1.4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（北师大版2019）

三角函数 §4　正弦函数和余弦函数的概念及其性质 4．1　单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义 第一章 返回导航 数学 必修 第二册 北　 学习目标 1.借助单位圆理解任意角的正弦函数、余弦函数的定义． 2．会求角的正弦、余弦函数的值． 3．会判断正弦、余弦函数值的符号． 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 A C 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 A 返回导航 数学 必修 第二册 北　 B 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 BCD 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 D 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 B 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 B 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 谢谢观看 返回导航 数学 必修 第二册 北　 知识点一　任意角的正弦函数、余弦函数 在初中，为了便于理解锐角三角函数的概念，我们以锐角为其中一个角构造一个直角三角形，利用不同边的比值定义了该锐角的三角函数(正弦函数、余弦函数、正切函数)，但这种定义显然不适用于任意角的三角函数的定义．那么该如何定义任意角的三角函数呢？ 如图所示，给定任意角α，作单位圆，角α的终边与单位圆的交点为P(u，v)，点P的纵坐标v、横坐标u都是唯一确定的．仿照上述定义，把点P的纵坐标v叫作角α的正弦值，把点P的横坐标u叫作角α的余弦值． 于是，在弧度意义下，对于α∈R，称v＝sin α为任意角α的正弦函数，u＝cos α为任意角α的余弦函数． (1)sin α是一个整体，不能拆开使用，不表示sin 与α的乘积，其形式如同对数函数lg x. (2)正弦函数值、余弦函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即正弦函数值、余弦函数值的大小只与角的大小有关． [例1] 在单位圆中，α＝－. (1)画出角α； (2)求角α的终边与单位圆的交点P的坐标； (3)求角α的正弦函数值和余弦函数值． (1)如图，以原点为角的顶点，以x轴的非负半轴为始边，顺时针旋转，与单位圆交于点P，过点P作x轴的垂线交x轴于点M.于是α＝∠MOP＝－即为所作的角． (2)设点P(u，v)，则u＝，v＝－， 即点P的坐标为(，－). (3)由任意角正弦函数、余弦函数的定义，得 sin (－)＝v＝－，cos (－)＝u＝. 定义法求正(余)弦值的关键点 利用定义求角的正弦、余弦值的关键在于确定角的终边与单位圆的交点坐标． 若终边上的已知点不在单位圆上，则要求出该点到原点的距离再利用定义求解． [练1] (1)已知角α的终边与单位圆的交点为P(－，－)，则sin α－cos α＝(　　) A．－ B． C． D．－ (2)已知角α的终边与单位圆交于点P(－，y)，则sin α＝(　　) A．－ B．± C．± D．± (1)由三角函数的定义得cos α＝－，sin α＝－，因此，sin α－cos α＝－. (2)由题意得(－)2＋y2＝1，∴y＝±， ∴sin α＝y＝±.故选C. 知识点二　由角的终边上的点求 正弦函数值、余弦函数值 设角α终边上除原点外的一点Q(x，y)，则sin α＝__，cos α＝__，其中r＝. (1)r的值恒大于零． (2)正弦、余弦函数值的大小与点在终边上的位置无关． [例2] 设角θ的终边经过点P(4a，－3a)(a≠0)，求sin θ，cos θ的值． 当a>0时，sin θ＝＝－，cos θ＝＝； 当a<0时，sin θ＝＝，cos θ＝＝－. 综上所述， 当a>0时，sin θ＝－，cos θ＝； 当a<0时，sin θ＝，cos θ＝－. 已知角终边上一点的坐标求三角函数值的方法 (1)由角的终边与单位圆相交于点P，求出点P的坐标(x，y)，然后利用三角函数的定义求出相应的三角函数值． (2)在角的终边上任选一点P(x，y)，设点P到原点的距离为r(r>0)，则sin α＝，cos α＝. (3)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，应注意分类讨论． [练2] (1)(2024·重庆北碚高一期末)已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边重合于x轴的非负半轴，终边经过点P(－1，2)，则＝(　　) A．