专题02整式的乘法（10大类型+30道期中压轴培优）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学下学期期中真题分类汇编（江苏专用）

专题02整式的乘法（10大类型+30道期中压轴培优） 目录 类型一、单项式乘单项式 1 类型二、单项式乘多项式 2 类型三、单项式乘多项式的应用 3 类型四、多项式乘多项式 4 类型五、整式乘法的混合运算 5 类型六、整式乘法的化简求值 7 类型七、整式乘法的不含某一项问题 8 类型八、整式乘法的规律探究问题 10 类型九、整式乘法的实际应用问题 12 类型十、整式乘法的新定义问题 14 《整式的乘法》期中压轴培优30题 16 类型一、单项式乘单项式 1．（22-23七年级下·江苏南京·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据单项式乘以单项式的计算法则计算即可． 【详解】解：， 故选D． 【点睛】本题考查的是单项式乘以单项式，掌握运算法则是解本题的关键． 2．（21-22七年级下·江苏徐州·期中）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用单项式乘以单项式运算法则化简求出答案即可． 【详解】解：． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了单项式乘以单项式，正掌握运算法则是解题关键． 3．（22-23七年级下·江苏泰州·期中）若单项式与是同类项，那么这两个单项式的积是 【答案】 【分析】依据同类项的定义求得，，依据单项式乘单项式法则计算即可． 【详解】解：单项式与是同类项， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了同类项的定义，单项式乘单项式；解题的关键是掌握相关定义和运算法则． 4．（22-23七年级下·江苏·期中）一个正方体的棱长是，那么它的体积是 ． 【答案】 【分析】根据正方体的体积公式可直接进行求解． 【详解】解：由题意可知正方体的体积为； 故答案为． 【点睛】本题主要考查单项式乘以单项式，解题的关键是熟知正方体的体积公式． 类型二、单项式乘多项式 5．（23-24七年级下·江苏南京·期中）计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘多项式，根据单项式乘多项式的运算法则进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 6．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）计算的结果中次数是6的项的系数是 ． 【答案】 【分析】本题考查单项式乘多项式的运算，单项式的系数的定义、多项式的次数的定义，先根据运算法则计算出结果，根据单项式的系数的定义、多项式的次数的定义即可得． 【详解】解： ， 的次数是6， 的结果中次数是6的项的系数是， 故答案为：． 7．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）若，那么 ． 【答案】3 【分析】此题主要考查了单项式乘以多项式，正确掌握运算法则是解题关键． 直接利用单项式乘以多项式运算法则计算得出答案． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 8．（23-24七年级下·江苏徐州·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查的是单项式乘多项式．根据单项式乘多项式的运算法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 类型三、单项式乘多项式的应用 9．（22-23七年级下·江苏常州·期中）若三角形的底边为，对应的高为，则此三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形面积公式进行求解即可． 【详解】解：∵三角形的底边为，对应的高为， ∴此三角形的面积为， 故选B． 【点睛】本题主要考查了单项式乘以多项式，熟知相关计算法则是解题的关键． 10．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）一个长方形的长为，宽为，则这个长方形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用单项式乘多项式的运算法则． 根据长方形的面积为长宽，即可求解． 【详解】解：长方形的面积 故答案为：． 11．（22-23七年级下·江苏宿迁·期中）一个长方体的长、宽、高分别为、、，它的体积等于 ． 【答案】 【分析】根据长方体的体积等于长、宽、高之积列出式子，计算即可得到结果． 【详解】解：∵该长方体的长、宽、高分别为、、， ∴它的体积为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了单项式乘多项式在图形中的应用，解答本题的关键在于熟练掌握单项式乘多项式的运算法则． 12．（22-23七年级下·江苏南京·期中）若中不含有x的四次项，则a的值为 ． 【答案】3 【分析】根据多项式乘以多项式的法则计算，再合并同类项后不含x的四次项，可求a的值． 【详解】解： 由题意可知， 解得． 故答案为：3． 【点睛】本题考查单项式乘以多项式以及合并同类项，解题的关键是熟练运用单项式乘以多项式的法则，本题属于基础题型． 类型四、多项式乘多项式 13．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）下列各式中，计算结果等于的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是多项式乘以多项式，利用多项式乘以多项式的法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选D 14．（22-23七年级下·江苏淮安·期中）已知的计算结果中不含项，则p的值为 ． 【答案】3 【分析】先根据多项式乘以多项式运算法则将括号展开，再根据“计算结果中不含项”可得项系数为0，即可求解． 【详解】解：， ∵计算结果中不含项， ∴，解得：， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式，解题的关键是掌握多项式乘以多项式的运算法则． 15．（22-23七年级下·江苏徐州·期中）若，那么 . 【答案】 【分析】先根据整式乘除进行运算，然后利用“左边=右边”求出a、b的值，最后相乘即可． 【详解】解：根据整式乘除，可以得出左边， ∵左边=右边， ∴ 、 故答案为：24． 【点睛】本题主要考查了整式的乘除，根据整式的乘除确定a、b的值是解答本题的关键． 16．（22-23七年级下·江苏无锡·期中）若，则b等于 ． 【答案】1 【分析】利用多项式乘以多项式法则把展开，再根据对应项系数相等求解即可． 【详解】解∶∵， ， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 类型五、整式乘法的混合运算 17．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了幂的混合运算，整式的混合运算，解题的关键是掌握相关运算顺序和运算法则． （1）先计算乘方，再计算乘法即可； （2）先利用单项式乘多项式、多项式乘多项式法则计算，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 18．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查整式的乘法运算，掌握整式的乘法运算的运算顺序非常关键． （1）先运用积的乘方运算，然后利用单项式乘以单项式的法则计算解题； （2）运用单项式乘以单项式的运算法则解题即可； （3）运用多项式乘以多项式的法则解题即可； （4）运用多项式乘以多项式的法则解题即可； 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 19．