学 必修 第二册 北　 D 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 证 明 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 C C 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 C 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 D 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 谢谢观看 返回导航 数学 必修 第二册 北　 学习目标 1.掌握平面向量数乘运算，并理解这种运算的几何意义． 2．理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算． 3．理解并掌握共线(平行)向量基本定理，能熟练运用共线(平行)向量基本定理处理有关共线向量问题． 知识点一　向量数乘运算的定义及其几何意义 对于实数的运算，我们知道的几个相等的数相加可以转化为乘法运算，如4＋4＋4＋4＋4＝5×4＝20，那么相等的几个向量相加是否也能转化为乘法运算呢？ 1．向量数乘的定义 实数λ与向量a的乘积是一个____，记作λa，满足以下条件： (1)当____时，向量λa与向量a的方向相同； 当____时，向量λa与向量a的方向相反； 当λ＝0时，0a＝__． (2)|λa|＝|λ||a|. 这种运算称为向量的数乘． 2．向量数乘的几何意义 实数与向量数乘λa的几何意义：当____时，表示向量a的有向线段在原方向伸长或缩短为原来的λ倍；当____时，表示向量a的有向线段在反方向伸长或缩短为原来的|λ|倍． 3．向量的单位化 在非零向量a方向上的单位向量是，它表明一个非零向量除以它的__(乘它的模的倒数)的结果是一个与原向量__方向的____向量，这一过程称为向量的单位化． (1)已知λ∈R，a是向量，则λa是向量，而λ与a不能相加减． (2)若a≠0，则表示与a方向相同的单位向量． [例1] (多选)已知a，b为非零向量，下面说法正确的是(　　) A．2a的方向与a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍 B．－2a的方向与3a的方向相反，且－2a的模是3a的模的 C．－2a与2a是一对相反向量 D．a－b与－(b－a)是一对相反向量 ABC 对于A，∵2a＝a＋a与a方向相同，且|2a|＝|a＋a|＝|a|＋|a|＝2|a|，故A正确； 对于B，∵－2a＝(－a)＋(－a)与－a同方向，3a＝a＋a＋a与a同方向，由于－a与a反方向，∴－2a与3a反方向，又|－2a|＝2|a|，|3a|＝3|a|，∴－2a的模是3a的模的，故B正确； 对于C，∵－2a＋2a＝(－2＋2)a＝0，故－2a与2a是一对相反向量，故C正确； 对于D，∵－(b－a)＝a－b，∴两者为相等向量，故D错误． 对数乘向量的三点说明 (1)λa中的实数λ叫作向量a的系数． (2)向量数乘运算的几何意义是把a沿着a的方向或a的反方向长度扩大或缩小几倍． (3)当λ＝0或a＝0时，λa＝0.注意是0，而不是0. C [练1] 设a是非零向量，λ是非零实数，则下列结论正确的是(　　) A．a与－λa的方向相反 B．|λa|≥|a| C．a与λ2a的方向相同 D．|λa|>|λ|a 当λ>0时，a与－λa的方向相反， 当λ<0时，a与－λa的方向相同，故A不正确； 当|λ|≥1时，|λa|≥|a|，当0<|λ|<1时，|λa|<|a|，故B不正确； 因为λ是非零实数，所以λ2>0，所以a与λ2a的方向相同，故C正确； |λa|是实数，|λ|a是向量，二者不能比较大小，故D不正确． 知识点二　向量数乘运算的运算律 我们知道实数的运算满足结合律，即a×(b×c)＝(a×b)×c，也满足分配律，即a×(b＋c)＝a×b＋a×c，那么对于向量的数乘，是否也有类似的运算律成立呢？ 1．设λ，μ为实数，a，b为向量． (1)(λ＋μ)a＝________． (2)λ(μa)＝_____． (3)λ(a＋b)＝________． 2．向量的加法、减法和数乘的综合运算统称为向量的线性运算(或线性组合)；若向量c由向量a，b的线性运算得到，则称向量c可以用向量a，b线性表示． 