1.6 函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质与图象（2）（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（北师大版2019）

三角函数 §6　函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质与图象(二) 第一章 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 [－A，A] 返回导航 数学 必修 第二册 北　 奇 偶 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 BC 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 D 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 谢谢观看 返回导航 数学 必修 第二册 北　 学习目标 1.会用“五点(画图)法”画函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象． 2．能根据y＝A sin (ωx＋φ)的部分图象，确定其解析式． 3．了解y＝A sin (ωx＋φ)的图象的物理意义，能指出简谐运动中的振幅、周期、相位、初相． 知识点一　“五点(画图)法”作函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象 在前面我们学习过用“五点(画图)法”作出函数y＝sin x的图象，如果我们把函数y＝A sin (ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看作一个整体，你能利用“五点(画图)法”作出函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象吗？ 第二步：在同一坐标系中描出各点． 第三步：用光滑曲线顺次连接这些点，形成图象． 用“五点(画图)法”作y＝A sin (ωx＋φ)的图象的步骤 第一步：列表： ωx＋φ 0 π 2π x － － － － － y 0 A 0 －A 0 [例1] (2024·云南昆明高一期末)用“五点(画图)法”作出y＝1＋2sin (2x－)在x∈[0，π]的图象． 列表如下： x 0 π 2x－ － 0 π y 1－ 1 3 1 －1 1－ 对应的图象如图： “五点(画图)法”作图的一般方法 (1)用“五点(画图)法”作图时，五点的确定，应先令ωx＋φ分别为0，，π，，2π，解出x，从而确定这五点． (2)作给定区间上y＝A sin (ωx＋φ)的图象时，若x∈[m，n]，则应先求出ωx＋φ的相应范围，在求出的范围内确定关键点，再确定x，y的值，描点、连线并作出函数的图象． [练1] 画出函数y＝sin (3x－)的简图． 应用“五点(画图)法”，如下表， 3x－ 0 π 2π x y 0 0 － 0 描点画出一个周期的图象，然后根据周期性画出简图，如图， 知识点二　函数y＝A sin (ωx＋φ)， A>0，ω>0的性质及应用 在前面我们学习过函数y＝sin x的性质，如果我们把函数y＝A sin (ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看作一个整体，你能由函数y＝sin x的性质得到函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质吗？ 函数y＝A sin (ωx＋φ)，A>0，ω>0的性质 名称 性质 定义域 R 值域 ________ 周期性 T＝ 对称中心 (，0)(k∈Z) 对称轴 x＝＋(k∈Z) 奇偶性 当φ＝kπ(k∈Z)时是__函数； 当φ＝kπ＋(k∈Z)时是__函数 单调性 通过整体代换可求出其单调区间 名称 性质 对称轴 x＝＋(k∈Z) 奇偶性 当φ＝kπ(k∈Z)时是__函数； 当φ＝kπ＋(k∈Z)时是__函数 单调性 通过整体代换可求出其单调区间 在求函数y＝A sin (ωx＋φ)的基本性质时，应注意将ωx＋φ看作一个整体，即整体代换． [例2] (多选)(2024·新课标Ⅱ卷)对于函数f(x)＝sin 2x和g(x)＝sin (2x－)，下列说法中正确的有(　　) A．f(x)与g(x)有相同的零点 B．f(x)与g(x)有相同的最大值 C．f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D．f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 对于A选项，令f(x)＝0，则x＝，k∈Z，又g()≠0，故A错误； 对于B选项，f(x)与g(x)的最大值都为1，故B正确； 对于C选项，f(x)与g(x)的最小正周期都为π，故C正确； 对于D选项，f(x)图象的对称轴方程为2x＝＋kπ，k∈Z，即x＝＋，k∈Z，g(x)图象的对称轴方程为2x－＝＋kπ，k∈Z，即x＝＋，k∈Z，故f(x)与g(x)的图象的对称轴不相同，故D错误．故选BC. 