课时梯级训练(8) 正弦函数的性质（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（北师大版2019）

课时梯级训练(8)　正弦函数的性质 1．(2024·四川绵阳高一期末)函数f(x)＝cos (－x)是(　　) A．奇函数，在区间(0，)上单调递增 B．奇函数，在区间(0，)上单调递减 C．偶函数，在区间(0，)上单调递增 D．偶函数，在区间(0，)上单调递减 A　解析：因为函数f(x)＝cos (－x)＝sin x，是正弦函数， 所以f(x)是奇函数，且在区间(0，)上单调递增． 2．定义在R上的奇函数f(x)的周期是π，当x∈[0，]时，f(x)＝sin x，则f()的值为(　　) A．－ B． C．－ D． C　解析：f()＝f(674π＋)＝f(－)＝－f()＝－sin ＝－. 3．下列关系式中正确的是(　　) A．sin 11°<cos 10°<sin 168° B．sin 168°<sin 11°<cos 10° C．sin 11°<sin 168°<cos 10° D．cos 10°<sin 168°<sin 11° C　解析：sin 168°＝sin (180°－12°)＝sin 12°，cos 10°＝sin (90°－10°)＝sin 80°， ∵sin 11°<sin 12°<sin 80°，∴sin 11°<sin 168°<cos 10°. 4．函数y＝sin x，x∈[，]，则y的取值范围是(　　) A．(，1] B．[，1] C．[，] D．[，1] B　解析：由y＝sin x的单调性知，在[，]上函数单调递增，在[，]上函数单调递减，又sin ＝，sin ＝1，sin ＝>，故y∈[，1]. 5．(2024·陕西西安高一期末)使得函数y＝sin x为减函数，且值为负数的区间为(　　) A．(0，) B．(，π) C．(π，) D．(，2π) C　解析：由y＝sin x的图象与性质可知x∈(π，)时，函数单调递减，且函数值为负数． 6．已知函数f(x)＝a sin x＋bx＋1，若f(－1)＝2，则f(1)＝________． 答案：0　解析：因为f(1)＝a sin 1＋b＋1，f(－1)＝－a sin 1－b＋1，所以f(1)＋f(－1)＝2. 因为f(－1)＝2，所以f(1)＝0. 7．函数y＝4sin x＋3在[－π，π]上的单调递增区间为________． 答案：[－，]　解析：因为y＝sin x在[－π，π]上的单调递增区间为[－，]， 所以函数y＝4sin x＋3在[－π，π]上的单调递增区间为[－，]. 8．写出函数y＝－3sin x＋1的值域和单调区间． 解：因为y＝－3sin x＋1的单调性与y＝sin x的单调性相反，又y＝sin x的单调递减区间为[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)，单调递增区间为[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)，所以y＝－3sin x＋1的单调递增区间为[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)，单调递减区间为[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z). 又－1≤sin x≤1，所以－2≤－3sin x＋1≤4，故函数y＝－3sin x＋1的值域为[－2，4]. 9．求函数f(x)＝sin2x－4sinx＋5的值域． 解：设t＝sin x，则－1≤t≤1， f(x)＝g(t)＝t2－4t＋5(－1≤t≤1)， g(t)＝(t－2)2＋1的对称轴为直线t＝2. 因为g(t)的图象开口向上，对称轴t＝2在区间[－1，1]右侧， 所以g(t)在[－1，1]上是单调递减的， 所以g(t)max＝g(－1)＝(－1)2－4×(－1)＋5＝10， g(t)min＝g(1)＝12－4×1＋5＝2，即g(t)∈[2，10]. 所以函数f(x)的值域为[2，10]. 10．(多选)设函数f(x)＝sin |x|，则f(x)(　　) A．是偶函数 B．是周期为2π的周期函数 C．在区间[，]上单调递减 D．在区间[－，0]上单调递增 AC　解析：f(－x)＝sin |－x|＝sin |x|＝f(x)，为偶函数；由图可知，f(x)在[，]上单调递减，故A，C正确． 11．已知函数f(x)＝sin x＋，则(　　) A．f(x)的最小值为2 B．f(x)的图象关于y轴对称 C．f(x)的图象关于直线x＝π对称 D．f(x)的图象关于直线x＝对称 D　解析：∵当x∈(－，0)时，f(x)<0， ∴f(x)min<0，A错误；∵f(x)＝sin x＋的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，关于原点对称，又f(－x)＝sin (－x)＋＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，其图象不关于y轴对称，B错误； ∵f(π－x)＝sin x＋，f(π＋x)＝－sin x－，∴f(π－x)≠f(π＋x)，∴f(x)的图象不关于直线x＝π对称，C错误； ∵f(－x)＝cos x＋，f(＋x)＝cos x＋， ∴f(－x)＝f(＋x)，∴f(x)的图象关于直线x＝对称，D正确．故选D. 12．函数y＝的定义域是________，单调递减区间是____________． 答案：[2kπ－π，2kπ](k∈Z)　[2kπ－，2kπ](k∈Z) 解析：∵－2sin x≥0，∴sin x≤0， ∴2kπ－π≤x≤2kπ，k∈Z， 即函数的定义域是[2kπ－π，2kπ]，k∈Z. ∵y＝与y＝sin x的单调性相反， ∴函数的单调递减区间为[2kπ－，2kπ]，k∈Z. 13．函数y＝3sin2x－4sinx＋1，x∈[，]，当x＝________时，y取最小值，且最小值为________． 答案：　－　解析：令t＝sin x，x∈[，]， ∴t∈[－，]，y＝3t2－4t＋1＝3(t－)2－. ∵y＝3(t－)2－在t∈[－，]上单调递减， ∴当t＝，即x＝时，ymin＝3×()2－4×＋1＝－. 14．函数y＝a sin x＋1的最大值为1－a，最小值为－3. (1)求实数a的值； (2)求该函数的单调递增区间； (3)若x∈[－π，π]，求该函数的单调递增区间． 解：(1)∵ymax＝1－a，∴a<0，故ymin＝1＋a＝－3，∴a＝－4. (2)由(1)知，y＝－4sin x＋1， 当＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z时，函数y＝－4sin x＋1单调递增， 故y＝－4sin x＋1的单调递增区间为[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z). (3)∵x∈[－π，π]，[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)∩[－π，π]＝[－π，－]∪[，π]. ∴当x∈[－π，π]时，y＝－4sin x＋1的单调递增区间为[－π，－]，[，π]. 15．设sin x＋sin y＝，求M＝sin x＋sin2y－1的最大值与最小值． 解：∵sinx＋sin y＝，∴sin x＝－sin y. ∵－1≤sin x≤1，∴解得－≤sin y≤1. 又∵M＝sin2y－siny－＝(sin y－)2－， ∴当sin y＝，sin x＝－时，Mmin＝－； 当sin y＝－，sin x＝1时，Mmax＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$