1.7 正切函数 （课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（北师大版2019）

三角函数 §7　正切函数 第一章 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 奇 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 必修 第二册 北　 A 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 BD 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 谢谢观看 返回导航 数学 必修 第二册 北　 学习目标 1.理解任意角的正切函数的定义． 2．能画出y＝tan x(x∈R，x≠＋kπ，k∈Z)的图象． 3．理解正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性，及其在区间(－，)内的单调性． 4．正切函数诱导公式的推导及应用． 知识点一　正切函数的定义 设角α的终边与单位圆交于点P(a，b)，那么何时有意义？正切函数与正弦、余弦函数有怎样的关系？ 根据函数定义，比值是x的函数，称为x的正切函数，记作y＝tan x，其中定义域为{x∈R|x≠＋kπ，k∈Z}． (2)角的终边与单位圆交点的纵坐标与横坐标的比，即为角的正切值． (1)特殊角的正切值： α 0 tan α 0 1 － －1 － [例1] (1)在平面直角坐标系中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则tan α＝________． (2)已知角α的终边经过点P(－3，y)，且tan α＝，则cos α＝________． 答案：(1)或－　(2)－　 (1)由题意，设点A的坐标为(x，)，所以x2＋()2＝1，解得x＝或x＝－. 当x＝时，角α为第一象限角，tan α＝＝； 当x＝－时，角α为第二象限角，tan α＝＝－. (2)由tan α＝＝⇒y＝－4，故cos α＝＝－. 正切函数值的常用求解方法 (1)利用正切函数的定义tan α＝，其中α≠kπ＋，k∈Z求解． (2)若已知角α终边上一点的坐标为(x，y)，则tan α＝(x≠0). 注意：若给出的点的坐标含有参数，要对角α的终边的位置进行讨论． [练1] (1)已知角α的终边在直线y＝－x上，且cos α<0，则tan α＝________． (2)若点P在角的终边上，且P的坐标为(1，y)，则y＝________． 答案：(1)－1　(2)　 (1)由题意可知，角α的终边在第二象限，在其终边上任意一点P(x，－x)(x<0)，由三角函数的定义可知tan α＝＝－1. (2)由三角函数的定义，得tan ＝＝，所以y＝. 知识点二　正切函数的诱导公式 根据正切函数的定义，以及正弦函数、余弦函数相应的诱导公式，当－<x<，推导角x与角π＋x，＋x的正切值有什么关系？ 正切函数的诱导公式 角 正切 kπ＋x tan x －x －tan x π＋x tan x π－x －tan x 角 正切 ＋x － －x (1)前4个公式成立的条件是α≠kπ＋(k∈Z)，最后两个公式成立的条件是α≠(k∈Z). (2)由tan (－α)＝－tan α，tan (α＋π)＝tan α知正切函数是奇函数且是周期函数，最小正周期为π. (3)诱导公式的记忆方法：函数名不变，符号看象限(把α看作锐角时原函数值的符号). [例2] 求下列各式的值： (1)7cos 270°＋3sin 270°＋tan 765°； (2). (1)原式＝7cos (180°＋90°)＋3sin (180°＋90°)＋tan (2×360°＋45°) ＝－7cos 90°－3sin 90°＋tan 45°＝0－3×1＋1＝－2. (2)原式＝ ＝＝＝2＋. 使用正切诱导公式的关注点 (1)正确使用诱导公式把任意角的正切函数值化为锐角的正切函数值求解．一般步骤为“负化正，大化小”． (2)首先弄清条件中已知角和目标式中角的关系，一般为其和或差是的整数倍，然后用整体思想，借助诱导公式求解．注意符号和名称的变化． [练2] (1)已知tan (α－π)＝，且α∈(，)，则tan (α＋)＝(　　) A． B．－ C． D．－ (2)tan ＋tan ＋tan ＋tan 的值为________． 答案：(1)B　(2)0　 (1)由tan (α－π)＝，得tan α＝，∴tan (α＋)＝－＝－. (2)原式＝tan ＋tan ＋tan (π－)＋tan (π－)＝tan ＋tan －tan －tan ＝0. 知识点三　正切函数的图象和性质 我们在前面学习了正弦函数、余弦函数的图象和性质，都是利用图象来研究函数的性质，类比这种方法，你能画出正切函数y＝tan x的图象并研究其性质吗？ 1．正切函数的图象称作正切曲线． 2．正切函数的图象和性质 函数 y＝tan x 图象 定义域 {x∈R|x≠kπ＋，k∈Z} 值域 R 周期性 最小正周期是π 奇偶性 __函数 对称中心 (，0)，k∈Z 单调性 在开区间(－＋kπ，＋kπ)，k∈Z上单调递增 (1)图象在x轴上方的部分下凹；在x轴下方的部分上凸． (2)图象被相互平行的直线x＝＋kπ，k∈Z隔开，图象无限接近这些直线，但永不相交． (3)正切函数不是轴对称图形，没有对称轴． (－＋，＋)(k∈Z) [例3] (1)下列各式中正确的是(　　) A．tan 1>－tan 2 B．tan 735°>tan 800° C．tan >tan D．