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查整式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键， （1）利用单项式乘单项式法则计算即可； （2）利用单项式乘多项式法则计算即可； （3）根据多项式乘多项式计算即可； （4）根据多项式乘多项式计算即可； 【详解】（1）； （2） ； （3） ； （4） ． 20．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式的混合运算顺序和运算法则． （1）先计算乘方，再计算乘法即可； （2）先利用单项式乘多项式、多项式乘多项式法则计算，再合并同类项即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 类型六、整式乘法的化简求值 21．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式及化简求值，熟练掌握多项式乘以多项式是解题的关键；因此此题可先根据多项式乘以多项式进行化简，然后代值求解即可 【详解】解：原式 ； ， ∴原式 22．（22-23七年级下·江苏苏州·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】5 【分析】直接利用合并同类项法、完全平方公式、平方差公式展开化简，再把已知数据代入得出答案． 【详解】解： ∵， ∴ 原式． 【点睛】此题主要考查了整式的加减—化简求值，涉及到完全平方公式及平方差公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 23．（22-23七年级下·江苏盐城·期中）先化简，再求值：，其中 【答案】， 【分析】先根据多项式乘多项式，单项式乘多项式的运算法则计算，再合并同类项，然后把值代入计算． 【详解】解： ， 当时，原式． 【点睛】本题考查了整式的四则混合运算，熟练掌握运算顺序是解答本题的关键．四则混合运算的顺序是先算乘除，再算加减；同级运算，按从左到右的顺序计算． 24．（22-23七年级下·江苏无锡·期中）若，，则 ． 【答案】 【分析】先利用多项式乘多项式法则计算乘法，再整体代入求值． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式法则，已知式子的值求代数式的值，掌握整式的乘法法则是解决本题的关键． 类型七、整式乘法的不含某一项问题 25．（22-23七年级下·江苏扬州·期中）如果与的乘积中不含x的一次项，则m的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的乘法法则是解题的关键． 根据与的乘积中不含的一次项，可得，进一步求解即可． 【详解】解：， ∵与的乘积中不含的一次项， ∴， ∴， 故选：D． 26．（23-24七年级下·江苏常州·期中）若与的乘积中不含的一次项，则的值为 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，根据多项式乘以多项式的运算法则得出，再结合题意得出，求解即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， ∵与的乘积中不含的一次项， ∴， 解得：， 故答案为：． 27．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）计算结果中不含x的一次项，则常数a的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的乘法运算．先根据多项式乘多项式法则计算出结果，再根据计算结果不含的一次项，列出关于的方程，解方程求出即可． 【详解】解： ， 计算结果中不含的一次项， ， ， 解得：， 常数的值为：， 故答案为：． 28．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）若的展开式中不含的一次项，则实数m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘多项式的法则，不含某一项就是该项的系数等于．先根据多项式乘多项式展开式子，合并同类项，不含的一次项，就是该项系数为，进而求出的值．掌握多项式乘多项式的法则和合并同类项是解题的关键． 【详解】解：∵， 又∵展开式中不含的一次项， ∴， ∴， ∴实数的值为． 故答案为：． 类型八、整式乘法的规律探究问题 29．（21-22七年级下·江苏宿迁·期中）观察下列各式的计算结果与相乘的两个多项式之间的关系： ； ； ． 你发现有什么规律?按你发现的规律填空： （_____＋______）_____×______ 你能很快说出与相等的多项式吗?先猜一猜，再用多项式相乘的运算法则验证． 【答案】3，5，3，5；详见解析 【分析】由多项式乘以多项式法则发现规律，解答． 【详解】解：（x＋3）（x＋5）＝x2＋（3＋5）x＋3×5＝x2＋8x＋15 故答案为：3，5，3，5． （x＋a）（x＋b）＝x2＋（a＋b）x＋ab． 验证： （x＋a）（x＋b）＝x2＋ax＋bx＋ab＝x2＋（a＋b）x＋ab． 【点睛】本题考查多项式乘以多项式，是基础考点，掌握相关知识是基础考点． 30．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）阅读以下内容：，，，根据这一规律，计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了探索规律，由，，，得到，然后当时代入求解即可，根据题意规律是解题的关键． 【详解】解：∵， ， ， ， ∴， ∴， 则， 故答案为：． 31．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）大家一定熟知杨辉三角形（I），观察下列等式（Ⅱ）． 根据以上规律，的展开式中的系数是 ． 【答案】15 【分析】此题考查了整式类规律探索问题，解题的关键是理解题意，找到式子之间的规律是解题的关键．观察杨辉三角和已知等式，得出规律，求得每一项的系数，确定为第几项，即可求解． 【详解】解：观察杨辉三角和已知等式，可得有6项，每项系数分别为 、、、、、， 有7项，每项系数分别为： 、、、、、、， 而为第三项，所以系数为15． 故答案为：15． 32．（22-23七年级下·江苏苏州·期中）填空： ； ； ； … (1) ； (2)猜想： ；（其中为正整数，且） (3)利用（2）中的猜想的结论计算： ① ②． 【答案】(1) (2) (3)①，② 【分析】（1）根据题中条件总结归纳即可求解； （2）根据题中条件总结归纳即可求解； （3）①根据题中条件可得，即可求出答案；②由题意可得：，从而求得答案． 【详解】（1）解：根据上式总结归纳得：， 故答案为：； （2）解：根据上式猜想得：， 故答案为：； （3）解：① ∴， ∴原式； ②由题意可得：， ∴ ∴． 【点睛】本题考查了新定义下的运算，灵活运用题中条件是解题关键． 类型九、整式乘法的实际应用问题 33．（23-24七年级下·江苏·期中）如图，在数学兴趣活动中，小吴将两根长度相同的铁丝，分别做成甲、乙两个长方形，面积分别为，，则的值是（   ） A． B． C．27 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了多项式的乘法运算及整式的加减运算；由两根铁丝长度相同，求出乙长方形的长，分别计算出，，则可计算． 【详解】解：由于两根铁丝长度相同，乙长方形的长为， 则，， ∴； 故选：D． 34．（23-24七年级下·江苏泰州·期中）小李同学制作了如图所示的卡片类、类、类各10张，其中、两类卡片都是正方形，类卡片是长方形．现要拼一个两边分别是和的大长方形，那么下列关于他所准备的类卡片的张数的说法中，正确的是（    ） A．够用，剩余5张 B．够用，剩余1张 C．不够用，缺2张 D．不够用，缺3张 【答案】D 【分析】本题主要考查多项式与多项式的乘法与图形的面积，根据大长方形的面积公式求出拼成大长方形的面积，再对比卡片的面积，即可求解． 【详解】解： ， ∵C类卡片的面积是，∴需要C类卡片的张数是13，∴C类卡片不够用，还缺3张．故选：D． 35．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）甲、乙两张长方形纸片，边长如图1所示，其中m＞0，面积分别为S甲和S乙． (1)判断和的大小关系，并说明理由； (2)将甲、乙两张纸片按图2方式放置，没有重叠的部分用阴影表示，甲纸片阴影部分的面积为，乙纸片阴影部分的面积为，若，求m的值． