1.4.2 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（北师大版2019）

三角函数 4.2　单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 第一章 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 [－1，1] －1 1 2kπ 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 C 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 2π 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 B 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 BC 返回导航 数学 必修 第二册 北　 A 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 D 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 BCD 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 谢谢观看 返回导航 数学 必修 第二册 北　 学习目标 1.会利用单位圆研究正弦、余弦函数的基本性质． 2．能利用正弦、余弦函数的基本性质解决相关的问题． 知识点一　正弦函数、余弦函数的定义域、值域和最值 如图，设任意角α的终边与单位圆交于点P(u，v)，当自变量α变化时，点P的横坐标、纵坐标也在变化．试由正弦函数v＝sin α的定义， 由图观察，正弦函数v＝sin α的定义域是什么？α取何值时，v＝sin α取得最大(小)值，值是多少？ k∈Z 函数 正弦函数v＝sin α 余弦函数u＝cos α 定义域 R 值域 ____________ 最小值 当α＝____________________时，vmin＝－1 当α＝π＋2kπ，k∈Z时，umin＝____ 最大值 当α＝＋2kπ，k∈Z时，vmax＝__ 当α＝____，k∈Z时，umax＝1 －＋2kπ, 正弦函数、余弦函数均有最大值与最小值，即|sin α|≤1，|cos α|≤1. [例1] (1)求函数y＝lg (sin x－)＋的定义域； (2)求函数y＝cos x(－≤x≤)的值域． (1)由题意知，自变量x应满足不等式组 即 则不等式组的解集如图(阴影部分)所示， ∴{x|2kπ＋≤x<2kπ＋，k∈Z}． (2)结合单位圆可知：当x＝0时，ymax＝1， 当x＝时，ymin＝cos ＝－， ∴y＝cos x(－≤x≤)的值域是[－，1]. 求正(余)弦函数定义域、值域的关注点 (1)求函数的定义域，就是求使解析式有意义的自变量的取值范围，一般通过解不等式或不等式组求得，对于三角函数的定义域问题，还要考虑三角函数自身定义域的限制． (2)要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时，可以取特殊值把不固定的集合写成若干个固定集合再求交集． (3)求正弦、余弦函数的值域或最值时应注意定义域，解题时可借助单位圆进行分析． [练1] (1)若代数式有意义，则锐角θ的取值范围是(　　) A．(0，] B．(0，] C．[，) D．[，) (2)求函数y＝2＋cos x，x∈(－，]的值域． (1)由题意可得4sin2θ－1≥0，所以sinθ≥或sin θ≤－. 因为0<θ<，所以0<sin θ<1，所以≤sin θ<1，所以θ的取值范围为[，). (2)由单位圆，可知当x∈(－，]时，cos x∈[－，1]，所以2＋cos x∈[，3]， 所以函数y＝2＋cos x，x∈(－，]的值域为[，3]. 知识点二　正弦函数、余弦函数的单调性、周期性 已知v＝sin α，α∈[－，]，当α发生变化时，观察α的终边与单位圆的交点P(cos α，sin α)的变化，sin α，cos α的大小是如何变化的？具有周期性吗？ [＋2kπ， ＋2kπ]，k∈Z [2kπ，π＋2kπ]，k∈Z [π＋2kπ，2π＋2kπ]， k∈Z 函数 正弦函数v＝sin α 余弦函数u＝cos α 周期性 周期函数，最小正周期为____ 单调性 在区间_________________ _____________上单调递增； 在区间__________________ ______________上单调递减 在区间_______________________上单调递减；在区间______________________________上单调递增 [－＋2kπ， ＋2kπ]，k∈Z 若正弦函数在[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上为增函数，是指当k取某个整数值时，得到一个对应区间，则只在这个区间上单调递增，而不是在这些区间的并区间内单调递增，更不能说成在第一、四象限为增函数． [例2] 下列关于函数u＝4sin α，α∈[－π，π]的单调性的叙述，正确的是(　　) A．