2.2.1 向量的加法（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（北师大版2019）

平面向量及其应用 §2　从位移的合成到向量的加减法 2．1　向量的加法 第二章 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 B 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 谢谢观看 返回导航 数学 必修 第二册 北　 学习目标 1.掌握平面向量加法运算及运算规则，理解其几何意义． 2．掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练运用这两个法则进行两个向量的加法运算． 知识点一　向量加法的概念与平行四边形法则 我们知道，数能进行运算，因为有了运算而使数的变化无穷，同样地，向量也可以进行运算，考虑到向量既有大小，又有方向，向量的加法肯定不会像实数的加法一样简单，那么向量的方向是如何影响向量的加法运算的呢？ 1．向量加法的定义 求__________的运算，称为向量的加法． 两个向量和 2．向量加法的平行四边形法则 已知两个不共线的向量a，b，如图，在平面内任取一点A，作有向线段＝a，＝b，以有向线段和为邻边作▱ABCD，则有向线段表示的向量即为向量a与b的和，记作a＋b.这种求两个向量和的作图方法称为向量加法的__________法则． 平行四边形 (1)a，b，a＋b同起点． (2)对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a. (3)两向量的和仍为向量，实数与向量不能进行加法运算． [例1] 如图所示，试分别作出向量＋，＋. 如图，以BA，BC为邻边作平行四边形ABCE，根据平行四边形法则，可知就是＋. 以CB，CA为邻边作平行四边形ACBF，根据平行四边形法则，可知就是＋. 应用平行四边形法则求向量和的基本步骤 (1)平移两个不共线的向量使之共起点． (2)以这两个已知向量为邻边作平行四边形． (3)平行四边形中，与两向量共起点的对角线表示的向量为两个向量的和． [练1] 如图，已知向量a，b，用向量加法的平行四边形法则作出向量a＋b. (1)　(2) (1)如图，作＝a，＝b，以OA，OB为邻边作▱OACB，a＋b＝＋＝， 则即为所求作的向量． (2)如图，作＝a，＝b，以OA，OB为邻边作▱OACB，a＋b＝＋＝， 则即为所求作的向量． 知识点二　向量加法的三角形法则 根据相等向量的概念和向量加法的平行四边形法则，在如图所示的平行四边形ABCD中，＝＋是否成立？ 1．如图，作有向线段＝a，以有向线段的终点为起点，作有向线段＝b，连接AC得到有向线段，也可以表示向量a与b的和．这种求两个向量和的作图方法称为向量加法的______法则． 三角形 2．向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系 项目 三角形法则 平行四边形法则 区别 (1)首尾相接； (2)适用于任何两个非零向量求和 (1)共起点； (2)仅适用于不共线的两个向量求和 推广 (1)多边形法则：若A1，A2，A3，…，An为平 面n边形的顶点，则＋＋＋… ＋＝； (2)线段AB中点的向量表达式：若三角形ABC的边BC的中点为D，则＝(＋) 项目 三角形法则 平行四边形法则 推广 (2)线段AB中点的向量表达式：若三角形ABC的边BC的中点为D，则＝(＋) 3.平面向量加法的三角形不等式 在||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|中，当且仅当a与b同向或反向时取等号． (1)首尾相接，再首尾相连． (2)适用于所有向量求和． (3)a＋(－a)＝(－a)＋a＝0. [例2] 如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b＋c. 方法一(三角形法则)　如图所示，作＝a，＝b， 则＝a＋b，再作＝c，则＝＋＝(a＋b)＋c，即＝a＋b＋c. 方法二(平行四边形法则)　因为向量a，b，c不共线， 如图所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b， 以，为邻边作平行四边形OADB，则＝a＋b， 再作＝c，以，为邻边作平行四边形OCED，则＝a＋b＋c. 应用三角形法则求向量和的基本步骤 (1)平移向量使之“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合． (2)以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量，即为两个向量的和． [练2] 如图，已知a，b，求作a＋b. (1)　(2) (1)在平面内任取一点O，如图所示． 作＝a，＝b，则＝a＋b. (2)在平面内任取一点A，如图所示． 作＝a，＝b，则＝a＋b. 知识点三　向量加法的运算律 我们知道，实数的加法运算满足结合律，即对任意a，b，c∈R，都有(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；实数的加法运算也满足交换律，即对任意a，b∈R，都有a＋b＝b＋a，那么向量的加法满足结合律和交换律吗？ 交换律 a＋b＝b＋a 结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) (1)当向量共线时，向量加法的交换律和结合律也成立． (2)多个向量的加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行． [例3] 化简下列各式： (1)＋＋＋； (2)(＋)＋(＋)＋. (1)＋＋＋＝＋＋＝＋＝0. (2)(＋)＋(＋)＋＝＋＋＋＋＝. 向量加法运算律的应用原则 通过向量加法的交换律，使向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序． [练3] 化简下列各式： (1)＋＋； (2)＋＋＋＋. (1)原式＝＋＋＝＋＝. (2)原式＝＋＋＋＋＝＋＋＝＋＝0. 知识点四　向量加法的实际应用 [例4] 如图，一艘船从长江南岸点A出发，以2 km/h的速度垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2 km/h. (1)试用向量表示江水速度、船速以及该船实际航行的速度； (2)求船实际航行速度的大小与方向(方向用与江水速度间的夹角表示). (1)如图所示，表示船速，表示水速， 以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD， 则表示该船实际航行的速度． (2)由题意得AB⊥AD， 在Rt△ABC中，||＝2，||＝||＝2， 则||＝＝4，tan ∠BAC＝＝，所以∠BAC＝60°， 所以船实际航行速度的大小为4 km/h，方向与江水速度间的夹角为60°. 应用向量解决实际问题的基本步骤 (1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题． (2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将有关向量进行运算，解答向量问题． (3)还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题． [练4] 如图，在重100 N的物体上有两根绳子，绳子与竖直方向的夹角分别为30°，60°，物体平衡时，两根绳子拉力的大小分别为________，________． 答案：50 N　50 N　 如图所示． 设两根绳子的拉力分别为，， 作平行四边形OACB，使∠AOC＝30°，∠BOC＝60°， 在平行四边形OACB中，∠AOC＝30°，∠OCA＝60°，则∠OAC＝90°， 所以||＝||·cos 30°＝50(N)，||＝||·cos 60°＝50(N)， 所以物体平衡时，两根绳子拉力的大小分别为50 N，50 N． ◎随堂演练 1．如图，在矩形ABCD中，O为AC与BD的交点，则＋＋＝(　　) A． B． C． D． 根据平面向量加法的三角形法则和平行四边形法则，得＋＋＝＋＝. 2．已知正方形ABCD的边长为1，则|＋|＝________． 答案：　 如图所示． 因为正方形ABCD的边长为1，由平行四边形法则得|＋|＝||＝. 3．某人从点O向正东走30 m到达点A，再向正北走30 m到达点B，则此人的位移的大小是________m，方向是东偏北________． 答案：60　60°　 如图所示，此人的位移是＝＋，且⊥， $$