1.8 三角函数的简单应用 （课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（北师大版2019）

三角函数 §8　三角函数的简单应用 第一章 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 BCD 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 必修 第二册 北　 A 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 D 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 谢谢观看 返回导航 数学 必修 第二册 北　 学习目标 1.会用三角函数解决一些简单的实际问题． 2．体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型． 知识点一　已知三角函数模型解决实际问题 [例1] 单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(单位：cm)和时间t(单位：s)的函数关系式为s＝6sin (2πt＋). (1)当单摆开始摆动(t＝0)时，离开平衡位置的距离是多少？ (2)当单摆摆动到最右边时，离开平衡位置的距离是多少？ (3)单摆来回摆动一次需多长时间？ (1)由s＝6sin (2πt＋)，得t＝0时，s＝6sin ＝3(cm)， 所以单摆开始摆动时，离开平衡位置的距离是3 cm. (2)由关系式知，振幅为6，所以单摆摆动到最右边时，离开平衡位置的距离是6 cm. (3)最小正周期T＝＝1，即单摆来回摆动一次需1 s． 已知模型解决实际问题的关注点 由于物理学中的单摆、光学、机械波、电学等知识都具有周期性，且均符合三角函数模型，因此明确三角函数中的每个量对应的物理中的量是解答此类问题的关键． [练1] (多选)血压是指血液在血管内流动时作用单位面积血管壁的侧压力，它是推动血液在血管内流动的动力．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压．在未使用抗高血压药的前提下，18岁以上成人收缩压≥140 mmHg或舒张压≥90 mmHg，则说明这位成人有高血压．设从未使用过抗高血压药的小王今年26岁，从某天早晨6点开始计算(即早晨6点起，t＝0)，他的血压p(t)(单位：mmHg)与经过的时间t(单位：h)满足关系式p(t)＝116＋22sin (t＋)，则(　　) A．血压p(t)的最小正周期为6 B．当天下午3点小王的血压为105 C．当天小王有高血压 D．当天小王的收缩压与舒张压之差为44 对于A选项，血压p(t)的最小正周期为＝12，A错误； 对于B选项，下午3点时，即t＝9，可得p(9)＝116＋22sin (＋)＝116－22cos ＝105，B正确； 对于C选项，因为p(t)max＝116＋22＝138<140，p(t)min＝116－22＝94>90，所以，当天小王有高血压，C正确； 对于D选项，当天小王的收缩压与舒张压之差为p(t)max－p(t)min＝138－94＝44，D正确． 知识点二　已知三角函数模型求解析式 [例2] 建设生态文明是关系人民福祉、关乎民族未来的长远大计．某市通宵营业的大型商场，为响应国家节能减排的号召，在气温低于0 ℃时，才开放中央空调，否则关闭中央空调．如图是该市冬季某一天的气温(单位：℃)随时间t(0≤t≤24，单位：h)的变化大致曲线，若该曲线近似满足关系式f(t)＝A sin (ωt－)＋b(A>0，ω>0). (1)求y＝f(t)的表达式； (2)请根据(1)的结论，求该商场的中央空调在一天内开启的时长． (1)因为f(t)＝A sin (ωt－)＋b(A>0，ω>0)图象上最低点坐标为(3，－4)，与之相邻的最高点坐标为(15，12)， 所以A＝＝8，＝15－3＝12，b＝－4＋A＝－4＋8＝4， 所以T＝＝24，又ω>0，所以ω＝， 所以f(t)＝8sin (t－)＋4(0≤t≤24). (2)根据题设，由(1)得8sin (t－)＋4≤0，即sin (t－)≤－， 由y＝sin x的图象得＋2kπ≤t－≤＋2kπ，k∈Z， 解得23＋24k≤t≤31＋24k，k∈Z， 又因为0≤t≤24， 当k＝－1时，0≤t≤7，当k＝0时，23≤t≤24， 所以该商场的中央空调在一天内开启的时长为8 h． 已知模型求解析式的方法 此类问题主要是根据图象特征或函数性质确定模型中的系数，一般来说利用最值求A，利用周期求ω，利用特殊点求φ. [练2] 如图，弹簧挂着的小球做上下振动，它在t(单位：s)时相对于平衡位置(静止时的位置)的高度h(单位：cm)由关系式h＝A sin (ωt＋)确定，其中A>0，ω>0，t∈[0，＋∞).在振动中，小球两次到达最高点的最短时间间隔为1 s.且最高点与最低点间的距离为10 cm. (1)求小球相对平衡位置的高度h和时间t之间的函数关系式； (2)若小球在t0 s内经过最高点的次数恰为25，求t0的取值范围． (1)因为小球振动过程中最高点与最低点间的距离为10 cm，所以A＝＝5， 因为在振动中，小球两次到达最高点的最短时间间隔为1 s，所以周期为1， 即T＝1＝，所以ω＝2π.