1.3 弧度制（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（北师大版2019）

三角函数 §3　弧度制 第一章 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 度 弧度 弧度 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 A 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 D 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 2π 360° π 180° 0.017 45 57°18′ 返回导航 数学 必修 第二册 北　 45° 90° 0 135° 270° 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 ACD 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 必修 第二册 北　 B 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 谢谢观看 返回导航 数学 必修 第二册 北　 学习目标 1.了解弧度制，能进行弧度与角度互化． 2．体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集的一一对应关系． 3．掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式． 知识点一　角度制与弧度制 把圆周等分成360份，称其中每一份所对的圆心角为1度，这种用度作单位来度量角的制度称为角度制．使用角度来度量角，其关键是“等分”．考虑到面积、体积等都可以通过线段长度来刻画，那么，能否用“测量长度”来代替“等分”，从而引进另外一种度量角的制度呢？ 1．角度制和弧度制 角度制 用周角的______作为一个单位，称为1度角，以__作为单位来度量角的单位制叫作角度制 弧度制 在单位圆中，把长度等于1的弧所对的圆心角称为1弧度的角．其单位用符号rad表示，读作____．以____作为单位来度量角的方法，称作弧度制 2.弧度数的计算 (1)1 rad等于长度为半径长的圆弧所对的圆心角，弧度制是十进制，角度制是六十进制． (2)无论是以“弧度”还是以“度”为单位，角的大小都是一个与半径大小无关的定值． (3)以弧度为单位表示角的大小时，“弧度”或“rad”通常省略不写，但以度为单位表示角的大小时，“度”或“°”不能省略． [例1] 下列说法正确的是(　　) A．1弧度的圆心角所对的弧长等于半径 B．大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大 C．所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等 D．用弧度表示的角都是正角 对于A，根据弧度的定义知，1弧度的圆心角所对的弧长等于半径，故A正确； 对于B，大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等，故B错误； 对于C，只有在同圆或等圆中，1弧度的圆心角所对的弧长是相等的，故C错误； 对于D，用弧度表示的角也可以是负角或零角，故D错误． 圆心角弧度数的关注点 (1)圆心角α与所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的． (2)任意角的弧度数与实数是一一对应的关系． [练1] 下列各命题中，真命题是(　　) A．1弧度就是1°的圆心角所对的弧 B．1弧度是长度等于半径的弧 C．1弧度是1°的弧与1°的角之和 D．1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角的大小 根据弧度制和角度制的定义可知A，B，C均错误，D正确． 知识点二　弧度与角度的换算 根据弧度制的定义，由|α|＝，令l＝2πr，可得周角等于2π弧度，令l＝πr可得半周角等于π弧度，那么30°，47°等如何换算为弧度呢？ 1．角度与弧度的互化 角度化弧度 弧度化角度 360°＝____ rad 2π rad＝________ 180°＝__ rad π rad＝________ 1°＝ rad≈________ rad 1 rad＝≈_________ 2.一些特殊角的度数与弧度数的对应关系 度 0° 1° 30° ______ 60° ______ 弧度 __ ___ ___ 度 120° ______ 150° 180° ______ 360° 弧度 ____ ____ π 2π 角度化弧度时，将分、秒化成度，再化成弧度． [例2] 把下列各角的弧度数化为度数，度数化为弧度数． (1)－；(2)1 125°；(3)－225°. 