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了多项式乘法与图形面积： （1）根据多项式乘以多项式的计算法则分别求出和，然后利用作差法比较大小即可； （2）根据得到，则，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：，理由如下， 由题意得，， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 36．（23-24七年级下·江苏徐州·期中）某校有一块长为米，宽为米的长方形草坪，如图1所示，经该校校委会研究决定：现统一规划为在原基础上长增加米，宽减少a米，改造后得到一个如图2所示的长方形草坪．（） (1)请你求出图2中长方形草坪的面积（要求把结果化简）． (2)草坪改造后与改造前相比面积是增加还是减少了？请通过计算说明． 【答案】(1) (2)草坪改造后与改造前相比面积增加了，理由见解析 【分析】本题考查了整式混合运算的应用； （1）根据长方形的面积公式进行计算即可求解； （2）根据题意线求得图1的面积为，然后用图2的面积减去图1的面积，即可求解． 【详解】（1） ， （2）图1的面积为，， ． ． 草坪改造后与改造前相比面积增加了． 类型十、整式乘法的新定义问题 37．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”．如记；．已知，则的值是（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式乘以多项式、整式的加减，由系数可知，再根据题中新定义，将已知等式左边展开化简，然后使一次项系数相等即可求解． 【详解】解：∵系数为5， ∴， ∴ ， ∵， ∴， 故选：B． 38．（22-23七年级下·江苏·期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作；如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空：　　，，　　； (2)有同学在研究这种运算时发现一个现象：，他给出了如下的证明： 设， ， 即， ． ①若，，，请你尝试运用上述这种方法证明； ②猜想（结果化成最简形式）． 【答案】(1)2，，3； (2)①见解析；②， 【分析】（1）根据已知规定，结合乘方的运算法则进行计算，即可得到答案； （2）①根据已知规定，结合同底数幂乘法运算法则进行计算，即可证明结论； ②根据规定，结合同底数幂乘法已知的运算法则以及多项式乘以多项式的运算法则进行计算，即可得到答案． 【详解】（1）解：， ； ， ； ， ， 故答案为：2，，3； （2）解：①，，， ，，， ， ， ； ②设，， ， 由上述结论可知，，， ， ， ， ， 故答案为：，． 【点睛】本题以阅读理解形式考查乘方、同底数幂的乘法、整式的乘法等运算，理解题意，掌握相关运算法则是解题的关键． 《整式的乘法》期中压轴培优30题 一、单选题 1．（23-24七年级下·江苏南京·期中）若多项式与乘积的结果中不含的一次项，则常数的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式乘以多项式，解题的关键是熟练运用多项式乘多项式法则，根据法则即可求出答案． 【详解】原式 由题意可知：， ， 故选：B 2．（21-22八年级上·福建泉州·期末）若的结果中不含项，则a的值为（    ） A．0 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】把式子展开合并，找到项的系数，令其系数为0，可求出a的值，从而可得答案， 本题主要考查了多项式乘多项式的运算，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0． 【详解】解： ∵结果中不含项， ∴， ∴， 故选：B． 3．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）若，则a、b的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查的是整式的乘法运算，熟练的利用多项式乘以多项式的法则进行运算是解本题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选B． 4．（22-23七年级下·江苏泰州·期中）若的结果中不含项，则a、b满足的数量关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】原式利用多项式乘多项式法则计算，合并后根据结果不含项，即可求出a与b的值． 【详解】解： ∵不含项， ∴， ∴, 故选：C． 【点睛】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 5．（22-23七年级下·江苏·期中）若，则M与N的大小关系是(   ) A．由x的取值而定 B． C． D． 【答案】D 【分析】先将M和N别去括号计算，再根据即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查整式乘法运算，解题的关键是掌握整式乘法运算法则． 6．（22-23七年级下·江苏泰州·期中）若多项式不含项和项，则代数式的值为（   ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】依据多项式乘多项式法则将原式化简，结合不含项和可得，即可求解． 【详解】解： 多项式不含项和项， ， 得， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式法则，根据化简情况求代数式的值；理解不含项和即正确运算是解题的关键． 7．（17-18七年级下·全国·课后作业）根据需要将一块边长为的正方形铁皮按如图的方法截去一部分后，制成的长方形铁皮（阴影部分）的面积是多少？几名同学经过讨论给出了不同的答案，其中正确的是（    ） ①；②；③；④    A．①②④ B．①②③④ C．① D．②④ 【答案】A 【分析】阴影部分面积边长边长，或阴影部分面积正方形面积空白部分矩形面积，先找出各自的边长，再根据阴影部分面积的求法逐个验证即可． 【详解】解：①由题意得：阴影部分长方形的长和宽分别为、， 则阴影的面积．故①正确； ②如图所示：阴影部分的面积，故②正确；    ④如图所示：阴影部分的面积，故④正确；    ③由④知，③错误． 故正确的有①②④． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了整式的乘除运算多项式乘多项式．实际上也是去括号、合并同类项，理解好图形面积的多种表达形式是解题关键． 8．（19-20七年级下·浙江杭州·期末）如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的是（　　） ①小长方形的较长边为； ②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为； ③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值； ④当时，阴影A和阴影B的面积和为定值． A．①③ B．②④ C．①③④ D．①④ 【答案】A 【分析】由题意知，小长方形的较长边为 ，阴影A的较短边为 ，较长边为 ，阴影B的较短边为 ，较长边为15，根据各说法列代数式求解，进而可判断各说法的正误． 【详解】解：由题意知，小长方形的较长边为 ，①正确，故符合要求； 阴影A的较短边为 ，阴影B的较短边为 ， ∴阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为 ；②错误，故不符合要求； 阴影A的较长边为 ，阴影B的较长边为15， ∴阴影A和阴影B的周长和为 ， ∴若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值，③正确，故符合要求； 当时，阴影A和阴影B的面积和为 ，④错误，故不符合要求； ∴正确的有①③， 故选：A． 【点睛】本题考查了列代数式以及整式的混合运算．正确的列代数式表示阴影的边长是解题的关键． 二、填空题 9．