1.4.4 诱导公式与旋转（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（北师大版2019）

三角函数 4.4　诱导公式与旋转 第一章 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 必修 第二册 北　 A 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 C 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 谢谢观看 返回导航 数学 必修 第二册 北　 学习目标 1.理解利用旋转推导±α与α－的正弦、余弦诱导公式的过程． 2．对诱导公式能作综合归纳，体会出七组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的推理意识和能力． 3．能够利用诱导公式解决简单的求值、化简与证明问题． 知识点一　利用诱导公式求值 设锐角α的终边与单位圆交于点P(u，v)，将终边绕点O沿逆(顺)时针方向旋转得到点P′(P″)，即α＋(α－)的终边与单位圆交于点P′(P″)，那么根据点P′(P″)的坐标，你能得到锐角α的正弦、余弦值与角α＋(α－)的正弦、余弦值有什么关系吗？ 正弦函数、余弦函数的诱导公式 角 正弦 余弦 α＋2kπ(k∈Z) sin α cos α －α －sin α cos α α＋π －sin α －cos α α－π －sin α －cos α 角 正弦 余弦 π－α sin α －cos α α＋ cos α －sin α －α cos α sin α 正弦函数、余弦函数诱导公式的记忆方法 (1)α＋2kπ(k∈Z)，－α，π－α，α±π的三角函数值，等于角α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名不变，符号看象限”． (2)±α的正弦、余弦函数值，函数名改变，把α看作锐角，符号看±α的函数值符号．简记为：“函数名改变，符号看象限”． 诱导公式可以统一概括为“k·±α(k∈Z)”．当k为偶数时，函数名不改变；当k为奇数时，函数名改变，然后前面加一个把α视为锐角时原函数值的符号．记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”． [例1] (1)已知点P(5，12)在角α的终边上，则cos (＋α)＝________． (2)(2024·广东清远高一期末)已知cos (α＋)＝，则sin (α－)＝________． 答案：(1)－　(2)－　 (1)由点P(5，12)在角α的终边上， 得sin α＝＝，则cos (＋α)＝－sin α＝－. (2)sin (α－)＝sin (α－＋)＝－sin (－α－)＝－cos (α＋)＝－. 利用诱导公式求值的策略 在对给定的式子进行求值时，要注意给定的角之间存在的特定关系，充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化．特别要注意每一个角所在的象限，勿将符号及三角函数名称搞错． [练1] (1)(2024·河北沧州高一月考)已知cos (α－)＝，则sin (－α)＝________． (2)已知cos (α＋)＝，则sin (α＋)＝______． 答案：(1)　(2)　 (1)sin (－α)＝sin [－(α－)]＝cos (α－)＝. (2)sin (α＋)＝sin [(α＋)＋]＝cos (α＋)＝. 知识点二　利用诱导公式化简 [例2] 化简：，其中k∈Z. 当k为偶数时，设k＝2m(m∈Z)，则 原式＝ ＝＝＝1. 当k为奇数时，设k＝2m＋1(m∈Z). 仿上化简得原式＝1. 故原式＝1. 用诱导公式进行化简时，若遇到kπ±α的形式，需对k进行分类讨论，然后再运用诱导公式进行化简． [练2] 化简：. 原式＝ ＝＝1. 知识点三　诱导公式的综合应用 [例3] 如图，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点，且OA⊥OB. (1)求的值； (2)若点A的横坐标为，求2sin αcos β的值． (1)由题意得β＝＋α， 所以＝ ＝＝－＝－1. (2)因为点A的横坐标为， 所以cos α＝，sin α＝，cos β＝cos (＋α)＝－sin α＝－， 所以2sin αcos β＝2××(－)＝－. 诱导公式解综合问题的思路 解决诱导公式综合问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角度统一后再化简或求值，这样可避免公式交错使用而导致的混乱． [练3] 已知f(α)＝. (1)化简f(α)； (2)若sin (α－)＝，求f(α)的值． (1)f(α)＝＝＝cos α. (2)因为sin (α－)＝sin (α－2π＋)＝sin (α＋)＝cos α＝， 所以f(α)＝cos α＝. ◎随堂演练 1．若点P(3，4)在角α的终边上，则sin (－α)＝(　　) A． B． C．3 D．4 因为点P(3，4)在角α的终边上，所以cos α＝＝，则sin (－α)＝cos α＝. 2．(2024·陕西西安高一期末)cos 260°＝(　　) A．－cos 10° B．cos 10° C．－sin 10° D．sin 10° cos 260°＝cos (360°－100°)＝cos (－100°)＝cos 100°＝cos (10°＋90°)＝－sin 10°.故选C. 3．(2024·福建福州高一期末)若cos (α－)＝，则sin (π＋α)＝________． 答案：－　 由cos (α－)＝sin α＝，所以sin (π＋α)＝－sin α＝－. 4．化简：＝________． 答案：1　 ＝＝1. $$