根据弧度制与角度制的互化公式，1°＝ rad，1 rad＝，可得 (1)－＝－×＝－390°. (2)1 125°＝1 125× rad＝ rad. (3)－225°＝－225× rad＝－ rad. 角度制与弧度制互化的原则和方法 (1)原则：牢记180°＝π rad，充分利用1°＝ rad和1 rad＝进行换算． (2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n，则α rad＝α·，n°＝n· rad. 另外用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不要把π写成小数． [练2] (多选)下列转化结果正确的是(　　) A．150°化成弧度是 B．－化成角度是45° C．－120°化成弧度是－ D．化成角度是30° 150°化成弧度是，A选项正确． －化成角度是－45°，B选项错误． －120°化成弧度是－，C选项正确． 化成角度是30°，D选项正确． 知识点三　用弧度制表示角 [例3] 已知角α＝1 200°，将α改写成β＋2kπ(k∈Z，0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角． α＝1 200°＝＝＋6π， 因为是第二象限角，所以α是第二象限角． [变式探究] 本例条件不变，在区间[－2π，2π]上找出与α终边相同的角． 与α终边相同的角为γ＝＋2kπ，k∈Z， 由γ＝＋2kπ∈[－2π，2π]，得当k＝0时，γ＝，当k＝－1时，γ＝－， 所以在区间[－2π，2π]上与α终边相同的角为和－. 用弧度制表示终边相同的角的两个关键点 (1)用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍． (2)注意角度制与弧度制不能混用，即不能出现这样的形式：30°＋2kπ，k∈Z，要保持单位制的统一性． [练3] 用弧度制写出终边在阴影部分的角的集合： (1)　　(2) (1)边界对应射线所在终边的角分别为2kπ＋，2kπ＋，k∈Z， 所以终边在阴影部分的角的集合为{α|2kπ＋<α≤2kπ＋，k∈Z}． (2)边界对应射线所在终边的角分别为2kπ，2kπ＋，2kπ＋π，2kπ＋，k∈Z， 所以终边在阴影部分的角的集合为 {α|2kπ≤α≤2kπ＋，k∈Z}∪{α|2kπ＋π≤α≤2kπ＋，k∈Z}＝{α|kπ≤α≤kπ＋，k∈Z}． 知识点四　扇形的弧长与面积公式 在初中我们学习过扇形的弧长公式和面积公式分别为l＝，S＝，那么这两个公式如何用弧度制表示呢？ 项目 n为角度数 α为弧度数 扇形的弧长 l＝ l＝|α|r 扇形的面积 S＝ S＝lr＝|α|·r2 扇形面积公式S＝lr与三角形的面积公式S＝ah(其中h是三角形底边a上的高)的结构形式非常相似，可类比记忆，也可把扇形看成曲底三角形，弧为底，半径为高． [例4] 已知扇形的圆心角为α，所在圆的半径为r. (1)若α＝60°，r＝3，求扇形的弧长； (2)若扇形的周长为16，当α为多少弧度时，该扇形面积最大？并求出最大面积． (1)设扇形的弧长为l.∵α＝60°，即α＝，又r＝3， ∴l＝|α|r＝×3＝π. (2)由题设条件知，l＋2r＝16，l＝16－2r(0<r<8)， 因此扇形的面积S＝lr＝(16－2r)r＝－r2＋8r＝－(r－4)2＋16. ∴当r＝4时，S有最大值16，此时l＝16－2r＝8，|α|＝＝2， ∴当α＝2时，扇形的面积最大，最大面积是16. 扇形弧长、面积问题的解题思路 灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键．也可将扇形面积表示为半径的函数，转化为关于r的二次函数求最值问题． [练4] (2024·山西太原高一期中)某校欲建造一个扇环形状(ABDC)的花坛，该扇环是由以点O为圆心的两个同心圆构造出的，小圆半径OA＝5米，大圆半径OC＝10米，圆心角θ＝. (1)求该花坛的周长； (2)求该花坛的面积． (1)的长度为×10＝(米)， 的长度为×5＝(米)，AC＝BD＝10－5＝5(米)， 故该花坛的周长为＋＋5＋5＝5π＋10(米). (2)该花坛的面积S＝××102－××52＝××(100－25)＝(平方米). ◎随堂演练 1．将315°化为弧度是(　　) A．－ B． C． D． 315°＝＝. 2．与240°终边相同的所有角的集合用弧度制可以表示为_______． 答案：{x|x＝＋2kπ，k∈Z}　 将240°化为弧度为， 所以与240°终边相同的所有角的集合用弧度制可以表示为{x|x＝＋2kπ，k∈Z}． 3．(2024·上海宜川中学高一期末)已知圆心角为的扇形面积等于3π，则该扇形的弧长为________． 答案：π　 扇形面积S＝|α|r2＝××r2＝3π，解得r＝6.由弧长公式得l＝|α|r＝×6＝π. $$