（23-24七年级下·江苏泰州·期中）若多项式与乘积的结果中不含的一次项，则常数的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式与多项式的乘法，先根据多项式的乘法法则把展开，再由一次项的系数等于列式求解即可，熟练掌握多项式乘多项式运算法则，不含某一项就让这一项的系数等于，是解题的关键． 【详解】解：， ∵多项式与乘积的结果中不含的一次项， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（22-23七年级下·江苏扬州·期中）已知，则 ． 【答案】1 【分析】由条件先分别证明，，可得，可得，再整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题考查的是幂的乘法运算，同底数幂的乘法运算的逆运算，多项式乘以多项式，证明是解本题的关键． 11．（22-23七年级下·江苏无锡·期中）若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】由，，可得，即：，进而可得，化简后再代入，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，即：， ∴， 则 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查整式化简及幂的乘方，熟练掌握运算法则是解决问题的关键． 12．（22-23七年级下·江苏·期中）若的计算结果中不含x的一次项，则a的值是 ． 【答案】 【分析】先将原式进行计算，再合并同类项，根据一次项的系数等于0即可得到答案． 【详解】解： ∵计算结果中不含x的一次项， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查多项式乘多项式，解题的关键是计算出一次项的系数． 13．（22-23七年级下·江苏·阶段练习）如图①所示，长为、宽为（，均为定值，且）的小长方形纸片，现将张这样的小长方形纸片按如图②所示的方式不重叠地放在长方形内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．设左上角的阴影部分的面积为，右下角的阴影部分的面积为，记，当的长度变化时，按照同样的放置方式，此时的值始终保持不变，则，应满足的关系式是 ．（用含n的代数式表示m） 【答案】 【分析】分别表示出左上角阴影部分的面积和右下角的阴影部分的面积，两者求差，根据当的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，即可求得，的数量关系． 【详解】解：设左上角的阴影部分的面积为，右下角的阴影部分的面积为，记，， ∴ ∵当的长度变化时，的值始终保持不变， ∴ 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了整式的乘法与图形面积，整式的乘法无关类型，数形结合是解题的关键． 14．（21-22七年级下·江苏扬州·期末）现有两个边长为b的小正方形ABCD、EFGH和一个边长为a的大正方形．如图1，小明将两个边长为b的小正方形ABCD、EFGH有部分重叠地放在边长为a的大正方形内；如图2，小彤将一个边长为b的小正方形放在边长为a的大正方形外. 若图1中长方形AFGD的面积为80，重叠部分的长方形BCHE的面积为48，则图2中阴影部分的面积为 ． 【答案】42 【分析】由图1和已知可知：ab=80，b[b-（a-b）]=b（2b-a）=48，依此可求a，b，进一步可求图2中阴影部分的面积． 【详解】解：∵图1中长方形AFGD的面积为80，重叠部分的长方形BCHE的面积为48， ∴ab=80，b[b-（a-b）]=b（2b-a）=48， 解得a=10，b=8， ∴图2中阴影部分的面积为10×10+8×8-10×10÷2-（10+8）×8÷2=42． 故答案为：42． 【点睛】本题考查了整式的加减，列代数式，关键是求出a，b的值． 15．（23-24七年级下·江苏泰州·期中）数学学习中我们经常会采用构造几何图形的方法对代数式的变形加以说明．例如通过图1我们可以得到代数恒等式．事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，例如图2表示的是一个棱长为的正方体挖去一个小长方体，通过重新割补拼成一个新长方体，请你根据图2中图形的变化关系，写出一个代数恒等式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是整式的混合运算，利用直接法和间接法分别求得几何图形的体积，然后根据它们的体积相等列出等式是解题的关键． 【详解】∵原几何体的体积：，新几何体的体积：，∴根据体积相等，有：． 故答案为：． 16．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）如图，正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要C类卡片张数为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了多项式乘多项式的运算，拼成的大长方形的面积是，再根据不同类型的卡片的面积即可求解．需要熟练掌握运算法则并灵活运用，利用各个面积之和等于总的面积也比较关键． 【详解】解：由题意得：一个A类卡片的面积为，一个B类卡片的面积为，一个C卡片的面积为， ∵． ∴需要2个边长为的正方形，2个边长为的正方形和5个C类卡片， 故答案为：5． 17．（23-24七年级下·江苏泰州·期中）若对于m、n定义一种新运算：，例：，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘多项式，理解定义的新运算是解题的关键；按照定义的新运算进行计算，即可解答. 【详解】解：由题意得：， 故答案为：. 18．（21-22七年级下·江苏南京·期中）如图，请根据图中标的数据，计算大长方形的面积．通过面积不同的计算方法，可以得到的等式关系是： ． 【答案】 【分析】先利用长乘以宽表示大长方形的面积，再利用3个边长为a的小正方形、2个边长为b的小正方形、5个长宽分别为b和a的长方形面积和表示即可得到等式． 【详解】解：长方形的面积可以表示为， 长方形的面积还可以表示为， ∴. 故答案为：． 【点睛】本题考查了用代数式表示图形的面积，解题关键是理解整体与局部的关系，即局部面积之和等于整体面积． 三、解答题 19．（23-24七年级下·江苏泰州·期中）王老师在数学课上带领同学们做等式接龙游戏，他在黑板上写下4个等式：①；②；③；④．他要求同学们根据黑板上已写等式的规律，再任意写出一个等式．下面是3位同学的接龙等式：⑤；⑨；⑩ (1)上面3位同学的接龙等式与其他等式规律不相同的是______；（填序号） (2)探索以上等式的规律，写出第个等式，并说明第个等式成立的理由． 【答案】(1)⑤ (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查整式的乘法运算，理解题目中数字运算规律，找出式子之间的联系，是解决问题的关键． （1）根据题目中的式子的变化规律可以解答本题； （2）根据题目中的式子的变化规律可以写出第个等式，再利用多项式的乘法法则加以证明． 【详解】（1）解：由题意可知，等号的右边的第一个因数是从1开始的连续自然数，第二个因数比第一个因数对应多4，再加上3，结果等于从2开始连续自然数乘对应比第一个因数多2的积． ∴上面3位同学的接龙等式与其他等式规律不相同的是⑤， 故答案为：⑤； （2）由题意可知，第个等式为， 证明：∵，， ∴， 即：成立． 20．（22-23七年级下·江苏泰州·期中）小明用两根同样长的铁丝分别围成一个长方形与一个正方形，若长方形的长为，宽为； (1)用含、的代数式表示正方形的边长为_____； (2)设长方形的长比宽多，求正方形面积与长方形面积的差． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先表示出长方形的周长，再根据正方形的周长公式求出正方形的边长即可； （2）设长方形的长和宽分别为和，分别表示出长方形的周长和面积，再得到正方形的面积，最后作差即可． 【详解】（1）解：∵长方形的长为，宽为， ∴长方形的周长为， ∵用两根同样长的铁丝分别围成一个长方形与一个正方形， ∴正方形的边长为． 