1.1 周期变化&1.2 任意角（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（北师大版2019）

三角函数 §1　周期变化 §2　任意角 第一章 返回导航 数学 必修 第二册 北　 学习目标 1.了解周期性的概念和几何意义． 2．了解角的概念，掌握正角、负角和零角的概念，理解任意角的意义． 3．掌握象限角、终边相同的角的概念，会用集合符号表示这些角． 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 f(x＋T)＝f(x) 周期 返回导航 数学 必修 第二册 北　 最小 最小正数 最小正周期 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 AB 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 B 返回导航 数学 必修 第二册 北　 D 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 始边 终边 返回导航 数学 必修 第二册 北　 逆时针方向旋转 顺时针方向旋转 没有作任何旋转 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 整数倍 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 B 返回导航 数学 必修 第二册 北　 D 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 ABD 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 A 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 A 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 谢谢观看 返回导航 数学 必修 第二册 北　 知识点一　函数的周期性 (1)我们上课的课程表一般都是按照一个星期为单位来安排的，循环往复，周而复始，这是什么现象呢？还有没有类似的现象？ (2)今天是星期五，再过7天还是星期五，再过14天还是星期五，只要再过的天数为7的整数倍都是星期五，如何来定义数字“7”呢？ 1．周期函数与周期的概念 一般地，对于函数y＝f(x)，x∈D，如果存在一个非零常数T，使得对任意的x∈D，都有x＋T∈D，且满足____________，那么函数y＝f(x)称作周期函数，非零常数T称作这个函数的____． 2．最小正周期 如果在周期函数y＝f(x)的所有周期中存在一个____的正数，那么这个________就称作函数y＝f(x)的__________．若不加特别说明，本书所指周期均为函数的最小正周期． (1)周期函数的三个条件：①存在不为0的常数T；②x必须是定义域内的任意值；③f(x＋T)＝f(x). (2)周期函数的周期不止一个． [例1] (多选)设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，也叫取整函数，例如[2.3]＝2.令函数f(x)＝[x]－x，以下结论正确的有(　　) A．f(－1.7)＝－0.3 B．f(x－1)＝f(x) C．f(x)的最大值为0，最小值为－1 D．y＝f(x)与y＝－x＋1的图象没有交点 对于A，由题意得f(－1.7)＝[－1.7]－(－1.7)＝(－2)＋1.7＝－0.3，故A正确； 对于B，f(x－1)＝[x－1]－(x－1)＝([x]－1)－x＋1＝[x]－x＝f(x)，故B正确； 对于C，由选项B可知，f(x)是周期为1的周期函数， 则当x＝0时，f(0)＝[0]－0＝0， 当0<x<1时，f(x)＝[x]－x＝0－x＝－x∈(－1，0)， 当x＝1时，f(1)＝[1]－1＝1－1＝0， 综上，f(x)的值域为(－1，0]，即f(x)的最大值为0，无最小值，故C错误； 对于D，由选项C可知，f(x)＝且f(x)的周期为1， 作出y＝f(x)与y＝－x＋1的图象， 如图所示，由图象可知y＝f(x)与y＝－x＋1的图象有无数个交点，故D错误．故选AB. 周期现象的解决思路 (1)应用周期现象中“周而复始”的规律性可以达到“化繁为简”“化无限为有限”的目的． (2)只要确定好周期现象中重复出现的“基本单位”，就可以把问题转化到一个周期内来解决． [练1] (1)已知f(x)是定义在R上的函数，且f(x＋2)＝f(x)，当x∈(0，2)时，则f(x)＝2x2，则f(2 025)＝(　　) A．－2 B．2 C．－98 D．98 (2)下列是定义在R上的四个函数图象的一部分，其中不是周期函数的是(　　) A． B． C． D． (1)函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，则函数周期为2， 则f(2 025)＝f(1 012×2＋1)＝f(1)＝2×12＝2. (2)结合周期函数的定义可知，A，B，C均为周期函数，D不是周期函数． 知识点二　角的概念推广 我们在初中所学过的角，大小一般不会超过一个周角(360°).如图所示，当摩天轮在持续不断地转动时， (1)摩天轮所转过的角度大小是否会超过360°？ (2)当摩天轮转动的角度相同，但方向不同时，我们该如何区别这种不同呢？ 1．角的概念 如图，平面内一条射线OA绕着它的端点O按箭头 所示方向旋转到终止位置OB，形成角α. 其中点O是角α的顶点，射线OA是角α的____，射线OB是角α的____． 2．角的分类 按旋转方向可将角分为如下三类： 类型 定义 图示 正角 按______________形成的角 负角 按______________形成的角 零角 一条射线______________，称它形成了一个零角 (1)字母表示角时：可以用希腊字母α，β等表示，“角α”或“∠α”可以简化为“α”． (2)用图示表示角时：箭头不可以丢掉，因为箭头代表了旋转的方向，即箭头代表着角的正负． B [例2] 射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置，由OB位置绕端点O旋转到达OC位置，得∠AOC＝－150°，则射线OB旋转的方向与角度分别为(　　) A．逆时针，270° B．顺时针，270° C．逆时针，30° D．顺时针，30° 由题意可得∠AOB＝120°， 设∠BOC＝θ，则∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝120°＋θ＝－150°，解得θ＝－270°， 所以射线OB绕端点O顺时针旋转270°.