－ B．－ C． D． (2)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴．若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－，则y＝(　　) A．－6 B．－8 C．－10 D．－12 (1)由三角函数定义得sin α＝＝，cos α＝＝－， 则＝＝＝－.故选A. (2)因为sin θ＝－，P(4，y)是角θ终边上一点， 所以y<0，sin θ＝＝－，解得y＝－8. 知识点三　由角的终边所在直线求正弦函数值、余弦函数值 [例3] 已知角α的终边在直线y＝3x上，求sin α，cos α的值． 因为角α的终边在直线y＝3x上， 当角α的终边在第一象限时，在α的终边上取点(1，3)， 则sin α＝＝，cos α＝＝； 当角α的终边在第三象限时，在α的终边上取点(－1，－3)， 则sin α＝＝－，cos α＝ ＝－. [变式探究] 将本例的条件改为已知角α的终边与直线y＝3x重合且sin α<0，求cos α的值． 设P(x0，3x0)(x0≠0)为直线y＝3x上的点，则r＝|OP|＝＝|x0|， 则sin α＝＝<0，得x0<0，r＝|OP|＝－x0， cos α＝＝＝－. 角的终边在直线上求正(余)弦函数值的注意点 在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点的坐标为(a，b)，则角α的正弦函数值与余弦函数值分别为sin α＝，cos α＝. [练3] 已知角α的终边落在直线x＋y＝0上，求sin α，cos α的值． 直线x＋y＝0，即y＝－x，经过第二、四象限． 在第二象限取直线上的点(－1，)，则r＝＝2， 所以sin α＝，cos α＝－； 在第四象限取直线上的点(1，－)，则r＝＝2， 所以sin α＝－，cos α＝. 知识点四　三角函数值的符号 根据三角函数的定义，sin α＝，cos α＝，因为r＝＞0，可知正弦函数值的符号取决于纵坐标y的符号，余弦函数值的符号取决于横坐标x的符号．那么由此可以根据角所在的象限确定三角函数值的符号吗？ 正弦、余弦函数值在各象限的符号 三角函数 象限 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 sin α ＋ ＋ － － cos α ＋ － － ＋ [例4] (多选)下列函数值中符号为负的是(　　) A．sin (－1 000°) B．cos C． D．sin 5 ∵－1 000°＝－3×360°＋80°， ∴－1 000°是第一象限角，∴sin (－1 000°)>0. ∵＝2π＋，∴是第三象限角， ∴cos <0. ∵<2<π，∴2 rad是第二象限角，sin 2>0，cos 2<0， ∴＜0. ∵<5<2π，∴5 rad是第四象限角， ∴sin 5<0. 正(余)弦函数值符号的判断方法 准确判定正弦、余弦函数中角所在象限是基础，准确记忆正弦、余弦函数值在各象限的符号是解决正弦、余弦函数值符号判断问题的关键． [练4] (1)已知P(cos 305°，sin 305°)，则点P在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 (2)若α的终边上有一点P(3n－9，n＋2)，满足cos α<0且sin α>0，则实数n的取值范围是________． (－2，3) (1)因为270°<305°<360°，所以305°为第四象限角， 所以cos 305°>0，sin 305°<0， 所以点P(cos 305°，sin 305°)位于第四象限．故选D. (2)由题意知α的终边上有一点P(3n－9，n＋2)，满足cos α<0且sin α>0，故此点是第二象限中的点，∴3n－9<0且n＋2>0，∴－2<n<3. ◎随堂演练 1．已知角α的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边与单位圆(以O为圆心)相交于点A.若点A的横坐标为，则(　　) A．sin α＝ B．cos α＝ C．sin α＝ D．cos α＝ 由三角函数的定义可知cos α＝，sin α＝±，正负无法判断．故选B. 2．如果点P(sin θ· cos θ，cos θ)位于第三象限，那么角θ是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 ∵点P(sin θ·cos θ，cos θ)位于第三象限，∴sin θ·cos θ<0，cos θ<0， ∴sin θ>0.∴θ是第二象限角． 3．已知角α的终边经过点P(－3，4)，则cos α＝______． 答案：－　 因为角α的终边经过点P(－3，4)，所以cos α＝＝－. 4．设点P(－，y)是角α终边上的一点，且满足sin α＝，则实数y＝________． 答案：2　 由题意得sin α＝＝，y>0，所以y＝2. $$