1.6 函数y＝A sin (ωx＋φ))的性质与图象（1）（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（北师大版2019）

三角函数 §6　函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质与图象(一) 第一章 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 BC 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 D 返回导航 数学 必修 第二册 北　 C 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 必修 第二册 北　 A 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 B 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 谢谢观看 返回导航 数学 必修 第二册 北　 学习目标 1.理解函数y＝A sin (ωx＋φ)中ω，φ，A对图象的影响． 2．掌握y＝sin x与y＝A sin (ωx＋φ)图象间的变换关系． 知识点一　ω(ω>0)对y＝sin ωx的图象的影响 观察y＝sin x与y＝sin 2x的函数图象，分别求出两个函数的最小正周期，你能得出ω(ω>0)对y＝sin ωx的图象有什么影响吗？ 1．ω(ω>0)对y＝sin ωx图象的影响 2．最小正周期T＝. ω主导横向伸缩变换，也叫周期变换． [例1] 将函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)而得到的函数解析式为________． 答案：y＝sin 4x 横向伸缩变换的特征 一般地，把函数y＝f(x)图象上各点的横坐标变化到原来的ω倍(纵坐标不变)后所得函数的解析式为y＝f(x). [练1] (1)把y＝sin x的图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)得到的解析式是________． (2)将函数y＝sin x图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍(纵坐标不变)而得到的函数解析式为________． 答案：(1)y＝sin 2x　(2)y＝sin x　 (1)所求的解析式为y＝sin [(4x)]＝sin 2x. (2)所求的解析式为y＝sin [(x)]＝sin x. 知识点二　φ对y＝sin (x＋φ)的图象的影响 观察y＝sin x与y＝sin (x－)的函数图象，探究由y＝sin x的图象通过怎样的变换可以得到y＝sin (x－)的图象？ 相位 φ对y＝sin (x＋φ)图象的影响 1. 2．y＝sin (ωx＋φ)中，称φ为____，ωx＋φ为____． 初相 左右平移变换的关注点 (1)平移变换应先观察函数名是否相同，若函数名不同，则先化为同名函数． (2)再观察x前的系数，当x前的系数不为1时，应提取系数确定平移的单位长度和方向，方向遵循左加右减． [例2] (多选)要得到函数y＝sin (2x＋)的图象，只需将函数y＝sin x图象上的所有点(　　) A．向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的(纵坐标不变) B．向左平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的(纵坐标不变) C．横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度 D．横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度 函数y＝sin x图象上的所有点向左平移个单位长度，得y＝sin (x＋)的图象， 再将横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得y＝sin (2x＋)的图象； 函数y＝sin x图象上的所有点横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得y＝sin 2x的图象， 再向左平移个单位长度，得y＝sin 2(x＋)，即y＝sin (2x＋)的图象． 再向左平移个单位长度，得y＝sin 2(x＋)，即y＝sin (2x＋)的图象． [变式探究] 将本例改为函数y＝sin (2x－)的图象可由y＝sin 2x的图象经过怎样变换得到？ y＝sin (2x－)＝sin 2(x－)，可由y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度得到． 由y＝sin x的图象得到y＝sin (ωx＋φ)(ω>0)的图象的两种方法 [练2] (1)要得到函数y＝sin (4x－)的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象(　　) A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 (2)把函数y＝sin x图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再把所得图象向右平移个单位长度，得到函数y＝f(x)的图象，则f(x)＝(　　) A．