精品解析：四川省广安市2025届高三第二次诊断性考试数学试题

广安市高2022级第二次诊断性考试 数学试题 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、座位号和准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 5.考试结束后，只将答题卡交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则中元素个数为（ ） A. 1 B. 0 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】先确定集合，，再求他们的交集. 【详解】因为，， 所以，有2个元素. 故选：D. 2. 下列函数在定义域上既是增函数又是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据基本初等函数的性质一一判断即可. 【详解】对于A：为定义域上的增函数，但是为非奇非偶函数，故A错误； 对于B：在定义域上不具有单调性，故B错误； 对于C：定义域上的增函数，且为奇函数，故C正确； 对于D：在定义域上不具有单调性，故D错误. 故选：C 3. 已知的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出，再由正弦定理计算可得. 【详解】因为，，所以， 由正弦定理，可得. 故选：B 4. 三棱锥中，平面，为以为直径的半圆圆周上的动点（不同于、的点）.若，，则该三棱锥体积的最大值为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由线面垂直得到线线垂直，再由线线垂直的证明线面垂直，再由线面垂直的性质得到，由勾股定理求得.设设，，由勾股定理得，然后由基本不等式求得的面积的最大值，从而求得三棱锥体积的最大值. 【详解】平面，平面，， 以为直径的半圆圆周上动点（不同于，的点），所以，，平面，平面， 平面， 平面，∴， 在中，，，则， 平面，平面，， 在中，设，，（，）， 则由，得， ， 当且仅当，且，即时，等号成立， ， 该三棱锥体积的最大值为4. 故选：A. 5. 关于二项式，若展开式中含的项的系数为21，则（ ） A. 2 B. 1 C. 3 D. -1 【答案】D 【解析】 【分析】分别计算展开式中项系数和项系数，进而可求解. 【详解】展开式中项系数为：，项系数为：, 所以展开式中含的项的系数， 解得， 故选：D 6. 广安白塔始建于1174年至1224年间，塔的一至五层为石结构，六至九层为砖结构，每层均为四方结构（即每层底面为正方形），为第一层下底面四边形的外接圆内一点，经测算，每一层的高度恰为过的弦的长度的二分之一，并构成等差数列，顶层的高度为过点的圆的最短弦长度的一半，第一层的高度为过点的圆的最长弦长度的一半.已知该塔第一层底面四边形的边长为米，米，则塔高为（ ） A. 41米 B. 40.5米 C. 39.5米 D. 38.7米 【答案】B 【解析】 【分析】先根据已知得出，再结合等差数列求和公式计算求解即可. 【详解】由题意，底面为正方形且第一层底面四边形的边长为米，最长弦长为直径，即米， 最短弦长和最长弦长垂直，由弦长公式得， ，所以米. 故选：B. 7. 若双曲线的焦距为，过右顶点的直线与双曲线的一条渐近线平行.已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为（ ） A. 2或 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意不妨设直线的方程为，得，原点到直线的距离为得，利用即可求解. 【详解】由对称性可知，不妨设直线的方程为， 即， 于是有，又，故， 即， 两边平方得，所以， 即，即， 解得或， 因为，所以，， 故，所以. 故选：C 8. 若函数的定义域内存在，，使得成立，则称该函数为“完备函数”.已知是上的“完备函数”，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由诱导公式和辅助角公式化简函数，由“完备函数”的定义得到关系式，结合三角函数的有界性，得到，从而得到在上至少存在两个最大值点，即可得中至少存在两个整数，然后求得的取值范围. 【详解】由 ， 即是上的“完备函数”，所以存在，，使得成立； 即存在，，使得成立； 又因为，因此，即在上至少存在两个最大值点， 令，则，即， 则至少存在两个整数， ∴， 当，即一定满足题意. 又∵，即， ∴，即 ∴当取1，2时，，则， ∴， 综上可知的取值范围为. 