课时梯级训练(3) 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（北师大版2019）

课时梯级训练(3)　单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义 1．(2024·广东佛山高一期中)若角θ的终边经过点(－2，3)，则sin θ＝(　　) A．－ B．－ C． D． D　解析：因为角θ的终边经过点(－2，3)，所以sin θ＝＝. 2．已知sin α＝，cos α＝－，则角α的终边所在的象限是(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 B　解析：因为sin α＝>0，cos α＝－<0，所以角α的终边所在的象限是第二象限．故选B. 3．(2023·安徽芜湖高一期中)已知角α的终边过点P(3，m)，且sin α＝－，则m的值为(　　) A．－3 B．3 C．－4 D．4 C　解析：因为角α的终边过点P(3，m)，且sin α＝－，所以m<0，且sin α＝＝－，解得m＝－4. 4．(2024·江苏南京师大附中高一期末)已知角α的终边过点P(3a，－4a)，其中a>0，则sin α＋cos α的值为(　　) A． B． C．－ D．－ C　解析：因为角α的终边过点P(3a，－4a)，其中a>0，则点P到原点的距离r＝＝5a，所以sin α＋cos α＝＋＝－. 5．(多选)已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(m，1－m)，若m>0，则下列各式一定为正值的是(　　) A.sin α B．cos α C．sin α－cos α D．sin α＋cos α BD　解析：当m＝2时，sin α<0，所以选项A错误； 由角α的终边过点P(m，1－m)，m>0，得cos α＝>0，所以选项B正确； 当m＝时，sin α＝cos α，sin α－cos α＝0，所以选项C错误； 又tan α＝＝－1>－1，即>－1，所以sin α>－cos α，即sin α＋cos α>0，所以选项D正确． 6．已知角α终边上一点P(x，y)，我们知道sin α＝，小明在计算时错把加号写成了减号，得到sin α＝，则正确的sin α＝________． 答案：　解析：依题意，得＝，则＝且y>0， 则x2＝3y2，所以sin α＝＝＝＝. 7．若sin α>0，sin αcos α<0，则α是第________象限角． 答案：二　解析：由sin α>0，sin αcos α<0，可得cos α<0， 由三角函数的符号规律可知， 由sin α>0，可得α为第一、二象限角或终边在y轴正半轴上的角， 由cos α<0，可得α为第二、三象限角或终边在x轴负半轴上的角， 取公共部分可得α为第二象限角． 8．利用三角函数的定义求的正弦值、余弦值． 解：因为的终边为第三象限的角平分线， 所以在的终边上任取一点P(－1，－1)，则r＝|OP|＝＝， 所以sin ＝＝＝－，cos ＝＝＝－. 9．角θ的终边落在直线y＝2x上，求sin θ，cos θ的值． 解：若θ的终边在第一象限内， 设点P(a，2a)，a>0是其终边上任意一点， 因为r＝|OP|＝＝a，所以sin θ＝＝＝，cos θ＝＝＝. 若θ的终边在第三象限内，设点P(a，2a)，a<0是其终边上任意一点， 因为r＝|OP|＝＝－a， 所以sin θ＝＝＝－，cos θ＝＝＝－. 综上，当θ的终边在第一象限内时，sin θ＝，cos θ＝； 当θ的终边在第三象限内时，sin θ＝－，cos θ＝－. 10．当x为第四象限角时，则－＝(　　) A．1 B．0 C．2 D．－2 D　解析：当x为第四象限角时，sin x<0，cos x>0. 则－＝－1－1＝－2. 11．点P从(0，－1)出发，沿着单位圆的边界顺时针运动弧长到达点Q，则点Q的坐标为(　　) A．(，) B．(，) C．(－，) D．(－，) D　解析：如图，以x轴的非负半轴为始边，以点Q所在的射线OQ为终边的最小正角为， 由任意角的三角函数的定义可得，Q的坐标为(cos ，sin )，即(－，).故选D. 12．若角α的终边与直线y＝3x重合且sin α<0，点P(m，n)是α终边上一点，且|OP|＝，则m－n＝________． 答案：2　解析：∵y＝3x且sin α<0，∴点P(m，n)位于y＝3x在第三象限的图象上， 且m<0，n<0，n＝3m， ∴|OP|＝＝|m|＝－m＝，∴m＝－1，n＝－3，∴m－n＝2. 13．若300°角的终边所在直线上一点为(－4，a)，则a的值为________． 答案：4　解析：∵－4<0，∴点(－4，a)在120°角的终边上，sin 120°＝(a>0)，得a＝4. 14．已知角α的顶点与坐标原点O重合，始边落在x轴的非负半轴上，终边经过点A(4，y0)，其中y0≠0. (1)若cos α＝，求y0的值； (2)若y0＝－4，求的值． 解：(1)由题意知，|OA|＝，因为cos α＝，所以＝， 解得y0＝±2. (2)当y0＝－4时，sin α＝－，cos α＝，所以＝＝. 15．已知＝－，且lg (cos α)有意义． (1)试判断角α的终边所在的象限； (2)若角α的终边与单位圆相交于点M(，m)，求m的值及sin α的值． 解：(1)∵＝－，∴sin α<0.① ∵lg (cos α)有意义，∴cos α>0.② 由①②得，角α的终边在第四象限． (2)∵点M(，m)在单位圆上，∴()2＋m2＝1，解得m＝±. 又α是第四象限角，∴m<0，∴m＝－. 由三角函数定义知，sin α＝－. 学科网（北京）股份有限公司 $$