故答案为：． （2）解：设长方形的长和宽分别为和， 则长方形的周长为，面积为， ∵长方形和正方形的周长相等， ∴正方形的周长为，其边长为， ∴正方形的面积为， ∴正方形面积与长方形面积的差为：． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算的应用，掌握长方形和正方形的周长和面积公式以及周长相等的条件是解题的关键． 21．（22-23七年级下·江苏扬州·期中）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，利用几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中． (1)我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形，图中各四边形均为长方形，找出可以推出的代数公式；（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号）        公式①： 公式②： 公式③： 图1对应公式________，图2对应公式________，图3对应公式________； (2)请仿照（1）设计几何图形来推理说明公式； (3)《几何原本》中记载了一种利用几何图形证明平方差公式的方法，如图，请写出证明过程．（图中各四边形均为长方形）      【答案】(1)②，③，① (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）图1中大长方形面积等于三个小长方形的面积之和，图2中大长方形面积等于四个小长方形面积之和，图3中大正方形面积等于两个小正方形面积与两个小长方形的面积之和，据此根据图形即可得到答案； （2）仿照题意进行求解即可； （3）先求出，再由， 即可证明结论． 【详解】（1）解：由题意得，图1对应公式②，图2对应公式③，图3对应公式①， 故答案为：②，③，①； （2）解：如图所示，即为所求；        （3）证明：∵，， ∴ ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，正确理解题意利用数形结合的思想求解是解题的关键． 22．（22-23七年级下·江苏宿迁·期中）观察下列各式： ， ， ， … (1)根据你的观察，直接写出结果：________；________； (2)探究规律： 根据以上的观察、计算，你能发现什么规律，用相关等式进行表述，并说明理由； (3)应用：直接写出计算结果________． 【答案】(1)3025；5625 (2)；理由见解析 (3)38025 【分析】（1）根据题干给出的计算方法进行计算即可； （2）根据已知计算，推出相应的计算规律即可； （3）根据规律进行计算即可． 【详解】（1）解：，； 故答案为：3025；5625； （2）解： 理由： ； 即：； （3）解：； 故答案为：38025． 【点睛】本题考查有理数计算中的规律探究．根据已知计算，推断出相应的数字规律，是解题的关键． 23．（22-23七年级下·江苏常州·期中）将一张长方形大铁皮切割成九块，切痕如下图虚线所示，其中有两块是边长都为的大正方形，两块是边长都为的小正方形，五块是长、宽分别是，的相同的小长方形，且． (1)用不同的代数式表示图中大长方形的面积，直接写出你能得到的等式； (2)已知，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）从整体观察得出这张大铁皮的长为，宽为，可得大长方形的面积，也可以先计算九个部分的面积，再相加可得这张大铁皮的面积； （2）依据（1）的结论，利用整体代入求出即可得出答案． 【详解】（1）解：∵将一张长方形大铁皮切割成九块，其中有两块是边长都为的大正方形，两块是边长都为的小正方形，五块是长、宽分别是，的相同的小长方形，且， ∴这个大长方形的长为，宽为， ∴这个大长方形的面积为， 又∵这个大长方形的可以看成由九个部分组成，其中两个大正方形的面积为，五块小长方形的面积为，两个小正方形的面积为， ∴这个大长方形的面积为， ∴． （2）∵， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的值为． 【点睛】本题考查列代数式以及整式的乘法，求代数式的值，正方形和长方形的面积，运用了等积法和整体代入的思想．解题的关键是理解题意，列出等式． 24．（22-23七年级下·江苏南京·期中）如图，某体育训练基地，有一块长米，宽米的长方形空地，现准备在这块长方形空地上建一个长a米，宽米的长方形游泳池，剩余四周全部修建成休息区．（结果需要化简） (1)求长方形游泳池面积； (2)求休息区面积； (3)比较休息区与游泳池面积的大小关系． 【答案】(1)平方米 (2)平方米 (3)休息区的面积大于游泳池面积 【分析】（1）利用长方形的面积公式和单项式乘多项式的法则解答即可； （2）利用空地的面积减去长方形游泳池的面积即可； （3）利用休息区与游泳池面积的差的大小进行解答即可． 【详解】（1）长方形游泳池面积为： 平方米； （2）∵长方形空地的面积为： 平方米， ∴休息区面积 平方米； （3）∵ ， ∴休息区的面积大于游泳池面积． 【点睛】本题主要考查了长方形的面积，多项式乘多项式，单项式乘多项式，配方法，完全平方式，熟练掌握长方形的面积公式和配方法是解题的关键． 25．（22-23七年级下·江苏宿迁·期中）海伦是古希腊数学家，约公元62年左右活跃于亚历山大，年青时海伦酷爱数学，他的代表作《量度论》主要是研究面积、体积和几何分比问题，其中一段探究三角形面积的方法翻译如下：如图，设三角形面积为，以三角形各边为边向外作正方形，三个正方形的面积分别记作、、，定义：；；；；，经研究发现，．如：三角形三条边分别为13、14、15，则，，，，；；；，所以，故三角形的面积． (1)若，则_______．_______． (2)当；；时． ①求的表达式； ②若，求三角形的面积． 【答案】(1)6，11 (2)①；②三角形的面积． 【分析】（1）根据定义计算即可求解； （2）①根据，利用整式乘法运算法则计算即可求解； ②先求得的值，再根据定义分别求得、、的值，根据，求得，代入①中即可求解. 【详解】（1）解：∵， ∴， ；；； ∴； 故答案为：6，11； （2）解：①∵；；， ∴ ； ②∵， ∴， ∴，故； ，故； ，故； ∴， ∴， ∴， ∴， 故三角形的面积． 【点睛】本题考查了整式的乘法的应用，掌握新定义的内容，整式乘法的运算法则是解题的关键. 26．（22-23七年级下·江苏无锡·期中）【阅读理解】： 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差变形，利用差的符号确定它们的大小．即要比较代数式、的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则． 【知识运用】： （1）请用上述方法比较下列代数式的大小（直接在空格中填写答案） ①__________；②当时，__________；③若，则__________； （2）试比较与与的大小，并说明理由； 【类比运用】： （3）图1是边长为4的正方形，将正方形一边保持不变，另一组对边增加 得到如图2所示的新长方形，此长方形的面积为；将正方形的边长增加，得到如图3所示的新正方形，此正方形的面积为；则与大小的大小关系为： ； （4）已知，，试运用上述方法比较、的大小，并说明理由． 【答案】（1）＞；＞；＜；（2）；（3）＜；（4），理由见解析 【分析】（1）①用减去，将所得的差再和0比较大小，即可判断；②用减去，再结合，将所得的差再和0比较大小，即可判断；③用减去，然后变形为，再结合，即可判断； （2）先求出与的差，再变形为，即可判断； （3）根据图形表示出新长方形的面积和新正方形的面积，再利用作差法比较即可； （4）设，则，，用减去，再和0比较大小，即可判断． 【详解】解：（1）①∵， ∴； ②∵， 又∵， ∴， ∴； ③∵， 又∵， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：；；； （2） ， ， ， ； （3）∵新长方形的长为，宽为， ∴新长方形的面积， ∵新正方形的长为， ∴新正方形的面积， ∴ ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （4），理由如下： 设，则，， ， ． 