故选：D 【点睛】思路点睛，本题定义了“完备函数”，所以先化简函数，然后得到其性质，然后结合三角函数的有界性得到函数在区间内最大值点的个数，然后再转化为整数解的个数问题. 二、多选题：本题共3个小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 具有相关关系的两个变量，的相关系数为，那么越接近于0，则，之间的线性相关程度越高 B. 将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变 C. 数据，，，，，，，，，，，的上四分位数是154 D. 设随机变量的均值为，是不等于的常数，则相对于的偏离程度小于相对于的偏离程度 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A由相关系数的定义即可判断，对于B利用方差的性质即可判断，对于C利用上四分位数的定义即可判断，对于D利用均值的性质即可判断. 【详解】对于A：由具有相关关系的两个变量，的相关系数为，那么越接近于，，之间的线性相关程度越低，故A错误； 对于B：由方差的性质可知B正确； 对于C：因为，所以甲组数据的上四分位数是第9个数与第10个数的平均数，即，故C错误； 对于D：因为，所以，同理， 又随机变量的均值为，是不等于的常数，所以，， 所以相对于的偏离程度小于相对于的偏离程度，故D正确. 故选：BD. 10. 设为数列的前项和，若，，若，则下列结论正确的有（ ） A. B. 数列为递减数列 C. 当时，取得最小值 D. 当时，的最小值为8 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知条件和累加法求出数列的前项和，再利用与的关系式求出数列的通项公式，再结合已知条件逐项计算判断即可. 【详解】由条件可知得， ，，…，， 累加得，， 故，当时，满足上式， . 当时，. 对于A，，故A正确； 对于B，由于函数，其图象对称轴为，当时函数递增， 故当时，单调递增，又，， 单调递增，且，故B错误； 对于C，由B可知， 当时，单调递减，当时，单调递增，且， 当时，取得最小值，故C正确； 对于D，当时，单调递增，又，， 当时，的最小值为8，故D正确； 故选：ACD. 11. 已知定义域为的函数满足，.数列的首项为1，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由题意，根据求导法则，求得函数的解析式，代入，可得A的正误；构造函数，利用导数求得其最值，可得B的正误；由函数解析式求得数列的递推公式，利用B才不等式进行放缩，构造函数证明数列单调性，可得CD的正误. 【详解】因为，所以， 又，. 取可得，由， 令，得. ，，， ，，故A正确； 设，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，， ，即，当且仅当时，等号成立. 故，又，所以，故B正确. 由，所以， 得， 即，所以， ，即， 因为函数定义域为， 所以，有，即， 下证数列单调递减，即证，即证， 即证，即证， 令，则， 当时，，所以在上单调递减. 因为，，所以，即数列单调递减， 所以，，故C正确，D错误. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在复平面内，复数的对应点坐标为，则的共轭复数为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据复数的几何意义可知，再利用复数的乘法法则及共轭复数的定义即可求解. 【详解】∵复数的对应点坐标为，∴， ，∴的共轭复数为. 故答案为：. 13. 已知在中，，，，，在上，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据，，三点共线，求出，然后分别求出和，从而求得. 【详解】因为，，，三点共线， 所以，解得， 因为，所以， 则，， 所以. 故答案为：. 14. 已知正方形的中心为，，现将其沿对角线翻折，使得在面内的射影为的中点，且，，______，再将绕直线旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的内切球的体积为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一空：过作于点，连接，在直角三角形中，求得长度，再结合余弦定理即可求解；第二空：通过轴截面，求得内切球半径即可求解. 