tan >tan (2)函数y＝tan (－3x＋)的单调递减区间为_________________________． C (1)对于A中，由0<1<，且<2<，由正切函数y＝tan x的性质， 可得0<tan 1<tan ＝，tan 2<0且tan 2<tan ＝－， 所以－tan 2>，所以tan 1<－tan 2，所以A错误； 对于B中，由tan 735°＝tan (2×360°＋15°)＝tan 15°，tan 800°＝tan (2×360°＋80°)＝tan 80°， 由正切函数y＝tan x的单调性可得tan 15°<tan 80°，即tan 735°<tan 800°，所以B错误； 对于C中，由正切函数y＝tan x在(，π)上为单调递增函数， 因为<，所以tan >tan ，所以C正确； 对于D中，由tan ＝tan (π＋)＝tan ，由正切函数的单调性，可得tan <tan ， 即tan <tan ，所以D错误． (2)y＝tan (－3x＋)＝－tan (3x－). 令－＋kπ<3x－<＋kπ(k∈Z)，解得－＋<x<＋(k∈Z)， 故函数y＝tan (－3x＋)的单调递减区间为(－＋，＋)(k∈Z). (1)运用正切函数的单调性比较大小的方法 ①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． ②运用单调性比较大小关系． (2)求函数y＝tan (ωx＋φ)的单调区间的方法 y＝tan (ωx＋φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx＋φ看成一个整体，解－＋kπ<ωx＋φ<＋kπ，k∈Z即可．当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间． [练3] (1)下列三角函数值最大的是(　　) A．sin 21° B．cos 21° C．tan 21° D．tan 69° (2)已知0≤x≤π，且|tan x|≥1，则x的取值范围是(　　) A．[0，]∪[，π] B．[，)∪(，] C．[0，]∪(，] D．[，)∪[，π] D B (1)∵tan 69°>tan 60°＝，tan 21°<tan 30°＝，sin 21°<1，cos 21°<1， ∴三角函数值最大的是tan 69°. (2)|tan x|≥1等价于tan x≥1或tan x≤－1，如图所示． 由正切函数图象知x∈[，)∪(，].故选B. [例4] 已知函数y＝tan (x－). (1)作出此函数在一个周期的开区间内的简图； (2)求出此函数的定义域、最小正周期和单调区间； (3)写出此函数图象的渐近线方程和所有对称中心的坐标． (1)函数y＝tan (x－)在一个周期的开区间(－，)内，列表如下： x－ － － 0 x － － π y 不存在 － 0 不存在 函数y＝tan (x－)在一个周期的开区间(－，)内的图象，如图． (2)由x－≠kπ＋，k∈Z，得x≠2kπ＋，k∈Z， 所以函数的定义域为{x|x≠2kπ＋，k∈Z}，函数的最小正周期T＝＝2π， 由kπ－<x－<kπ＋，k∈Z，得2kπ－<x<2kπ＋，k∈Z， 所以函数的单调递增区间为(2kπ－，2kπ＋)(k∈Z)，无单调递减区间． (3)由x－＝kπ＋，k∈Z，得x＝2kπ＋，k∈Z， 所以函数图象的渐近线方程为x＝2kπ＋，k∈Z. 由x－＝，k∈Z，得x＝kπ＋，k∈Z， 所以所有对称中心的坐标为(kπ＋，0)(k∈Z). 解答正切函数图象与性质问题的注意点 (1)对称性：正切函数图象的对称中心是(，0)(k∈Z)，不存在对称轴． (2)单调性：正切函数在每一个区间(－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)上都单调递增，但不能说其在定义域内单调递增． [练4] 已知函数f(x)＝3tan (x－). (1)求f(x)的定义域、值域； (2)探究f(x)的最小正周期、奇偶性、单调性及其图象的对称性． (1)函数f(x)＝3tan (x－)，令x－≠＋kπ，k∈Z，解得x≠＋2kπ，k∈Z， 所以f(x)的定义域为{x|x≠＋2kπ，k∈Z}，值域为R. (2)依题意，函数f(x)为周期函数，其最小正周期T＝＝2π； 由(1)知，函数f(x)的定义域为M＝{x|x≠＋2kπ，k∈Z}，显然－∉M，而∈M， 即函数f(x)的定义域关于原点不对称，则f(x)既不是奇函数也不是偶函数； 由－＋kπ<x－<＋kπ，k∈Z，得－＋2kπ<x<＋2kπ，k∈Z， 所以函数f(x)的单调递增区间为(2kπ－，2kπ＋)，k∈Z，无单调递减区间． 由x－＝，k∈Z，得x＝kπ＋，k∈Z， 所以函数f(x)的图象的对称中心是(kπ＋，0)(k∈Z)，无对称轴． ◎随堂演练 1．函数f(x)＝tan (x＋)的单调区间是(　　) A．(－＋2k，＋2k)(k∈Z) B．[－＋2k，＋2k](k∈Z) C.(－＋4k，＋4k)(k∈Z) D．[－＋4k，＋4k](k∈Z) 由－＋kπ<x＋<＋kπ，k∈Z，解得－＋2k<x<＋2k，k∈Z， 所以函数f(x)＝tan (x＋)的单调区间是(－＋2k，＋2k)(k∈Z). 2．(多选)(2024·山西太原高一期末)已知f(x)＝3tan 2x，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)的最小正周期T＝π B．f(x)的定义域为{x|x≠＋，k∈Z} C．f(x)的值域为[－1，1] D．f(x)是奇函数 对于A，由f(x)＝3tan 2x，故f(x)的最小正周期T＝，故A错误； 对于B，由题意得2x≠＋kπ(k∈Z)，即x≠＋(k∈Z)， 故f(x)的定义域为{x|x≠＋，k∈Z}，故B正确； 对于C，由y＝tan x∈R，故f(x)的值域为R，故C错误； 对于D，f(x)的定义域为{x|x≠＋，k∈Z}， f(－x)＝3tan [2×(－x)]＝－3tan 2x＝－f(x)， 故f(x)是奇函数，故D正确． 3．已知角α的终边经过点P(x，－6)，且tan α＝－，则x的值为________． 答案：8　 ∵角α的终边经过点P(x，－6)，∴tan α＝＝－，∴x＝8. 4．化简：＝________． 答案：－tan α　 ＝＝＝－tan α. $$