课时梯级训练(2) 弧度制（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（北师大版2019）

课时梯级训练(2)　弧度制 1．时针经过四个小时，转过了(　　) A． rad B．－ rad C． rad D．－ rad B　解析：时针顺时针旋转，转过一圈(12小时)的角度为－2π rad， 则时针经过四个小时，转过了·(－2π) rad＝－ rad. 2．若α＝－7，则角α是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 D　解析：∵2π＜7＜，∴－＜－7＜－2π，则角α是第四象限角．故选D. 3．(2024·内蒙古高一联考)若角α与－的终边相同，则α可能是(　　) A． B．－ C． D．－ D　解析：由已知得α＝－＋2kπ，k∈Z， 观察选项可得只有－＝－－4π，所以α可能是－. 4．若角α和β的终边关于y轴对称，则有(　　) A．α＝－β B．α＝(2k＋)π－β(k∈Z) C．α＝2π－β D．α＝(2k＋1)π－β(k∈Z) D　解析：由题意，角α和β的终边关于y轴对称，可得α＋β＝π＋2kπ(k∈Z)， 即α＝(2k＋1)π－β(k∈Z). 5．(多选)(2024·青海海北高一统考期末)某市政府欲在一个扇形区域OAB建造市民公园，已知该扇形区域的面积为160 000平方米，圆心角为2，则(　　) A．该扇形的半径为400米 B．该扇形的半径为800米 C．该扇形的周长为1 600米 D．该扇形的弧长为800米 ACD　解析：设该扇形的半径为r米，弧长为l米， 根据题意，可得解得 所以该扇形的周长为2r＋l＝800＋800＝1 600(米). 6．(2024·河南平顶山高一月考)写出一个与－1 130°终边相同的正角：α＝________．(用弧度数表示) 答案：(α＝＋2kπ，k∈N，写出一个即可) 解析：因为－1 130°＋360°×4＝310°＝， 所以与－1 130°终边相同的正角为＋2kπ，k∈N，写出一个即可． 7．(2024·重庆高一联考)如图1，折扇是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，其展开的平面图如图2的扇形AOB，其中∠AOB＝120°，AC＝2OC＝6，则扇面(曲边四边形ABDC)的面积是________． 答案：24π　解析：120°＝，由题意可得，扇形AOB的面积是S1＝××92＝27π，扇形COD的面积是S2＝××32＝3π，故扇面(曲边四边形ABDC)的面积是S＝S1－S2＝27π－3π＝24π. 8．将下列角度与弧度进行互化． (1)20°；(2)－800°；(3)－. 解：(1)20°＝20×＝. (2)－800°＝－800×＝－π. (3)－＝－×＝－144°. 9.和－分别是第几象限角？分别写出与它们终边相同的角的集合． 解：∵＝2π＋，是第三象限角， ∴是第三象限角，与终边相同的角的集合是{α|α＝＋2kπ，k∈Z}． ∵－＝－6π＋，是第四象限角， ∴－是第四象限角，与－终边相同的角的集合是{α|α＝＋2kπ，k∈Z}． 10．集合M＝{x|x＝＋，k∈Z}，N＝{x|x＝kπ±，k∈Z}，则有(　　) A．M＝N B．NM C．MN D．M∩N＝∅ A　解析：M＝{x|x＝＋，k∈Z}＝{x|x＝，k∈Z}， N＝{x|x＝kπ±，k∈Z}＝{x|x＝，k∈Z}， 而2k＋1(k∈Z)表示所有奇数，4k±1(k∈Z)也表示所有奇数， 所以M＝N. 11．已知角α的终边在下图阴影部分所表示的范围内(不含边界)，则角α的范围为____________． 答案：(kπ＋，kπ＋)(k∈Z)　解析：由题图可知，终边落在阴影部分的角的集合为{α|＋2kπ<α<＋2kπ，k∈Z}∪{α|＋2kπ<α<＋2kπ，k∈Z} ＝{α|＋2kπ<α<＋2kπ，k∈Z}∪{α|＋(2k＋1)π<α<＋(2k＋1)π，k∈Z} ＝{α|＋kπ<α<＋kπ，k∈Z}． 12．(2024·甘肃定西高一统考期末)古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的扇面多为扇环形．已知某纸扇的扇面如图所示，其中外弧长与内弧长分别为67 cm，22 cm，连接外弧与内弧的两端的线段长均为18 cm，则该扇环的圆心角的弧度数为________． 答案：　 解析：依题意可得的长为67 cm，的长为22 cm，设扇环的圆心角的弧度数为α，如图， 则＝|α|·OA，＝|α|·OC，则＝，即OA＝OC. 因为AC＝18 cm，所以OA－OC＝OC－OC＝OC＝18 cm，则OC＝ cm， 所以该扇环的圆心角的弧度数α＝＝22×＝. 13．已知一扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R. (1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l及扇形的面积S； (2)若扇形的周长是12 cm，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？并且最大面积是多少？ 解：(1)因为α＝60°＝，R＝10 cm，所以扇形的弧长l＝×10＝(cm)， 扇形的面积S＝lR＝××10＝ cm2. (2)设扇形的弧长为l1 cm，因此l1＝αR，因为扇形的周长是12 cm，所以2R＋αR＝12， 设扇形的面积为S1 cm2，则S1＝l1R＝αR·R＝(12－2R)R＝－(R－3)2＋9， 当R＝3时，扇形的面积有最大值9 cm2，此时有2×3＋3α＝12，解得α＝2， 所以当α＝2时，扇形的面积最大值是9 cm2. 14．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表．其中“方田”章给出计算弧田面积所用的经验公式为弧田面积＝(弦×矢＋矢2).弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差． 按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差．现有圆心角为，弦长为9米的弧田． (1)计算弧田的实际面积； (2)按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得结果与(1)中计算的弧田实际面积相差多少平方米？(结果保留两位小数，参考数据：π≈3.14，≈1.732) 解：(1)由题意得，扇形半径r＝3， 扇形面积为|α|r2＝××(3)2＝9π(平方米)， 弧田面积为|α|r2－×9×＝9π－(平方米). (2)由(1)得因为圆心到弦的距离等于，所以矢长为. 按照上述弧田面积经验公式计算得(弦×矢＋矢2)＝(9×＋)＝＋)(平方米). 9π－－－≈1.50(平方米)， 按照弧田面积经验公式计算结果比实际面积大约少1.50平方米． 学科网（北京）股份有限公司 $$