2.1 从位移、速度、力到向量（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（北师大版2019）

平面向量及其应用 §1　从位移、速度、力到向量 第二章 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 大小 方向 大小 方向 返回导航 数学 必修 第二册 北　 方向 有向线段 向量的大小 向量的方向 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 长度为0 1 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 相等向量 指它们的长度____且方向____，向量a与b相等，记作____ 共线向量 (平行向量) 定义：若两个非零向量a，b的方向____或____，则称这两个向量为共线向量或平行向量，也称这两个向量共线或平行，记作a∥b.规定零向量与任一向量共线，即对于任意的向量a，都有0∥a 判定方法：表示两个向量的有向线段所在的直线重合或平行，则这两个向量共线或平行 相等 相同 a＝b 相同 相反 返回导航 数学 必修 第二册 北　 相反向量 若两个向量的长度____、方向____，则称它们互为相反向量．相反向量是共线向量，向量a的相反向量记作－a，零向量的相反向量仍是零向量 相等 相反 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 非零向量 ∠AOB 同向 反向 返回导航 数学 必修 第二册 北　 垂直 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 BD 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 B 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 B 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 谢谢观看 返回导航 数学 必修 第二册 北　 学习目标 1.通过对位移、速度、力等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义及两向量相等的含义． 2．理解平面向量的几何表示和基本要素，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量． 3．理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相反向量、相等向量及向量的模等概念，会找两向量所成的夹角． 知识点一　向量的概念 在物理学中的位移、速度、力等物理量，与长度、面积相比有什么共同的特征？ 1．向量与数量 (1)向量：既有____又有____的量称为向量． (2)数量：只有____没有____的量称为数量． 2．向量的表示 (1)具有____和长度的线段称为有向线段，以A为起点，B为终点的有向线段，记作，线段AB的长度称为有向线段的长度，记作||. (2)向量可以用________表示，其中有向线段的长度表示__________，箭头所指的方向表示__________． (3)向量也可以用黑斜体小写字母如a，b，c，…或，，，…(书写)来表示．向量a的大小，记作|a|，又称作向量的模． (1)书写向量时要带箭头． (2)有向线段是向量的直观表示，并不是说向量就是有向线段． (3)向量不能比较大小，向量的模可以比较大小． [例1] 一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向，向北偏西40°的方向行驶了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点． (1)作出向量，，； (2)求||. (1)向量，，如图所示． (2)由题意，可知四边形ABCD为平行四边形，∴||＝||＝200(km). 作向量的方法 准确作出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点． [练1] 某人从点A出发向西走4个单位长度到达点B，然后改变方向朝西北方向走6个单位长度到达点C，最后又向东走4个单位长度到达点D.试分别作出向量，和. 根据题意，在平面内任取一点为A，按照题意要求方向，作线段||＝4，||＝6，||＝4，则向量，和如图所示． 知识点二　零向量和单位向量 实数中有数字“0”和数字“1”，向量中是否也有类似的向量呢？ 1．零向量：________的向量称为零向量，记作0或，任何方向都可以作为零向量的方向． 2．单位向量：模等于__个单位长度的向量称为单位向量． [例2] 下列说法中正确的是(　　) A．零向量没有大小，没有方向 B．零向量的方向都是相同的 C．单位向量都是同方向 D．单位向量的长度都相等 D 对于A，零向量的长度为0，方向是任意的，故错误； 对于B，零向量的方向是任意的，故错误； 对于C，单位向量只是模都为1个单位长度的向量，方向不一定相同，故错误； 对于D，长度等于1个单位长度的向量叫作单位向量，故正确． 解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题． C [练2] 下列说法中正确的是(　　) A．