8.2 第1课时 一元线性回归模型及参数的最小二乘估计（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修3（人教A版2019）

8．2　一元线性回归模型及其应用 第1课时　一元线性回归模型及参数的最小二乘估计 学习目标 1.结合具体实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义． 2．了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法． 3．针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测． 知识点一　一元线性回归模型 根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量y(单位：百千克)与某种液体肥料每亩使用量x(单位：千克)之间的对应数列的散点图如图所示： 1．依据数据的散点图，推断某西红柿产量的增加量y与肥料使用量之间有没有关系？ 2．y与x的相关程度如何？两变量之间的关系能用函数模型刻画吗？ 3．用什么模型来刻画y与x之间的关系？ 一元线性回归模型 下式为Y关于x的一元线性回归模型： 其中，Y称为因变量或响应变量，x称为自变量或解释变量；a和b为模型的未知参数，a称为截距参数，b称为斜率参数；e是Y与bx＋a之间的随机误差． 说明：(1)模型中的Y也是随机变量，其值虽然不能由变量x的值确定，但是却能表示为bx＋a与e的和(叠加)，前一部分由x所确定，后一部分是随机的． (2)如果e＝0，那么Y与x之间的关系就可用一元线性函数模型来描述． 在线性回归模型y＝bx＋a＋e中，e产生的原因： (1)所用的确定性函数不恰当引起的误差； (2)忽略了某些因素的影响； (3)存在观测误差． [例1] 判断下列变量间哪些能用函数模型刻画，哪些能用回归模型刻画？ (1)某公司的销售收入和广告支出； (2)某城市写字楼的出租率和每平方米月租金； (3)航空公司的顾客投诉次数和航班正点率； (4)某地区的人均消费水平和人均国内生产总值(GDP)； (5)学生期末考试成绩和考前用于复习的时间； (6)一辆汽车在某段路程中的行驶速度和行驶时间； (7)正方形的面积与周长． 解：(1)(2)(3)(4)(5)是回归模型，(6)(7)是函数模型． 辨别回归模型的关键点 函数关系中，变量X对应的是变量Y的确定值，而在相关关系中，变量X对应的是变量Y的概率分布. 换句话说，相关关系是随机变量之间或随机变量与非随机变量之间的一种数量依存关系． [练1] 若某地财政收入x(单位：亿元)与支出y(单位：亿元)满足一元线性回归模型y＝bx＋a＋e，其中b＝0.7，a＝3，|e|≤0.5，如果今年该地区财政收入10亿元，年支出预计不会超过(　　) A．9亿元　　　　　　 B．9.5亿元 C．10亿元 D．10.5亿元 D　解析：因为财政收入x与支出y满足一元线性回归模型y＝bx＋a＋e，其中b＝0.7，a＝3，所以y＝0.7x＋3＋e，当x＝10时，得y＝0.7×10＋3＋e＝10＋e，又|e|≤0.5，即－0.5≤e≤0.5，所以9.5≤y≤10.5，所以年支出预计不会超过10.5亿元． 知识点二　最小二乘估计和经验回归方程 最小二乘法 我们将＝x＋称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线．这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估计. 其中： [例2] 某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得如表数据： x 6 8 10 12 y 2 3 5 6 (1)请画出上表中数据的散点图； (2)请根据表中提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程＝x＋. 解： (1)散点图如图： (2)iyi＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158， x＝＝9，y＝＝4， ＝62＋82＋102＋122＝344. ＝＝＝0.7， ＝y－x＝4－0.7×9＝－2.3， 所以经验回归方程为＝0.7x－2.3. 求经验回归方程的基本步骤 (1)列出散点图，从直观上分析数据间是否存在线性相关关系． [练2] 某种产品的广告费支出x(单位：百万元)与销售额y(单位：百万元)之间有如下对应数据： x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 求经验回归方程． 参考公式：＝，＝y－x． 