故选B. 表示角时的两个注意点 (1)要注意我们现在学习的角已经不局限于0°～360°，而是任意的角． (2)在写角的度数时要注意角的始边和旋转的方向． [练2] 如图，射线OA绕顶点O逆时针旋转45°到达OB位置，并在此基础上顺时针旋转120°到达OC位置，则∠AOC＝__________． 答案：－75°　 由角的定义可得∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝45°＋(－120°)＝ －75°. 知识点三　终边相同的角 设角α＝30°， (1)把角α逆时针旋转一周、两周、三周、…，得到的角分别为30°＋360°，30°＋2×360°，30°＋3×360°，…； (2)把角α顺时针旋转一周、两周、三周、…，得到的角分别为30°－360°，30°－2×360°，30°－3×360°，…. 那么上述旋转所得到的角的终边有什么关系呢？ 终边相同的角的表示 一般地，给定一个角α，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的______的和． BCD [例3] (多选)与－835°终边相同的角有(　　) A．－245° B．245° C．－115° D．－475° 与－835°终边相同的角可表示为－835°＋k·360°，k∈Z， 当k＝1时，为－475°；当k＝2时，为－115°；当k＝3时，为245°.故选BCD. 1．终边相同的角的表示 (1)终边相同的角都可以表示成α＋k·360°(k∈Z)的形式． (2)终边相同的角相差360°的整数倍． 2．区域角的表示方法 要先找到区域角的边界对应的角，再根据旋转方向写出一个周期内的区域角，最后再加上周期即可. [练3] (1)若角2α与220°角的终边相同，则α＝(　　) A．110°＋k·360°(k∈Z) B．110°＋k·180°(k∈Z) C．220°＋k·360°(k∈Z) D．220°＋k·180°(k∈Z) (2)若角α的终边在直线y＝－x上，则角α的取值集合为(　　) A．{α|α＝k·360°－45°，k∈Z} B．{α|α＝k·360°＋135°，k∈Z} C．{α|α＝k·180°－135°，k∈Z} D．{α|α＝k·180°－45°，k∈Z} (1)因为角2α与220°角的终边相同， 所以2α＝220°＋k·360°(k∈Z)，则α＝110°＋k·180°(k∈Z). (2)由题意知角α的终边在直线y＝－x上， 故α＝k·360°－45°，k∈Z或α＝k·360°＋135°，k∈Z， 即α＝2k·180°－45°，k∈Z或α＝(2k＋1)·180°－45°，k∈Z， 故角α的取值集合为{α|α＝k·180°－45°，k∈Z}．故选D. 知识点四　象限角 把角放到平面直角坐标系中，使角的顶点在坐标原点，始边在x轴的非负半轴，角的终边可能落在象限内或坐标轴上，落在同一象限的角具有某些相同性质，所以我们研究象限角． 将角放在一个平面直角坐标系中，角的顶点在坐标原点，始边在x轴的非负半轴．以角的终边(除端点外)在平面直角坐标系的位置对角分类： 角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，这个角就不属于任何象限． (1)象限角只能反映角的终边所在象限，不能反映角的大小． (2)象限角不能比较大小． AB [例4] (1)(多选)下列四个角为第二象限角的是(　　) A．－200° B．100° C．220° D．420° (2)已知α是第二象限角，求角所在的象限． (1)对于A选项，－200°＝160°－360°，故－200°为第二象限角； 对于B选项，100°是第二象限角； 对于C选项，220°是第三象限角； 对于D选项，420°＝60°＋360°，故420°为第一象限角． (2)因为α是第二象限角，所以k·360°＋90°<α<k·360°＋180°(k∈Z)， ·360°＋45°<<·360°＋90°(k∈Z)， 当k为偶数时，令k＝2n(n∈Z)，得n·360°＋45°<<n·360°＋90°，则是第一象限角； 当k为奇数时，令k＝2n＋1(n∈Z)，得n·360°＋225°<<n·360°＋270°，则是第三象限角，所以为第一或第三象限角． 1．象限角的判定方法 (1)当0°≤α＜360°时，直接写出结果． (2)当α＜0°或α≥360°时，将α化为β＋k·360°，k∈Z(0°≤β＜360°)，转化为判断角β所属的象限． 2．由α所在的象限求角所在的象限时，n是几，就把每个象限等分成几份，再在每个区域内依次标上Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，角所在的象限与α所在象限的标号相同． [练4] (多选)已知α是锐角，则(　　) A．180°＋α是第三象限角 B．2α是小于180°的正角 C.2α是第一或第二象限角 D．是锐角 由题知，因为α是锐角，所以0°<α<90°. 对于A选项，180°<180°＋α<270°，故A选项正确； 对于B，C选项，0°<2α<180°，故B选项正确，C选项错误； 对于D选项，0°<<45°，故D选项正确．故选ABD. ◎随堂演练 1．下列说法中正确的是(　　) A．锐角是第一象限角 B．终边相同的角必相等 C．小于90°的角一定在第一象限 D．第二象限角必大于第一象限角 选项A，锐角是指大于0°，小于90°的角，故其在第一象限，故正确； 选项B，终边相同的角不一定相等，两角可以相差360°的整数倍，故错误； 选项C，小于90°的角不一定在第一象限，也可以为负角，故错误； 选项D，根据任意角的定义，第二象限角可以为负角，第一象限角可以为正角，此时第二象限角小于第一象限角，故错误． 2．440°角的终边落在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 因为440°＝360°＋80°，所以440°角的终边与80°角的终边相同， 所以440°角的终边落在第一象限． 3．函数y＝f(x)是以3为周期的函数，且f(2)＝3，则f(11)＝______． 答案：3　 因为函数y＝f(x)是以3为周期的函数，且f(2)＝3， 所以f(11)＝f(2＋3×3)＝f(2)＝3. 4．与－15°角终边重合的角的集合是______________________． 答案：{α|α＝k·360°－15°，k∈Z}　 与－15°角终边重合的角的集合是{α|α＝k·360°－15°，k∈Z}． $$