sin (－) B．sin (＋) C．sin (2x－) D．sin (2x－) (1)对于B，D，因为y＝sin (4x－)＝sin 4(x－)， 因此将函数y＝sin 4x的图象向右平移个单位长度， 即可得到函数y＝sin (4x－)的图象，故B错误，D正确； 对于A，y＝sin 4x的图象向左平移个单位长度，可得y＝sin 4(x ＋)＝sin (4x＋)的图象，故A错误； 对于C，y＝sin 4x的图象向左平移个单位长度，可得y＝sin 4(x＋)＝sin (4x＋)＝－sin (4x＋)，故C错误． (2)把函数y＝sin x图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，可得到函数y＝sin 2x的图象， 再把所得图象向右平移个单位长度，可得到y＝sin 2(x－)＝sin (2x－)的图象． 知识点三　A(A>0)对y＝A sin (ωx＋φ)的图象的影响 观察y＝sin (2x＋)与y＝2sin (2x＋)的函数图象，探究由y＝sin (2x＋)的图象通过怎样的变换可以得到y＝2sin (2x＋)的图象？ A(A>0)对y＝A sin (ωx＋φ)的图象的影响 (1)A影响函数y＝A sin (ωx＋φ)的最值． (2)纵向伸缩是正比例伸缩变换． [例3] 说明y＝－2sin (2x－)＋1的图象是由y＝sin x的图象经过怎样变换得到的． 方法一(先伸缩后平移) 由y＝sin x的图象各点的纵坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，且图象关于x轴作对称变换得到y＝－2sin x的图象，再将各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到y＝－2sin 2x的图象，再将图象向右平移个单位长度，得到y＝－2sin 2(x－)，即y＝－2sin (2x－)的图 象，最后将图象向上平移1个单位长度，得到y＝－2sin (2x－)＋1的图象． 方法二(先平移后伸缩) 由y＝sin x的图象各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，且图象关于x轴作对称变换得到y＝－2sin x的图象，再将图象向右平移个单位长度，得到y＝－2sin (x－)的图象，再将各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到y＝－2sin (2x－)的图象，最后将图象向 上平移1个单位长度，得到y＝－2sin (2x－)＋1的图象． 结合图象变换求解析式的方法 (1)已知变换途径及变换后的函数解析式，求变换前函数图象的解析式，宜采用逆变换的方法． (2)已知函数f(x)图象的伸缩变换情况，求变换前后图象的解析式．要明确伸缩的方向及量，然后确定出A或ω即可． [练3] 把函数y＝f(x)的图象上的各点向右平移个单位长度，再把横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把纵坐标缩短到原来的(横坐标不变)，所得图象的解析式是y＝2sin (x＋)，求f(x)的解析式． ◎随堂演练 1．要得到函数y＝sin (x＋1)的图象，只需要将函数y＝sin x的图象(　　) A．向左平移1个单位长度 B．向右平移1个单位长度 C．向上平移1个单位长度 D．向下平移1个单位长度 要得到函数y＝sin (x＋1)的图象，只需要将函数y＝sin x的图象向左平移1个单位长度． 2．将函数f(x)＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍得到y＝g(x)的图象，则g(x)＝(　　) A．－3cos 2x B．3cos 2x C．－3sin (2x＋) D．3sin (2x＋) 将函数f(x)＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，可得y＝sin 2(x＋)＝sin (2x＋)＝cos 2x的图象；再将图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍可得g(x)＝3cos 2x的图象． 3．将y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度之后，可得y＝sin 2x的图象，则f()＝________． 答案：0　 将y＝sin 2x的图象向下平移1个单位长度，得到y＝sin 2x－1的图象，再向右平移个单位长度，得到f(x)＝sin 2(x－)－1＝sin (2x－)－1＝－cos 2x－1的图象，故f()＝－cos π－1＝1－1＝0. 4．已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin (3x＋)，为了得到C1，首先将C2上各点横坐标变为原来的________倍(纵坐标不变)，再把得到的曲线向右平移φ个单位长度(0<φ<π)，则φ＝________． 答案：3　　 由于C1：y＝cos x＝sin (x＋)，把C2上各点的横坐标变为原来的3倍(纵坐标不变)得到y＝sin (x＋)，因为sin (x＋)＝sin (x＋＋)，所以此时再把得到的曲线向右平移个单位长度即可，所以φ＝. $$