【详解】正方形的中心为，将其沿对角线翻折，使得在面内的射影为的中点，则二面角为直二面角，如图所示， 又，则可得，，，，平面平面， 又平面平面，平面， 平面， 又， 所以为的中点，为的中点， 又正方形的中心为， 为的中点， 则可得，， 过作于点，连接， 则，平面， 又平面， 又，，，， ， 在中，， 又， ， 将绕直线旋转一周得到一个旋转体为两个同底面的圆锥组合体， 作出其轴截面，如图， 则该轴截面中和为边长为1的等边三角形， 该旋转体的内切球的半径即为菱形的内切圆的半径， 由等面积法，则， 即，则， 因此该旋转体的内切球的体积为. 故答案为：，. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数（为常数）. （1）若曲线在处的切线在两坐标轴上的截距相等，求的值； （2）是否存在实数，使得有3个零点？若存在，求实数的范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）结合导数的几何意义求出曲线在处的切线方程，再利用切线在两坐标轴上的截距相等即可求解； （2）由函数零点与方程根的关系可将问题转化为方程有三个解，进一步转化为直线与函数的图象有3个交点.对求导，研究其单调性、极值与图象变化趋势，数形结合即可求解. 【小问1详解】 因为，所以， ，， 所以曲线在处的切线为 ，即 令，则， 若，则，则切点为，切线为，不合题意； 若，则；令，则. 又切线在两坐标轴上的截距相等，即， 故. 【小问2详解】 若函数有3个零点，等价于方程有三个解. 其中时，显然不是方程的根， 当时，转化为与的图象有3个交点. 又由， 令，解得或；令，解得， 所以函数在，上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数取得极小值，极小值. 又由时，；当时，且；当时，， 故函数的大致图象如下图所示： 所以，即实数的取值范围为. 16. 在三棱柱中，底面，，，到平面的距离为1. （1）证明：平面平面； （2）已知三棱锥的体积为，求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质定理证得线线垂直，再利用线面垂直的判定定理证得线面垂直，进而证得面面垂直； （2）几何法：先利用三棱锥等体积法求出的长，再根据定义作出线面所成角的平面角，利用边长求正弦值即可；空间向量法：根据条件建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量数量积求出与法向量夹角的余弦值，即为所求线面角的正弦值. 【小问1详解】 底面，底面， ， 又，，平面，平面 平面， 又底面， 平面平面. 【小问2详解】 法一： 由（1）可知，平面，平面，所以. ， ， ， ， 在中作于， 又平面平面，且平面平面平面， 平面，则即为到平面的距离，即， 所以为的中点，即，， 过作交的延长线与，连接， 平面，则为与平面所成角的角， 又，，四边形为平行四边形， ，， ，，， . 与平面所成角的正弦值为. 法二：面且，、、两两相互垂直. 以为坐标原点，以、、所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图： 由法一可知，， 所以，，，，，， ，，， 设面的法向量， ，令，可得法向量. 所以， 与平面所成角的正弦值为. 17. 2024年12月，为培养适应新时代要求的创新型人才，教育部办公厅发布了关于加强中小学人工智能教育的通知.为了坚持立德树人，全面贯彻党的教育方针，紧扣新时代新征程教育使命，满足面向未来的创新型人才培养需求，提升数字素养与数字技能，某市教育局为了培养学生的科技创新素养，在甲，乙两所高中学校举办了一次人工智能科普知识竞赛，两个学校的学生人数基本相同.已知甲学校学生成绩的优秀率为0.24（优秀：竞赛成绩，单位：分），现从乙学校随机抽取100名学生的竞赛成绩，制成如图所示的频率分布直方图. （1）从乙学校竞赛分数在中的学生中，采用分层抽样的方法抽取了9人，现从这9人中随机抽取6人，记成绩优秀的学生人数为，求的分布列和数学期望； （2）若从本次参赛的学生中随机抽取1人，以样本的频率估计概率，求此学生竞赛成绩优秀的概率； （3）现从参与竞赛学生中随机抽取人，若要使取得最大值（表示人中优秀人数），求的值. 【答案】（1）2 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先求出求出抽取的9人中的优秀人数和非优秀人数，接着确定随机变量取值，并求出各取值对应的概率即可分布列，再由期望公式即可计算期望值； （2）记事件A：成绩优秀的学生，事件：甲学校的学生，依次求出，和，再由全概率公式即可计算求解. （3）法一：根据已知列不等式组即可求解；法二：令，计算，由和即可计算求解. 