课时梯级训练(9) 余弦函数的图象与性质再认识（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（北师大版2019）

课时梯级训练(9)　余弦函数的图象与性质再认识 1．函数f(x)＝1＋3cos x的最小值为(　　) A．－3 B．－2 C．3 D．4 B　解析：因为－1≤cos x≤1，所以－2≤1＋3cos x≤4，所以最小值为－2.故选B. 2．函数f(x)＝的定义域为(　　) A．[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z) B．[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z) C．[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z) D．[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z) A　解析：由题意，要使函数f(x)＝有意义，则需满足－2cos x－1≥0，即cos x≤－， 解得＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z， 所以函数f(x)的定义域为[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z). 3．三个数cos (－)，cos ，cos 的大小关系为(　　) A．cos (－)<cos <cos B．cos <cos <cos (－) C．cos <cos (－)<cos D．cos (－)<cos <cos B　解析：因为cos (－)＝cos >0，cos ＝－cos <0，cos >0， 又余弦函数y＝cos x在(0，)上单调递减，所以cos <cos ， 因此－cos <cos <cos ，即cos <cos <cos (－). 4．已知函数f(x)＝sin (x＋)，下列结论错误的是(　　) A．函数f(x)的最小正周期为2π B．函数f(x)在区间(0，π)上是减函数 C．函数f(x)的图象关于(kπ，0)(k∈Z)对称 D．函数f(x)是偶函数 C　解析：f(x)＝sin (x＋)＝cos x， 由余弦函数的性质可知，函数的最小正周期T＝＝2π，即A正确； 在区间(0，π)上是减函数，即B正确； 关于(＋kπ，0)(k∈Z)对称，即C错误； 是偶函数，即D正确． 5．方程|x|＝cos x在(－∞，＋∞)内(　　) A．没有根 B．有且仅有一个根 C．有且仅有两个根 D．有无穷多个根 C　解析：在同一平面直角坐标系中作出函数y＝|x|及函数y＝cos x的图象，如图所示． 发现仅有2个交点，所以方程|x|＝cos x仅有2个根． 6．函数y＝3cos2x－4cosx＋1(x∈R)的值域为_______． 答案：[－，8]　解析：令t＝cos x∈[－1，1]，则y＝3t2－4t＋1＝3(t－)2－， 当t＝时，函数y取得最小值－， 当t＝－1时，函数y取得最大值8， 故函数的值域为[－，8]. 7．在[－π，π]上满足cos x≤－的x的取值范围是______________． 答案：[－π，－]∪[，π]　 解析：如图所示，画出函数图象，根据图象知，x∈[－π，－]∪[，π]. 8．利用“五点法”作出函数y＝－1－cos x(0≤x≤2π)的简图． 解：(1)取值列表如下： x 0 π 2π y＝cos x 1 0 －1 0 1 y＝－1－cos x －2 －1 0 －1 －2 (2)描点连线，如图所示． 9．已知函数y＝cos x＋|cos x|. (1)画出函数的图象； (2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期； (3)求出这个函数的单调递增区间． 解：(1)y＝cos x＋|cos x|＝ 函数图象如图所示． (2)由图象知这个函数是周期函数，且最小正周期是2π. (3)由图象知函数的单调递增区间为[2kπ－，2kπ](k∈Z). 10．已知函数f(x)＝－cos2x＋cosx＋a＋1，a∈R，若对区间[0，]上任意x，都有f(x)≤1成立，则实数a的最大值为(　　) A．－ B．0 C．2 D． A　解析：∵f(x)≤1在[0，]上恒成立， ∴a≤cos2x－cosx＝(cos x－)2－在[0，]上恒成立． ∵x∈[0，]，∴cos x∈[0，1]，∴(cos x－)2－≥－，当且仅当cos x＝，即x＝时，等号成立，∴a≤－，则实数a的最大值为－. 11．函数y＝的部分图象大致为(　　) C　解析：函数y＝为奇函数，故排除B； 当x＝π时，y＝0，故排除D； 当x＝1时，y＝，因为0<1<<2<π， 所以sin 2>0，0<cos 1<1，故y＝>0，排除A.故选C. 12．(多选)对于函数f(x)＝ 下列说法正确的是(　　) A．该函数是以π为最小正周期的周期函数 B．当且仅当x＝π＋2kπ(k∈Z)时，该函数取得最小值－1 C．该函数的图象关于直线x＝＋2kπ(k∈Z)对称 D．当且仅当2kπ<x<＋2kπ(k∈Z)时，0<f(x)≤ CD　解析：画出f(x)在[0，2π]上的图象如图所示． 由图象知，函数f(x)的最小正周期为2π， 当x＝π＋2kπ(k∈Z)和x＝＋2kπ(k∈Z)时，该函数都取得最小值－1，故A，B错误． 由图象知，函数图象关于直线x＝＋2kπ(k∈Z)对称， 当2kπ<x<＋2kπ(k∈Z)时，0<f(x)≤，故C，D正确． 13．若函数f(x)＝cos x，x∈[－2π，2π]，则不等式xf(x)>0的解集为________________________________________________________________________． 答案：(－，－)∪(0，)∪(，2π]　解析：当x>0时，cos x>0，且x∈[－2π，2π]，解得0<x<或<x≤2π； 当x<0时，cos x<0，且x∈[－2π，2π]，解得－<x<－， 故不等式xf(x)>0的解集为(－，－)∪(0，)∪(，2π]. 14．函数f(x)＝cos x＋2|cos x|－m，x∈[0，2π]恰有两个零点，求实数m的取值范围． 解：函数f(x)＝cos x＋2|cos x|－m，x∈[0，2π]的零点个数就是函数y＝cos x＋2|cos x|＝ 的图象与直线y＝m的交点个数， 作出y＝cos x＋2|cos x|，x∈[0，2π]的图象，如图， 由图象可知，当m＝0或1<m≤3时， 函数y＝cos x＋2|cos x|，x∈[0，2π]的图象与直线y＝m有两个交点， 故当函数f(x)＝cos x＋2|cos x|－m，x∈[0，2π]恰有两个零点时，实数m的取值范围为{0}∪(1，3]. 15．已知定义在R上的奇函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，且f()＝0，△ABC的内角A满足f(cos A)≤0，求角A的取值范围． 解：①当0<A<时，cos A>0. 由f(cos A)≤0＝f()，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，得0<cos A≤，解得≤A<. ②当<A<π时，cos A<0. ∵f(x)为R上的奇函数，f(x)在(0，＋∞)上单调递增， ∴f(x)在(－∞，0)上单调递增，f(－)＝－f()＝0， ∴由f(cos A)≤0＝f(－)，得cos A≤－，∴≤A<π. ③当A＝时，cos A＝0， ∵f(x)为R上的奇函数，∴f(0)＝0， ∴f(0)≤0成立． 综上所述，角A的取值范围是[，]∪[，π). 学科网（北京）股份有限公司 $$