【点睛】本题探索了比较两个数或代数式的大小时常采用的“作差法”，考查了整式的混合运算，有理数的混合运算，不等式的性质，长方形和正方形的面积等知识．读懂方法，利用所学知识和方法计算化简是解题的关键． 27．（22-23七年级下·江苏·期中）观察下列等式 ①； ②； ③； … (1)仿照上面的式子，写出一个符合以上规律的式子是：__________； (2)试用字母表示上述式子的规律，并说明结论的正确性． 【答案】(1)； (2)，说明见解析． 【分析】（1）根据题干中的等式找出规律，写出新的式子即可； （2）根据题干发现的规律，由特殊到一般，得出结论，再证明正确性即可． 【详解】（1）解：通过观察，写出新的式子为， 故答案为：； （2）解：，说明如下： 左边右边， 结论成立． 【点睛】本题考查了数字类规律探索，关键是由特殊到一般，得出一般规律，运用整式的运算进行验证． 28．（22-23七年级上·江苏扬州·期中）我国著名的数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非”． 【I】如图，请你用“数形结合”的思想． (1)求的值为　 　； (2)请你利用（1）结论，求下列各式的值： ①=　 　； ②计算： 【II】将若干个同样大小的小长方形纸片拼成如图形状的大长方形（小长方形纸片宽为a，长为b），请你仔细观察图形，解答下列问题： (3)a和b之间的关系满足　 ． (4)图中阴影部分的面积与大长方形面积的比值是　 　． (5)请你仔细观察图中的一个阴影部分，根据面积的不同表示方法，请你写出与，三个代数式之间的等量关系　 ； (6)应用：根据探索中的等量关系，解决如下问题：， ，求的值． 【答案】(1) (2)； (3) (4) (5) (6)11或 【分析】（1）根据图形面积得出这些数的和即为1与的面积差，即可解答； （2）①根据（1）中总结的规律，进行计算即可；②将算式变形为符合（1）中规律的形式，再进行计算即可； （3）由大长方形的长的不同拼图即可解答； （4）根据，将大长方形的长和宽用a表示，求出面积；再将阴影部分的面积为用a表示，即可解答； （5）将阴影部分面积表示为大正方形减去四个小长方形即可解答； （6）根据（5）中得出的结论，带入进行计算即可． 【详解】（1）解： 故答案为：； （2）①分析得： ． 故答案为：； ②分析得： ． 故答案为：． （3）由大长方形的长的不同拼图可得，即， 故答案为：； （4）由于，大长方形的长为，宽为，因此面积为； 阴影部分的面积为； 因此其比值为， 故答案为：； （5）如图， 阴影正方形的边长为，因此面积为， 正方形ABCD的边长为，因此面积为， 四个小矩形的面积为， 因此有， 故答案为：； （6）∵， ， ∴， ∵， ∴或． 【点睛】本题主要考查了数字和图形的规律，以及整式的混合运算，解题的关键是仔细观察图形，总结出变化规律，并用代数式进行表示． 29．（22-23七年级下·江苏苏州·期中）阅读以下材料，回答下列问题： 小明遇到这样一个问题：求计算所得多项式的一次项系数．小明想通过计算所得的多项式解决上面的问题，但感觉有些繁琐，他想探寻一下，是否有相对简洁的方法． 他决定从简单情况开始，先找所得多项式中的一次项系数．通过观察发现：    也就是说，只需用中的一次项系数1乘以中的常数项3，再用中的常数项2乘以中的一次项系数2，两个积相加，即可得到一次项系数． 延续．上面的方法，求计算所得多项式的一次项系数．可以先用的一次项系数1，的常数项3，的常数项4，相乘得到12；再用的一次项系数2，的常数项2，的常数项4，相乘得到16；然后用的一次项系数3，的常数项2，的常数项3，相乘得到18，最后将12，16，18相加，得到的一次项系数为46． 参考小明思考问题的方法，解决下列问题： (1)计算所得多项式的一次项系数为______． (2)计算所得多项式的一次项系数为______． (3)若计算所得多项式的一次项系数为0，则______． (4)计算所得多项式的一次项系数为______，二次项系数为______． (5)计算所得多项式的一次项系数为______，二次项系数为______． 【答案】(1)7 (2) (3) (4)5，10 (5)10， 【分析】（1）结合已知可得所得多项式的一次项系数，即可求解； （2）结合已知可得所得多项式的一次项系数，即可求解； （3）由所得多项式中不含一次项，可得，即可求解； （4）（5）根据题目中提供的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：7； （2）， 故答案为：； （3）由题意得，， 也就是，， 所以，； 故答案为：； （4） 一次项系数为：； 二次项系数为：． 故答案为：5，10； （5）． ． 一次项系数为：， 二次项系数为： ． 故答案为：10；． 【点睛】本题考查多项式乘以多项式，理解多项式乘以多项式所得的多项式每一项的系数是解决问题的关键． 30．（21-22七年级下·江苏无锡·期中）提出问题：怎么运用矩形面积表示(y+2)(y+3)与2y+5的大小关系（其中y>0）？ 几何建模： （1）画长y+3，宽y+2的矩形，按图方式分割 （2）变形：2y+5=(y+2)+(y+3) （3）分析：图中大矩形的面积可以表示为(y+2)(y+3)；阴影部分面积可以表示为(y+3)×1，画点部分的面积可表示为y+2，由图形的部分与整体的关系可知： (y+2)(y+3)＞(y+2)+(y+3)，即(y+2)(y+3)＞2y+5 归纳提炼： 当a>2，b>2时，表示ab与a+b的大小关系．根据题意，设a=2+m，b=2+n(m>0，n>0)，要求参照上述研究方法，画出示意图，并写出几何建模步骤（用铅笔画图，并标注相关线段的长） 【答案】ab＞a+b．见解析 【分析】画长为2+m，宽为2+n的矩形，并按图方式分割．图中大矩形面积可表示为（2+m）（2+n），阴影部分面积可表示为2+m与2+n的和．由图形的部分与整体的关系可知ab＞a+b． 【详解】解：（1）画长为2+m，宽为2+n的矩形，并按图方式分割． （2）变形：a+b=（2+m）+（2+n） （3）分析：图中大矩形面积可表示为（2+m）（2+n）；阴影部分面积可表示为2+m与2+n的和．由图形的部分与整体的关系可知，（2+m）（2+n）＞（2+m）+（2+n），即ab＞a+b． 【点睛】本题主要考查了作图-应用与设计作图及整式的混合运算，解题的关键是利用数形结合思想建立了代数（速算、方程与不等式等）与几何图形之间的内在联系． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02整式的乘法（10大类型+30道期中压轴培优） 目录 类型一、单项式乘单项式 1 类型二、单项式乘多项式 1 类型三、单项式乘多项式的应用 1 类型四、多项式乘多项式 2 类型五、整式乘法的混合运算 2 类型六、整式乘法的化简求值 2 类型七、整式乘法的不含某一项问题 3 类型八、整式乘法的规律探究问题 3 类型九、整式乘法的实际应用问题 4 类型十、整式乘法的新定义问题 5 《整式的乘法》期中压轴培优30题 5 类型一、单项式乘单项式 1．（22-23七年级下·江苏南京·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．（21-22七年级下·江苏徐州·期中）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 3．（22-23七年级下·江苏泰州·期中）若单项式与是同类项，那么这两个单项式的积是 4．（22-23七年级下·江苏·期中）一个正方体的棱长是，那么它的体积是 ． 类型二、单项式乘多项式 5．（23-24七年级下·江苏南京·期中）计算的结果为 ． 6．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）计算的结果中次数是6的项的系数是 ． 7．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）若，那么 ． 8．（23-24七年级下·江苏徐州·期中）计算： ． 类型三、单项式乘多项式的应用 9．（22-23七年级下·江苏常州·期中）若三角形的底边为，对应的高为，则此三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）一个长方形的长为，宽为，则这个长方形的面积为 ． 11．（22-23七年级下·江苏宿迁·期中）一个长方体的长、宽、高分别为、、，它的体积等于 ． 12．