探究y＝A sin (ωx＋φ)的性质 研究函数y＝A sin (ωx＋φ)的单调性、最值与值域、对称性等性质时，把ωx＋φ看作一个整体，借助正弦函数y＝sin x的性质，可得到函数y＝A sin (ωx＋φ)的有关性质，其中在研究该函数的单调性时，要关注ω的符号． [练2] (2024·汕头高一期末)已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0，0<φ<)的最小正周期为π. (1)求ω的值； (2)求当f(x)为偶函数时φ的值； (3)若f(x)的图象过点(，)，求f(x)的单调递增区间． (1)函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0，0<φ<)的最小正周期为π， 则＝π，解得ω＝2. (2)当f(x)＝sin (2x＋φ)为偶函数，则有φ＝＋kπ(k∈Z)， 又0<φ<，得φ＝. (3)因为f(x)＝sin (2x＋φ)的图象过点(，)，所以f()＝sin (2×＋φ)＝sin (＋φ)＝，因为0<φ<，<＋φ<π， 所以＋φ＝，得φ＝，f(x)＝sin (2x＋). 令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，解得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)， 所以f(x)的单调递增区间为[－＋kπ，＋kπ](k∈Z). 知识点三　函数y＝A sin (ωx＋φ)，A>0，ω>0中参数的物理意义 给出函数y＝A sin (ωx＋φ)的解析式，我们可以利用“五点(画图)法”作出其简图，如果已知函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象，如何求其解析式呢？ 1．函数y＝A sin (ωx＋φ)，A>0，ω>0中参数的物理意义 2．由图象求解析式y＝A sin (ωx＋φ)，A>0，ω>0的方法 (1)由函数图象上的最大值、最小值来确定A. (2)由函数图象与x轴的交点确定T，由T＝确定ω. (3)确定函数y＝A sin (ωx＋φ)的初相φ的值的两种方法 ①代入法：把图象上的一个最高点或最低点代入(此时A，ω已知)或代入图象与x轴的交点求解(此时要注意交点在增区间上还是在减区间上). ②五点对应法：确定φ值时，往往以寻找“五点(画图)法”中的第一个零点(－，0)作为突破口．“五点”的ωx＋φ的值具体如下： “第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0； “第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝； “第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π； “第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝； “第五点”为ωx＋φ＝2π. [例3] 如图是函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的图象，求A，ω，φ的值，并确定其函数解析式． 方法一(逐一定参法)　由图象知振幅A＝3，又T＝－(－)＝π，∴ω＝＝2. 由图象过点(－，0)可知，－×2＋φ＝2kπ，k∈Z， 又|φ|<，∴φ＝，∴y＝3sin (2x＋). 方法二(待定系数法)　由图象知A＝3，又图象过点(，0)和(，0)，根据“五点(画图)法”原理(以上两点可判定为“五点法”中的第三点和第五点)，有解得 ∴y＝3sin (2x＋). 方法三(图象变换法)　由T＝π，点(－，0)，A＝3可知， 图象是由y＝3sin 2x向左平移个单位长度而得到的，∴y＝3sin 2(x＋)，即y＝3sin (2x＋). 已知图象求y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的方法 方法一：如果从图象可确定振幅和周期，则可直接确定函数表达式y＝A sin (ωx＋φ)中的参数A和ω，再选取“第一个零点”(即“五点(画图)法”中的第一个)的数据代入“ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一个点是“第一零点”)求得φ. 方法二：通过若干特殊点代入函数解析式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式． 方法三：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝A sin ωx，根据图象平移规律可以确定相关的参数． [练3] (2024·福建莆田高一期末)已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为________． 答案：f(x)＝3sin (x＋)　 由图象知，A＝3，T＝(－)×2＝2π，∴ω＝1， ∴f(x)＝3sin (x＋φ)，把点(，3)代入，得sin (＋φ)＝1， ∵0<φ<，∴＋φ＝，∴φ＝，∴f(x)＝3sin (x＋). ◎随堂演练 1．函数f(x)＝－2sin (x＋)＋1的最大值和最小正周期分别是(　　) A．－1， B．3， C．－1，6π D．3，6π 因为sin (x＋)∈[－1，1]，所以－2sin (x＋)＋1∈[－1，3]， 故最大值为3，且最小正周期为＝6π. 2．用“五点法”画函数y＝2sin (ωx＋)(ω>0)在一个周期内的简图时，五个关键点是(－，0)，(，2)，(，0)，(，－2)，(，0)，则ω＝________． 答案：2　 由题意可知，函数y＝2sin (ωx＋)的最小正周期T＝－(－)＝π，∴ω＝＝2. 3．函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(其中ω>0，|φ|<)的图象如图所示，则φ＝________． 答案：　 由图可知，＝－，解得T＝π，又T＝，所以ω＝2. 将点(，0)代入函数解析式，得f()＝sin (＋φ)＝0，所以＋φ＝π＋2kπ，k∈Z， 解得φ＝＋2kπ，k∈Z，由|φ|<，得φ＝. $$