所以h＝5sin (2πt＋)，t≥0. (2)由题意，当t＝时，小球第一次到达最高点， 以后每经过一个周期都出现一次最高点， 因为小球在t0 s内经过最高点的次数恰为25，所以＋24T≤t0<＋25T， 因为T＝1，所以≤t0<，所以t0的取值范围为[，). 知识点三　建立三角函数模型解决实际问题 [例3] 如图，一个大风车旋转的半径为4 m，8 min 匀速旋转一周，它的最低点P0离地面2 m，它的右侧有 一点P1且距离地面4 m．风车翼片的一个端点P从P1开 始计时，按逆时针方向旋转． (1)试写出点P距离地面的高度h(m)关于时刻t(min)的函数关系式h(t)； (2)在点P旋转一周的时间内，有多长时间点P距离地面不小于8 m? (1)以旋转中心O为坐标原点，过点O且平行于地面的直线为x轴，过点O且垂直于地面的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系xOy. 以x轴非负半轴为始边，OP1为终边的角为－； 点P在时刻t所转过的圆心角为t＝t， 那么以x轴非负半轴为始边，OP为终边的角为t－， 则点P的纵坐标为4sin (t－)，所以h(t)＝4sin (t－)＋6，t≥0. (2)令h(t)＝4sin (t－)＋6≥8， 即sin (t－)≥，所以＋2kπ≤t－≤＋2kπ，k∈Z， 解得＋8k≤t≤4＋8k，k∈Z， 所以在点P旋转一周的时间内，P距离地面不小于8 m的持续时间为(4＋8k)－(＋8k)＝(min). 三角函数模型主要有以下两种类型 (1)利用图形结合三角函数定义确定三角函数模型，设出解析式，确定参数，解决问题． (2)由表格数据画出散点图，利用散点图特征确定三角函数模型，设出解析式，确定参数，解决问题． [练3] “八月十八潮，壮观天下无．”该诗展现了湖水涨落的壮阔画面，某中学数学兴趣小组进行潮水涨落与时间的关系的数学建模活动，通过实地考察某港口水深y(单位：米)与时间t(0≤t≤24，单位：h)的关系，经过多次测量筛选，最后得到下表数据： t/时 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/米 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.1 该小组成员通过查阅资料、咨询老师等工作，结合现有知识储备，再依据上述数据描成曲线，经拟合，该曲线可近似地看成函数图象． (1)试根据数据表和曲线，求出近似函数的表达式； (2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于3.5米是安全的，如果某船舶公司的船的吃水度(船底与水面的距离)为8米，请你运用上面兴趣小组所得数据，结合所学知识，给该船舶公司提供安全进此港时间段的建议． (1)画出散点图，连线如图所示． 设y＝A sin ωt＋b(A>0)，根据最大值为13，最小值为7，可列方程组为⇒ 再由T＝＝12，得ω＝， 故y＝3sin t＋10(0≤t≤24). (2)由题意得3sin t＋10－8≥3.5⇒sin t≥. ∵0≤t≤24，∴0≤t≤4π， ∴≤t≤或＋2π≤t≤＋2π， 解得1≤t≤5，或13≤t≤17，∴在1：00至5：00和13：00至17：00进港是安全的． ◎随堂演练 1．如图为一半径为3 m的水轮，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮自点A开始1 min旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y＝A sin (ωx＋φ)＋2，则有(　　) A．ω＝，A＝3 B．ω＝，A＝3 C．ω＝，A＝5 D．ω＝，A＝5 由题目可知最大值为5，∴5＝A×1＋2⇒A＝3. T＝＝15，则ω＝＝.故选A. 2．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针绕点O匀速旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合，当t∈[0，60](单位：s)，A，B两点间的距离为d(单位：cm)，则d＝(　　) A．5sin B．10sin C．5sin D．10sin 由题知，圆心角为，过O作AB的垂线(图略)，则d＝2×5×sin ＝10sin . 3．电流I(A)随时间t(s)变化的函数I＝A sin (ωt＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的图象如图所示，则t＝ s时的电流为________． 答案：0 A　 由函数的图象可得A＝100，且×＝＝，故ω＝100π， 而I()＝100，故＋φ＝＋2kπ，k∈Z， 解得φ＝＋2kπ，k∈Z，因为|φ|<，所以φ＝， 故I(t)＝100sin (100πt＋)， 故I()＝100sin (100π×＋)＝0(A). 4．如图，弹簧挂着的小球做上下振动，它在t秒时相对于平衡位置(即静止时的位置)的高度h(厘米)满足下列关系：h＝2sin (t＋)，t∈[0，＋∞)，则每秒钟小球能振动________次． 答案：　 函数h＝2sin (t＋)，t∈[0，＋∞)的最小正周期T＝2π，故频率为. 所以每秒钟小球能振动次． $$