（22-23七年级下·江苏南京·期中）若中不含有x的四次项，则a的值为 ． 类型四、多项式乘多项式 13．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）下列各式中，计算结果等于的是（    ） A． B． C． D． 14．（22-23七年级下·江苏淮安·期中）已知的计算结果中不含项，则p的值为 ． 15．（22-23七年级下·江苏徐州·期中）若，那么 . 16．（22-23七年级下·江苏无锡·期中）若，则b等于 ． 类型五、整式乘法的混合运算 17．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）计算： (1) (2) 18．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 19．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 20．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）计算： （1）； （2）． 类型六、整式乘法的化简求值 21．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）先化简，再求值：，其中． 22．（22-23七年级下·江苏苏州·期中）先化简，再求值：，其中． 23．（22-23七年级下·江苏盐城·期中）先化简，再求值：，其中 24．（22-23七年级下·江苏无锡·期中）若，，则 ． 类型七、整式乘法的不含某一项问题 25．（22-23七年级下·江苏扬州·期中）如果与的乘积中不含x的一次项，则m的值为（    ） A． B． C． D． 26．（23-24七年级下·江苏常州·期中）若与的乘积中不含的一次项，则的值为 27．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）计算结果中不含x的一次项，则常数a的值为 ． 28．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）若的展开式中不含的一次项，则实数m的值为 ． 类型八、整式乘法的规律探究问题 29．（21-22七年级下·江苏宿迁·期中）观察下列各式的计算结果与相乘的两个多项式之间的关系： ； ； ． 你发现有什么规律?按你发现的规律填空： （_____＋______）_____×______ 你能很快说出与相等的多项式吗?先猜一猜，再用多项式相乘的运算法则验证． 30．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）阅读以下内容：，，，根据这一规律，计算： ． 31．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）大家一定熟知杨辉三角形（I），观察下列等式（Ⅱ）． 根据以上规律，的展开式中的系数是 ． 32．（22-23七年级下·江苏苏州·期中）填空： ； ； ； … (1) ； (2)猜想： ；（其中为正整数，且） (3)利用（2）中的猜想的结论计算： ① ②． 类型九、整式乘法的实际应用问题 33．（23-24七年级下·江苏·期中）如图，在数学兴趣活动中，小吴将两根长度相同的铁丝，分别做成甲、乙两个长方形，面积分别为，，则的值是（   ） A． B． C．27 D．3 34．（23-24七年级下·江苏泰州·期中）小李同学制作了如图所示的卡片类、类、类各10张，其中、两类卡片都是正方形，类卡片是长方形．现要拼一个两边分别是和的大长方形，那么下列关于他所准备的类卡片的张数的说法中，正确的是（    ） A．够用，剩余5张 B．够用，剩余1张 C．不够用，缺2张 D．不够用，缺3张 35．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）甲、乙两张长方形纸片，边长如图1所示，其中m＞0，面积分别为S甲和S乙． (1)判断和的大小关系，并说明理由； (2)将甲、乙两张纸片按图2方式放置，没有重叠的部分用阴影表示，甲纸片阴影部分的面积为，乙纸片阴影部分的面积为，若，求m的值． 36．（23-24七年级下·江苏徐州·期中）某校有一块长为米，宽为米的长方形草坪，如图1所示，经该校校委会研究决定：现统一规划为在原基础上长增加米，宽减少a米，改造后得到一个如图2所示的长方形草坪．（） (1)请你求出图2中长方形草坪的面积（要求把结果化简）． (2)草坪改造后与改造前相比面积是增加还是减少了？请通过计算说明． 类型十、整式乘法的新定义问题 37．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”．如记；．已知，则的值是（    ） A．4 B．5 C． D． 38．（22-23七年级下·江苏·期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作；如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空：　　，，　　； (2)有同学在研究这种运算时发现一个现象：，他给出了如下的证明： 设， ， 即， ． ①若，，，请你尝试运用上述这种方法证明； ②猜想（结果化成最简形式）． 《整式的乘法》期中压轴培优30题 一、单选题 1．（23-24七年级下·江苏南京·期中）若多项式与乘积的结果中不含的一次项，则常数的值是（   ） A． B． C． D． 2．（21-22八年级上·福建泉州·期末）若的结果中不含项，则a的值为（    ） A．0 B．2 C． D． 3．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）若，则a、b的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 4．（22-23七年级下·江苏泰州·期中）若的结果中不含项，则a、b满足的数量关系为（    ） A． B． C． D． 5．（22-23七年级下·江苏·期中）若，则M与N的大小关系是(   ) A．由x的取值而定 B． C． D． 6．（22-23七年级下·江苏泰州·期中）若多项式不含项和项，则代数式的值为（   ） A．2 B． C． D．3 7．（17-18七年级下·全国·课后作业）根据需要将一块边长为的正方形铁皮按如图的方法截去一部分后，制成的长方形铁皮（阴影部分）的面积是多少？几名同学经过讨论给出了不同的答案，其中正确的是（    ） ①；②；③；④    A．①②④ B．①②③④ C．① D．②④ 8．（19-20七年级下·浙江杭州·期末）如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的是（　　） ①小长方形的较长边为； ②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为； ③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值； ④当时，阴影A和阴影B的面积和为定值． A．①③ B．②④ C．①③④ D．①④ 二、填空题 9．（23-24七年级下·江苏泰州·期中）若多项式与乘积的结果中不含的一次项，则常数的值是 ． 10．（22-23七年级下·江苏扬州·期中）已知，则 ． 11．（22-23七年级下·江苏无锡·期中）若，，则的值为 ． 12．（22-23七年级下·江苏·期中）若的计算结果中不含x的一次项，则a的值是 ． 13．（22-23七年级下·江苏·阶段练习）如图①所示，长为、宽为（，均为定值，且）的小长方形纸片，现将张这样的小长方形纸片按如图②所示的方式不重叠地放在长方形内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．设左上角的阴影部分的面积为，右下角的阴影部分的面积为，记，当的长度变化时，按照同样的放置方式，此时的值始终保持不变，则，应满足的关系式是 ．（用含n的代数式表示m） 14．（21-22七年级下·江苏扬州·期末）现有两个边长为b的小正方形ABCD、EFGH和一个边长为a的大正方形．如图1，小明将两个边长为b的小正方形ABCD、EFGH有部分重叠地放在边长为a的大正方形内；如图2，小彤将一个边长为b的小正方形放在边长为a的大正方形外. 