1.5.1 第2课时 正弦函数的性质（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（北师大版2019）

三角函数 第2课时　正弦函数的性质 第一章 返回导航 数学 必修 第二册 北　 学习目标 1.借助图象理解正弦函数在[0，2π]上的性质． 2．会求简单函数的值域． 3．能利用单调性比较三角函数值的大小． 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 A 返回导航 数学 必修 第二册 北　 C 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 B 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 谢谢观看 返回导航 数学 必修 第二册 北　 知识点　正弦函数的性质 华罗庚先生说过：数缺形时少直观，形少数时难入微．我们上一节课已经学习了正弦曲线(如图)，由正弦曲线，你能否得到正弦函数的周期性、奇偶性、单调性等性质？ 函数 正弦函数y＝sin x，x∈R 图象 定义域 R 值域 [－1，1] 周期性 是周期函数，2π是它的最小正周期 奇偶性 奇函数，图象关于____对称 单调性 在区间[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上单调递增； 在区间[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上单调递减 最值 当x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； 当x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1 对称轴 x＝＋kπ，k∈Z 对称中心 (kπ，0)，k∈Z 奇偶性 奇函数，图象关于____对称 单调性 在区间[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上单调递增； 在区间[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上单调递减 原点 最值 当x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； 当x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1 对称轴 x＝＋kπ，k∈Z 对称中心 (kπ，0)，k∈Z (1)y＝sin x的图象夹在y＝±1之间． (2)正弦函数的对称中心是正弦曲线与x轴的交点，对称中心的横坐标即为函数的零点，对称轴方程为x＝kπ＋，k∈Z. 一　正弦函数的周期性和奇偶性 [例1] 判断下列函数的奇偶性，并求函数的最小正周期． (1)f(x)＝sin x(x∈R)； (2)f(x)＝|sin x|. (1)∵x∈R，∴定义域关于原点对称． ∵f(－x)＝sin (－x)＝－sin x＝－f(x)， ∴f(x)＝sin x是奇函数． ∵sin [(x＋4π)]＝sin (x＋2π)＝sin x， ∴f(x)＝sin x的最小正周期是4π. (2)作出f(x)＝|sin x|的图象，如图． 由图象易知f(x)＝|sin x|是偶函数，最小正周期为π. 正弦函数周期性、奇偶性的注意点 (1)求正弦函数的周期时要注意结合图象判断，不要盲目套用结论． (2)函数为奇函数时其定义域必须关于原点对称，否则不具有奇偶性．如y＝sin x，x∈[0，2π]是非奇非偶函数． [练1] (1)函数f(x)＝x＋sin x，x∈R(　　) A．是奇函数，但不是偶函数 B．是偶函数，但不是奇函数 C．既是奇函数，又是偶函数 D．既不是奇函数，又不是偶函数 (2)函数f(x)＝lg |sin x|是(　　) A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为2π的奇函数 C．最小正周期为π的偶函数 D．最小正周期为2π的偶函数 (1)f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(－x)＝－x－sin x＝－(x＋sin x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，但不是偶函数． (2)函数f(x)＝lg |sin x|的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，关于原点对称，且f(－x)＝lg |sin (－x)|＝lg |sin x|＝f(x)，故函数f(x)为偶函数. 由f(x＋π)＝lg |sin (x＋π)|＝lg |－sin x|＝lg |sin x|＝f(x)，得f(x)的最小正周期为π. 二　正弦函数的单调区间 [例2] (1)函数y＝1－sin x的单调递减区间是__________． (2)函数y＝log(sin x)的单调递增区间为________________． 答案：(1)[2kπ－，2kπ＋]，k∈Z　(2)(＋2kπ，π＋2kπ)，k∈Z　 (1)由题可知，求函数y＝1－sin x的单调递减区间即求函数y＝sin x的单调递增区间， 所以函数y＝1－sin x的单调递减区间为[2kπ－，2kπ＋]，k∈Z. (2)由sin x>0，得2kπ<x<2kπ＋π，k∈Z，令t＝sin x， 则y＝logt， 因为y＝logt在(0，＋∞)上为减函数，由复合函数的单调性的判断方法， 可知应求t＝sin x在2kπ<x<2kπ＋π，k∈Z上的单调递减区间， 所以y＝log(sin x)的单调递增区间为(2kπ＋，2kπ＋π)，k∈Z. 