在[－π，0]上单调递增，在[0，π]上单调递减 B．在[－，]上单调递增，在[－π，－]和[，π]上单调递减 C．在[0，π]上单调递增，在[－π，0]上单调递减 D．在[，π]上单调递增，在[－，]上单调递减 因为函数u＝4sin α的单调递增区间是[2kπ－，2kπ＋]，k∈Z， 令k＝0，得[－，]∩[－π，π]＝[－，]，所以函数在[－，]上单调递增． 因为函数u＝4sin α的单调递减区间是[2kπ＋，2kπ＋]，k∈Z， 令k＝－1，得[－，－]∩[－π，π]＝[－π，－]， 令k＝0，得[，]∩[－π，π]＝[，π]， 所以函数在[－π，－]和[，π]上单调递减． (1)求出正(余)弦函数的全部单调区间，然后与给定区间求交集； (2)利用单位圆及正(余)弦函数定义分析． 注意：两个单调区间之间不一定能用并集(当在并区间上仍单调时可并，否则不能并). [练2] 求y＝cos x，x∈[－π，π]的单调区间． y＝cos x在x∈[－π，π]上的单调递增区间为[－π，0]，单调递减区间为[0，π]. 知识点三　正弦函数、余弦函数值的符号 借助单位圆以及正弦、余弦函数的定义，探究三角函数值的符号与什么有关？ 正弦、余弦函数值在各象限的符号 三角函数 象限 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 sin α ＋ ＋ － － cos α ＋ － － ＋ [例3] (1)(多选)下列各式的值为正的有(　　) A．sin 310° B．cos (－60°) C．tan 4 D．cos (2)(2024·湖南长沙高一联考)若sin αtan α>0，且cos αtan α>0，则角α是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 (1)对于选项A，310°为第四象限角，所以sin 310°<0，故A错误； 对于选项B，－60°为第四象限角，所以cos (－60°)>0，故B正确； 对于选项C，4弧度为第三象限角，所以tan 4>0，故C正确； 对于选项D，为第二象限角，所以cos <0，故D错误． (2)∵cos αtan α＝cos α·＝sin α>0， 又∵sin αtan α>0，∴tan α>0，因此角α为第一象限角. 涉及正弦、余弦函数值的符号主要有两类问题 (1)由给定角判断三角函数值或三角函数式的符号． (2)由正弦值、余弦值的符号判断角的终边的位置或求参数的范围． [练3] 若sin α>0，tan α<0，则角α的取值集合为________． 答案：{α|＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z} 由sin α>0，得α为第一、第二象限角或终边在y轴正半轴上的角； 由tan α<0，得α为第二、第四象限角，取交集可得，角α的终边一定落在第二象限， 所以角α的取值集合为{α|＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z}． ◎随堂演练 1．函数u＝cos α的一个单调递增区间为(　　) A．(－，) B．(0，π) C．(，) D．(π，2π) ∵u＝cos α的单调递增区间为[2kπ－π，2kπ]，k∈Z， 令k＝1得α∈[π，2π]，即为u＝cos α的一个单调递增区间，而(π，2π)⊆[π，2π].故选D. 2．(多选)下列三角函数值中符号为负的是(　　) A．sin 100° B．cos (－220°) C．tan (－10) D．cos π 因为90°<100°<180°，所以100°角是第二象限角，所以sin 100°>0；因为－270°<－220°<－180°，所以－220°角是第二象限角，所以cos (－220°)<0；因为－<－10<－3π，所以－10 rad是第二象限角，所以tan (－10)<0；cos π＝－1<0.故选BCD. 3．函数y＝－2sin x，x∈[－，π]的值域为________． 答案：[－2，1]　 由x∈[－，π]，得sin x∈[－，1]，－2sin x∈[－2，1]， ∴y∈[－2，1]，∴y＝－2sin x，x∈[－，π]的值域为[－2，1]. 4．函数y＝的定义域为________． 答案：{α|＋2kπ≤α≤＋2kπ，k∈Z}　 要使函数有意义，则－cos α≥0，即cos α≤，如图所示，角α的终边需落在阴影部分(包括边界)，所以函数的定义域为{α|＋2kπ≤α≤＋2kπ，k∈Z}． $$