对于任意向量a，b以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a＋λμ2b. [例2] 如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，M，N分别是DC和AB的中点，若＝a，＝b，试用a，b表示，，. 如图所示，连接CN，则四边形ANCD是平行四边形． 则＝＝＝a， ＝－＝－＝b－a， ＝－＝－－＝－－·(－)＝a－b. 用已知向量表示其他向量的方法 [练2] (1)如图，在矩形ABCD中，E为BC的中点，那么向量＋＝(　　) A． B． C． D． (2)在△ABC中，D为边AB的中点．记＝m，＝n，则＝(　　) A．2m＋n B．m＋2n C．2m－n D．－m＋2n (1)因为四边形ABCD为矩形，E为BC的中点，所以＝， 所以＋＝＋＝. (2)如图，∵D为边AB的中点， ∴＝， ∴＝＋＝n＋＝n＋－＝ n＋n－m＝－m＋2n. 知识点三　共线(平行)向量基本定理 已知非零向量a， (1)根据向量的加法法则，a＋a＝2a与向量a有什么关系？ (2)向量a与6a有什么关系？ (3)设λ≠0，向量a与λa有什么关系？ 1．共线(平行)向量基本定理 给定一个非零向量b，则对于任意向量a，a∥b的充要条件是存在唯一一个实数λ，使a＝λb. 2．直线的向量表示 通常可以用＝t表示过点A，B的直线l，其中称为直线l的方向向量． (1)定理中b≠0不能漏掉． (2)O为直线AB外一点，若A，B，P三点共线，则存在唯一的实数t，使得＝＋t. (3)O为直线AB外一点，若A，B，P三点共线，则存在唯一的一对实数λ，μ，使得＝λ＋μ且λ＋μ＝1. [例3] (2024·陕西西安高一统考期中)设a，b是不共线的两个向量． (1)若＝2a－b，＝3a＋b，＝a－3b，求证：A，B，C三点共线； (2)若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值． (1)由＝2a－b，＝3a＋b，＝a－3b， 得＝－＝3a＋b－(2a－b)＝a＋2b， ＝－＝a－3b－(3a＋b)＝－2a－4b＝－2， 因此∥，且有公共点B，所以A，B，C三点共线． (2)由于8a＋kb与ka＋2b共线，则存在实数λ，使得8a＋kb＝λ(ka＋2b)， 即(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0，而a，b不共线， 因此解得或 所以实数k的值是±4. 1．证明或判断三点共线的方法 一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得＝λ(或＝λ等)即可． 2．利用向量共线求参数的方法 已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解． [练3] (1)已知向量a，b不共线，＝a＋3b，＝5a＋3b，＝－3a＋3b，则(　　) A．A，B，C三点共线 B．A，C，D三点共线 C．A，B，D三点共线 D．B，C，D三点共线 (2)在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是(　　) A．矩形 B．平行四边形 C．梯形 D．无法判断 (1)因为a，b不共线，＝a＋3b，＝5a＋3b，＝－3a＋3b， 易得，，互不共线，所以A，B，C三点不共线，B，C，D三点不共线，故A，D错误； 又＝＋＝6a＋6b，易得，不共线，则A，C，D三点不共线，故B错误； 而＝＋＝2a＋6b＝2(a＋3b)＝2，所以A，B，D三点共线，故C正确． (2)由＝＋＋＝－8a－2b， 得＝2，即AD∥BC，而AD≠BC，所以四边形ABCD为梯形． ◎随堂演练 1．已知向量a，b，那么(2a－4b)＋2b＝(　　) A．a－2b B．a－4b C．a D．b (2a－4b)＋2b＝a－2b＋2b＝a.故选C. 2．(2024·辽宁抚顺高一期中)已知向量a，b不共线，向量c＝a＋3b，d＝2a＋kb，且c∥d，则k＝(　　) A．－3 B．3 C．－6 D．6 设d＝λc，则2a＋kb＝λ(a＋3b)＝λa＋3λb，故λ＝2，k＝3λ＝6. 3．如图所示，向量，，的终点A，B，C在一条直线上，且＝－3.已知＝p，＝q，则＝________．(用p，q表示) 答案：－p＋q　 ∵＝－3＝3， ∴＝， ∴＝＋＝＋＝＋(－). 又＝p，＝q，∴＝q＋(－p)， ∴＝－p＋q. $$