向量的模都是正实数 B．单位向量的方向与大小都相同 C．向量的大小与方向无关 D．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 零向量的模为0，故A不正确；单位向量的方向可以是任意的，故B不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C正确；不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故D不正确． 知识点三　向量的基本关系 速度相等等价于方向相同、大小相等；两个力相等等价于方向相同、大小相等，还包括作用点相同，那么对于一般的向量相等应满足什么条件呢？ 向量的基本关系 (1)平行向量也称向量共线． (2)零向量与任一向量共线． [例3] 在如图所示的向量a，b，c，d，e中(小正方形的边长为1)，是否存在： (1)共线向量？ (2)相反向量？ (3)相等向量？ (4)模相等的向量？ 若存在，分别写出这些向量． (1)向量a与d共线，向量b与e共线，所以存在共线向量． (2)向量a与d是相反向量，所以存在相反向量． (3)不存在相等向量． (4)|a|＝|c|＝|d|＝，|b|＝，|e|＝＝2， 所以存在模相等的向量，即为a，c，d. 相等向量与共线向量的探求方法 (1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线． (2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉已知向量的相反向量． [练3] 如图，设O是▱ABCD对角线的交点，则 (1)与的模相等的向量有多少个？ (2)与的模相等且方向相反的向量有哪些？ (3)写出与共线的向量． (1)在平行四边形ABCD中，O为对角线的交点，所以AO＝OC，且AB∥DC，所以与的模相等的向量有，，，共三个． (2)与的模相等且方向相反的向量有，. (3)与共线的向量有，，. 知识点四　向量的夹角 由于向量的方向不同，如何来描述向量之间的相对位置关系呢？我们可以用向量的夹角来表示两个向量的相对位置关系，如图，线段AB与CD交于点O，那么向量，的夹角是哪一个呢？ 1．夹角：已知两个________a和b，在平面内选一点O，作＝a，＝b，则θ＝_______ (0°≤θ≤180°)称为向量a与b的夹角(如图所示). 当θ＝0°时，a与b____；当θ＝180°时，a与b____． 2．垂直：当a与b的夹角是90°时，则称a与b垂直，记作a⊥b.规定零向量与任一向量____，即对于任意的向量a，都有0⊥a. [例4] 如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心． (1)分别写出与，与夹角的大小； (2)分别指出与，与的夹角，并求出角的大小． (1)∵∥且与方向相反， ∴与的夹角为180°. 又AC⊥BE，∴与的夹角为90°. (2)∵＝，＝， ∴与的夹角为∠COD＝60°. ∵＝， ∴与的夹角为∠AFE＝120°. 求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出． [练4] 在△ABC中，C＝90°，BC＝AB，则与的夹角等于(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° C 如图，作向量＝，则∠BAD是与的夹角．在△ABC中，因为∠ACB＝90°，BC＝AB，所以∠ABC＝60°，所以∠BAD＝120°. ◎随堂演练 1．(多选)给出下列命题正确的是(　　) A．平面内所有的单位向量都相等 B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 C. 若a，b满足|a|>|b|，且a，b同向，则a>b D．力、速度和位移都是向量 对A，若单位向量的方向不同，则向量不相等，故A错误； 对B，根据相反向量的定义可知B正确； 对C，向量无法比较大小，故C错误； 对D，根据物理学上关于力、速度和位移的定义知力、速度和位移既有大小也有方向，其符合向量的定义，故D正确． 2．设点O是正三角形ABC的中心，则向量，，是(　　) A．相等向量 B．模相等的向量 C．共线向量 D．共起点的向量 ∵O是正三角形ABC的中心，向量，，分别是以三角形的中心和顶点为起点和终点的向量，∴O到三个顶点的距离相等，即||＝||＝||，但向量，，不是相等向量，也不是共线向量，也不是起点相同的向量． 3．下列说法中不正确的是(　　) A．零向量与任一向量平行 B．方向相反的两个非零向量不一定共线 C．单位向量是模等于1个单位长度的向量 D．方向相反的两个非零向量必不相等 根据规定：零向量与任一向量平行，A正确； 方向相反的两个非零向量一定共线，B错误； 单位向量是模等于1个单位长度的向量，C正确； 根据相等向量的定义：长度相等且方向相同的两个向量称为相等向量，所以方向相反的两个非零向量必不相等，D正确． 4．等边三角形ABC中，向量，的夹角的大小为________；向量，的夹角的大小为________． 答案：　　 因为，的起点相同，所以，的夹角即为角A，大小是.把向量平移，使平移后的向量与有相同起点，易知与的夹角为. $$