【小问1详解】 由直方图，占6人，占3人， 则成绩优秀的学生人数可取，，，， 所以，， ，， 所以分布列为 0 1 2 3 则期望. 【小问2详解】 记事件A：成绩优秀的学生，事件：甲学校的学生， 由已知条件可知，，， 所以. 【小问3详解】 解法一： 解法二：记随机抽取人中竞赛成绩优秀的人数为，由题意可知，， 所以，令，则， 令，则，所以时，， 令，则，所以时，， 令，则，所以， 所以当或时，最大，即或时，竞赛成绩优秀的人数为8的概率最大. 18 已知圆与抛物线交于，两点， （1）求曲线的方程； （2）设过抛物线焦点的直线交于、两点，过圆心的直线与曲线的另一个交点为，点在与之间. （i）证明：线段垂直于轴： （ii）记的面积为，的面积为，求的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii）. 【解析】 【分析】（1）由圆的性质，求得交点的坐标，代入抛物线方程，可得答案； （2）（i）设出直线方程，联立抛物线方程，写出韦达定理，利用斜率公式，可得答案；（ii）由三角形面积公式，整理函数解析式，利用导数，可得答案. 【小问1详解】 由圆，可化为标准方程， 所以圆圆心为，半径为， 设与轴交于点，如图所示， 因为圆和抛物线都关于轴对称，则，两点也关于轴对称，且， 所以在直角中，，，所以，则， 所以抛物线过点，即，则， 所以抛物线方程为. 【小问2详解】 （i）由（1）知，又因为直线的斜率不为0，故设的方程为 ，，， 联立，可得：，， 则，， . 故，故直线与直线关于轴对称，即点与点关于轴对称，所以线段垂直于轴. （ii）由（i）可知，不妨设，因为点在与之间，所以，，，， 则 令，则， 令，则，解得；，解得. 则在上单调递增，在上单调递减， ，所以的取值范围为. 19. 已知常数为非零整数，若函数，满足：对任意，，，则称函数为函数. （1）若函数，为函数，求的取值范围； （2）若为函数，图像在是一条连续的曲线，，，且在区间上存在唯一的极大值点，求函数最值差的绝对值的取值范围； （3）若，，且为函数，为的一阶导函数，对任意，，恒有，记的最小值为，求的取值范围及关于的表达式. 【答案】（1） （2） （3），. 【解析】 【分析】（1）由新定义函数得到不等式，由的最小值得到的取值范围； （2）设极值点，由定义得到不等式组，得到范围，又因为是极大值，所以，得到函数的最大值和最小值，从而得到函数最值差的绝对值的取值范围； （3）当时，函数在上单调递增，设，则.由新定义得恒成立，构造函数，且为上的减函数，所以，得对恒成立，由函数单调性求得的取值范围.求出导数，再求得其导数，由得到函数的单调性，由函数的最大值与最小值的差求得. 【小问1详解】 因为是函数，对任意，，， 则， 所以 ， 故，即，又，， 所以， 【小问2详解】 设为在区间上存在唯一的极大值点， 则在严格递增，在严格递减， 由，即，得， 又，，则，（构造时，等号成立）， 所以； 【小问3详解】 因为，，显然为上的严格增函数， 又由题干可知，，任意，，不妨设，此时， 由为函数，得恒成立， 即恒成立， 设，则为上的减函数，，得对恒成立， 易知上述不等号右边的函数为上的减函数， 所以，所以的取值范围为， 此时， ， 因为，当，，所以为上的增函数， 由题意得，，. 【点睛】方法点睛，本题考查函数新定义，以及由导数研究函数性质，不等式的综合应用问题，本题的关键是理解函数的新定义，并结合构造函数，不等式关系，进行推论论证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 广安市高2022级第二次诊断性考试 数学试题 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、座位号和准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 5.考试结束后，只将答题卡交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则中元素个数为（ ） A. 1 B. 0 C. 3 D. 2 2. 下列函数在定义域上既是增函数又是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（ ） A. 2 B. C. D. 4. 三棱锥中，平面，为以为直径的半圆圆周上的动点（不同于、的点）.