正弦型函数单调性的判断方法 (1)与正弦函数有关的函数的单调性，注意两点： ①先求出定义域． ②利用“同增异减”的结论． (2)对形如y＝a sin x＋b的函数．当a>0时，其单调性与y＝sin x的单调性相同；当a<0时，其单调性与y＝sin x的单调性相反． [练2] 函数y＝sin x，x∈[0，2π]的单调递减区间是________． 答案：[，]　 由正弦函数y＝sin x的图象可得当x∈[0，2π]时，y＝sin x的单调递减区间是[，]. 三　利用正弦函数的单调性比较大小 [例3] 判断下列每组中两个三角函数值的大小： (1)sin (－3)与sin (－2)； (2)sin (－)与sin (－)； (3)sin (－)与cos . (1)∵y＝sin x在[－，－]上是减函数，－<－3<－2<－，∴sin (－3)>sin (－2). (2)sin (－)＝sin (－2π＋)＝sin ，∵y＝sin x在[－，]上是增函数，且－<－<<， ∴sin (－)<sin ，即sin (－)>sin (－). (3)sin (－)＝sin (－6π＋)＝sin ＝sin (π＋)＝－sin ， cos ＝cos (2π＋)＝cos ＝cos (－)＝－sin ， ∵y＝sin x在[，]上是减函数，且<<<， ∴sin >sin ，∴－sin <－sin ， ∴sin (－)<cos . (1)应先将异名化同名(这节课需都化为正弦)，再将不是同一单调区间的角用诱导公式转化到正弦函数的同一单调区间，再利用单调性来比较大小． (2)当不能将各角转化到同一单调区间上时，可借助图象或函数值的符号进行比较． [练3] 不通过求值，比较下列各组数的大小： (1)sin (－)与sin ； (2)sin 194°与cos 160°. (1)sin (－)＝sin (－6π－)＝sin (－)， sin ＝sin (16π＋)＝sin ， 又函数y＝sin x在[－，]上单调递增， 所以sin (－)<sin ，即sin (－)<sin . (2)sin 194°＝sin (180°＋14°)＝－sin 14°，cos 160°＝cos (90°＋70°)＝－sin 70°， 又0°<14°<70°<90°，所以sin 14°<sin 70°，即－sin 14°>－sin 70°， 所以sin 194°>cos 160°. 四　正弦型函数求值域或最值 [例4] (1)若方程sin x＝4m＋1在x∈[0，2π]上有解，则实数m的取值范围是________． (2)函数y＝的值域为________． 答案：(1)[－，0]　(2)[－2，]　 (1)∵x∈[0，2π]时，y＝sin x∈[－1，1]， ∴sin x＝4m＋1∈[－1，1]，m∈[－，0]. (2)y＝＝＝3－. ∵－1≤sin x≤1，∴1≤sin x＋2≤3， ∴≤≤1，∴－2≤3－≤， 即－2≤y≤， ∴函数的值域为[－2，]. 求值域(最值)的常用方法 (1)换元法 先求定义域，并确定sin x的范围，然后用换元思想并结合换元后函数的性质求解． 形如①y＝a sin x＋b； ②y＝a sin2x＋b sinx＋c； ③y＝. (2)单调性法：直接判断出函数的单调性，进而求出值域． (3)基本不等式法． [练4] (1)y＝3sin x，x∈[－，]的值域为________. (2)函数y＝sin2x－4sinx的最小值是________． 答案：(1)[－，3]　(2)－3　 (1)因为x∈[－，]，所以sin (－)≤sin x≤sin ，即－≤sin x≤1， 所以－≤3sin x≤3，所以函数的值域为[－，3]. (2)令sin x＝t，当x∈R时，t∈[－1，1]， 则y＝t2－4t，t∈[－1，1]， 由二次函数知识，y＝t2－4t＝(t－2)2－4， ∴当t∈[－1，1]时，y＝t2－4t单调递减， ∴当t＝1时，y＝t2－4t取得最小值，最小值为ymin＝12－4×1＝－3， ∴当sin x＝1，即x＝＋2kπ，k∈Z时，函数y＝sin2x－4sinx的最小值是－3. ◎随堂演练 1．函数：①y＝x2sin x；②y＝sin x，x∈[0，2π]；③y＝sin x，x∈[－π，π]中，奇函数的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．0 根据奇函数定义，②中x∈[0，2π]违背了定义域要关于原点对称这一要求，所以排除②； 对于①，f(－x)＝(－x)2sin (－x)＝－x2sin x＝－f(x)，是奇函数； 对于③，f(－x)＝sin (－x)＝－sin x＝－f(x)，且定义域关于原点对称是奇函数． 2．函数y＝4sin x，x∈[0，2π]的单调递增区间是________________，单调递减区间是________． 答案：[0，]和[，2π]　[，]　 因为x∈[0，2π]，且函数y＝4sin x的单调递增区间为[－＋2kπ，＋2kπ]，k∈Z， 令k＝0，则单调递增区间为[0，]，令k＝1，则单调递增区间为[，2π]， 又函数y＝4sin x的单调递减区间为[＋2kπ，＋2kπ]，k∈Z， 令k＝0，则单调递减区间为[，]. 3．函数f(x)＝3sin x－2(x∈R)的最小值为________． 答案：－5　 因为sin x∈[－1，1]，所以f(x)＝3sin x－2∈[－5，1]，故最小值为－5. $$