若图1中长方形AFGD的面积为80，重叠部分的长方形BCHE的面积为48，则图2中阴影部分的面积为 ． 15．（23-24七年级下·江苏泰州·期中）数学学习中我们经常会采用构造几何图形的方法对代数式的变形加以说明．例如通过图1我们可以得到代数恒等式．事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，例如图2表示的是一个棱长为的正方体挖去一个小长方体，通过重新割补拼成一个新长方体，请你根据图2中图形的变化关系，写出一个代数恒等式： ． 16．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）如图，正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要C类卡片张数为 ． 17．（23-24七年级下·江苏泰州·期中）若对于m、n定义一种新运算：，例：，则 ． 18．（21-22七年级下·江苏南京·期中）如图，请根据图中标的数据，计算大长方形的面积．通过面积不同的计算方法，可以得到的等式关系是： ． 三、解答题 19．（23-24七年级下·江苏泰州·期中）王老师在数学课上带领同学们做等式接龙游戏，他在黑板上写下4个等式：①；②；③；④．他要求同学们根据黑板上已写等式的规律，再任意写出一个等式．下面是3位同学的接龙等式：⑤；⑨；⑩ (1)上面3位同学的接龙等式与其他等式规律不相同的是______；（填序号） (2)探索以上等式的规律，写出第个等式，并说明第个等式成立的理由． 20．（22-23七年级下·江苏泰州·期中）小明用两根同样长的铁丝分别围成一个长方形与一个正方形，若长方形的长为，宽为； (1)用含、的代数式表示正方形的边长为_____； (2)设长方形的长比宽多，求正方形面积与长方形面积的差． 21．（22-23七年级下·江苏扬州·期中）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，利用几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中． (1)我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形，图中各四边形均为长方形，找出可以推出的代数公式；（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号）        公式①： 公式②： 公式③： 图1对应公式________，图2对应公式________，图3对应公式________； (2)请仿照（1）设计几何图形来推理说明公式； (3)《几何原本》中记载了一种利用几何图形证明平方差公式的方法，如图，请写出证明过程．（图中各四边形均为长方形）      22．（22-23七年级下·江苏宿迁·期中）观察下列各式： ， ， ， … (1)根据你的观察，直接写出结果：________；________； (2)探究规律： 根据以上的观察、计算，你能发现什么规律，用相关等式进行表述，并说明理由； (3)应用：直接写出计算结果________． 23．（22-23七年级下·江苏常州·期中）将一张长方形大铁皮切割成九块，切痕如下图虚线所示，其中有两块是边长都为的大正方形，两块是边长都为的小正方形，五块是长、宽分别是，的相同的小长方形，且． (1)用不同的代数式表示图中大长方形的面积，直接写出你能得到的等式； (2)已知，，求的值． 24．（22-23七年级下·江苏南京·期中）如图，某体育训练基地，有一块长米，宽米的长方形空地，现准备在这块长方形空地上建一个长a米，宽米的长方形游泳池，剩余四周全部修建成休息区．（结果需要化简） (1)求长方形游泳池面积； (2)求休息区面积； (3)比较休息区与游泳池面积的大小关系． 25．（22-23七年级下·江苏宿迁·期中）海伦是古希腊数学家，约公元62年左右活跃于亚历山大，年青时海伦酷爱数学，他的代表作《量度论》主要是研究面积、体积和几何分比问题，其中一段探究三角形面积的方法翻译如下：如图，设三角形面积为，以三角形各边为边向外作正方形，三个正方形的面积分别记作、、，定义：；；；；，经研究发现，．如：三角形三条边分别为13、14、15，则，，，，；；；，所以，故三角形的面积． (1)若，则_______．_______． (2)当；；时． ①求的表达式； ②若，求三角形的面积． 26．（22-23七年级下·江苏无锡·期中）【阅读理解】： 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差变形，利用差的符号确定它们的大小．即要比较代数式、的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则． 【知识运用】： （1）请用上述方法比较下列代数式的大小（直接在空格中填写答案） ①__________；②当时，__________；③若，则__________； （2）试比较与与的大小，并说明理由； 【类比运用】： （3）图1是边长为4的正方形，将正方形一边保持不变，另一组对边增加得到如图2所示的新长方形，此长方形的面积为；将正方形的边长增加，得到如图3所示的新正方形，此正方形的面积为；则与大小的大小关系为： ； （4）已知，，试运用上述方法比较、的大小，并说明理由． 27．（22-23七年级下·江苏·期中）观察下列等式 ①； ②； ③； … (1)仿照上面的式子，写出一个符合以上规律的式子是：__________； (2)试用字母表示上述式子的规律，并说明结论的正确性． 28．（22-23七年级上·江苏扬州·期中）我国著名的数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非”． 【I】如图，请你用“数形结合”的思想． (1)求的值为　 　； (2)请你利用（1）结论，求下列各式的值： ①=　 　； ②计算： 【II】将若干个同样大小的小长方形纸片拼成如图形状的大长方形（小长方形纸片宽为a，长为b），请你仔细观察图形，解答下列问题： (3)a和b之间的关系满足　 ． (4)图中阴影部分的面积与大长方形面积的比值是　 　． (5)请你仔细观察图中的一个阴影部分，根据面积的不同表示方法，请你写出与，三个代数式之间的等量关系　 ； (6)应用：根据探索中的等量关系，解决如下问题：， ，求的值． 29．（22-23七年级下·江苏苏州·期中）阅读以下材料，回答下列问题： 小明遇到这样一个问题：求计算所得多项式的一次项系数．小明想通过计算所得的多项式解决上面的问题，但感觉有些繁琐，他想探寻一下，是否有相对简洁的方法． 他决定从简单情况开始，先找所得多项式中的一次项系数．通过观察发现：    也就是说，只需用中的一次项系数1乘以中的常数项3，再用中的常数项2乘以中的一次项系数2，两个积相加，即可得到一次项系数． 延续．上面的方法，求计算所得多项式的一次项系数．可以先用的一次项系数1，的常数项3，的常数项4，相乘得到12；再用的一次项系数2，的常数项2，的常数项4，相乘得到16；然后用的一次项系数3，的常数项2，的常数项3，相乘得到18，最后将12，16，18相加，得到的一次项系数为46． 参考小明思考问题的方法，解决下列问题： (1)计算所得多项式的一次项系数为______． (2)计算所得多项式的一次项系数为______． (3)若计算所得多项式的一次项系数为0，则______． (4)计算所得多项式的一次项系数为______，二次项系数为______． (5)计算所得多项式的一次项系数为______，二次项系数为______． 30．（21-22七年级下·江苏无锡·期中）提出问题：怎么运用矩形面积表示(y+2)(y+3)与2y+5的大小关系（其中y>0）？ 几何建模： （1）画长y+3，宽y+2的矩形，按图方式分割 （2）变形：2y+5=(y+2)+(y+3) （3）分析：图中大矩形的面积可以表示为(y+2)(y+3)；阴影部分面积可以表示为(y+3)×1，画点部分的面积可表示为y+2，由图形的部分与整体的关系可知： (y+2)(y+3)＞(y+2)+(y+3)，即(y+2)(y+3)＞2y+5 归纳提炼： 当a>2，b>2时，表示ab与a+b的大小关系．根据题意，设a=2+m，b=2+n(m>0，n>0)，要求参照上述研究方法，画出示意图，并写出几何建模步骤（用铅笔画图，并标注相关线段的长） 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$