若，，则该三棱锥体积的最大值为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 5. 关于二项式，若展开式中含的项的系数为21，则（ ） A. 2 B. 1 C. 3 D. -1 6. 广安白塔始建于1174年至1224年间，塔一至五层为石结构，六至九层为砖结构，每层均为四方结构（即每层底面为正方形），为第一层下底面四边形的外接圆内一点，经测算，每一层的高度恰为过的弦的长度的二分之一，并构成等差数列，顶层的高度为过点的圆的最短弦长度的一半，第一层的高度为过点的圆的最长弦长度的一半.已知该塔第一层底面四边形的边长为米，米，则塔高为（ ） A. 41米 B. 40.5米 C. 39.5米 D. 38.7米 7. 若双曲线的焦距为，过右顶点的直线与双曲线的一条渐近线平行.已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为（ ） A. 2或 B. C. 2 D. 8. 若函数的定义域内存在，，使得成立，则称该函数为“完备函数”.已知是上的“完备函数”，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3个小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 具有相关关系的两个变量，的相关系数为，那么越接近于0，则，之间的线性相关程度越高 B. 将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变 C. 数据，，，，，，，，，，，的上四分位数是154 D. 设随机变量均值为，是不等于的常数，则相对于的偏离程度小于相对于的偏离程度 10. 设为数列的前项和，若，，若，则下列结论正确的有（ ） A. B. 数列为递减数列 C. 当时，取得最小值 D. 当时，的最小值为8 11. 已知定义域为的函数满足，.数列的首项为1，且，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在复平面内，复数对应点坐标为，则的共轭复数为______. 13. 已知在中，，，，，在上，，则______. 14. 已知正方形的中心为，，现将其沿对角线翻折，使得在面内的射影为的中点，且，，______，再将绕直线旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的内切球的体积为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数（常数）. （1）若曲线在处的切线在两坐标轴上的截距相等，求的值； （2）是否存在实数，使得有3个零点？若存在，求实数的范围；若不存在，请说明理由. 16. 在三棱柱中，底面，，，到平面的距离为1. （1）证明：平面平面； （2）已知三棱锥的体积为，求与平面所成角的正弦值. 17. 2024年12月，为培养适应新时代要求的创新型人才，教育部办公厅发布了关于加强中小学人工智能教育的通知.为了坚持立德树人，全面贯彻党的教育方针，紧扣新时代新征程教育使命，满足面向未来的创新型人才培养需求，提升数字素养与数字技能，某市教育局为了培养学生的科技创新素养，在甲，乙两所高中学校举办了一次人工智能科普知识竞赛，两个学校的学生人数基本相同.已知甲学校学生成绩的优秀率为0.24（优秀：竞赛成绩，单位：分），现从乙学校随机抽取100名学生的竞赛成绩，制成如图所示的频率分布直方图. （1）从乙学校竞赛分数在中的学生中，采用分层抽样的方法抽取了9人，现从这9人中随机抽取6人，记成绩优秀的学生人数为，求的分布列和数学期望； （2）若从本次参赛的学生中随机抽取1人，以样本的频率估计概率，求此学生竞赛成绩优秀的概率； （3）现从参与竞赛的学生中随机抽取人，若要使取得最大值（表示人中优秀人数），求的值. 18 已知圆与抛物线交于，两点， （1）求曲线的方程； （2）设过抛物线焦点的直线交于、两点，过圆心的直线与曲线的另一个交点为，点在与之间. （i）证明：线段垂直于轴： （ii）记的面积为，的面积为，求的取值范围. 19. 已知常数为非零整数，若函数，满足：对任意，，，则称函数为函数. （1）若函数，为函数，求的取值范围； （2）若为函数，图像在是一条连续的曲线，，，且在区间上存在唯一的极大值点，求函数最值差的绝对值的取值范围； （3）若，，且为函数，为的一阶导函数，对任意，，恒有，记的最小值为，求的取值范围及关于的表达式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$