解：＝＝5， ＝＝50， iyi＝2×30＋4×40＋5×60＋6×50＋8×70＝1 380， 5x y＝5×5×50＝1 250， ＝22＋42＋52＋62＋82＝145， 5x2＝5×52＝125， ＝＝6.5， ＝y－x＝50－6.5×5＝17.5， 所以所求经验回归方程为＝6.5x＋17.5. 综合应用　利用经验回归方程进行预测 [例3] (2024·遵义高二期中)某地2019年至2023年五年新能源汽车保有量如下表． 年份 2019 2020 2021 2022 2023 年份编号x 1 2 3 4 5 保有量y/万辆 18 20 23 25 29 (1)请用相关系数说明y与x的线性相关程度； (2)求y关于x的经验回归方程＝x＋，并预测2025年该地新能源汽车保有量． 附：相关系数r＝. 在经验回归方程＝＋x中，＝＝，＝y－x，≈13.6. 解：(1)因为x＝＝3，y＝＝23， 所以(xi－x)(yi－y)＝(1－3)×(18－23)＋(2－3)×(20－23)＋(3－3)×(23－23)＋(4－3)×(25－23)＋(5－3)×(29－23)＝27， (xi－x)2＝(1－3)2＋(2－3)2＋(3－3)2＋(4－3)2＋(5－3)2＝10， (yi－y)2＝(18－23)2＋(20－23)2＋(23－23)2＋(25－23)2＋(29－23)2＝74， 所以r＝≈0.99. 因为|r|的值越接近1，随机变量之间的线性相关程度越强，又0.99接近1， 所以y与x的线性相关程度较强． 所以经验回归方程为＝2.7x＋14.9. 当x＝7时，＝2.7×7＋14.9＝33.8(万辆)， 所以预测2025年该地新能源汽车保有量为33.8万辆． 利用经验回归方程进行预测的方法 (1)判断两个变量是否线性相关：可利用经验，也可以画散点图； (2)求经验回归方程，注意运算的正确性，要根据题目给出的数据选择公式求； (3)根据经验回归方程进行预测估计，估计值不是实际值，两者会有一定的误差． [练3] (2024·赣州高二期末)大气污染物PM 2.5(直径不大于2.5 μm的颗粒物)的浓度超过一定限度会影响人的身体健康．为研究PM2.5浓度y(单位：μg/m3)与汽车流量x(单位：千辆)的线性关系，研究人员选定了10个城市，在每个城市建立交通监测点，统计了24 h内过往的汽车流量以及同时段空气中的PM2.5浓度，得到如下数据： 城市 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 x 1.300 1.444 0.786 1.652 1.756 1.754 1.200 1.500 1.200 0.908 13.5 y 66 76 21 170 156 120 72 120 100 129 1 030 并计算得＝19.225，＝124 434，iyi＝1 479.5. (1)求变量y关于x的经验回归方程； (2)根据24 h内PM2.5浓度确定空气质量等级，PM2.5浓度在0～35 μg/m3为优，35～75 μg/m3为良，75～115 μg/m3为轻度污染，115～150 μg/m3为中度污染，150～250 μg/m3为重度污染，已知某城市24 h内过往的汽车流量为1 360辆，判断该城市的空气质量等级． 1．知识清单 (1)一元线性回归模型． (2)最小二乘法、经验回归方程的求法． (3)利用经验回归方程进行预测． 2．方法归纳：数形结合、转化化归． 3．常见误区：不判断变量间是否具有线性相关关系，盲目求解经验回归方程致误． ◎随堂演练 1．(2024·黔东南高二期末)根据如图所示的散点图得出的经验回归方程为＝0.9x＋，则＝(　　) A．2.8 B．3.2 C．3.6 D．4 B　解析：由散点图可得＝×(1＋2＋4＋3＋10)＝4， ＝×(3＋4＋5＋10＋12)＝6.8， 故6.8＝0.9×4＋，得＝3.2，故选B. 2．已知对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x10，y10)，y关于x的经验回归方程为＝－2x＋7.2，若i＝6，则i＝________． 答案：60　解析：由i＝6可得x＝0.6，把(，)代入经验回归方程可得＝－2×0.6＋7.2＝6，故i＝6×10＝60. 3．调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的经验回归方程：＝0.254x＋3.由经验回归方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元． 答案：0.254　解析：∵对x的经验回归方程为＝0.254x＋3，∴当家庭年收入增加1万元时，＝0.254(x＋1)＋3，又[0.254(x＋1)＋3]－ (0.254x＋3)＝0.254，所以年饮食支出平均增加0.254万元． 4．(2024·德阳一模)某科学兴趣小组的同学认为生物都是由蛋白质构成的，高温可以使蛋白质变性失活，于是想初步探究某微生物的成活率与温度的关系，微生物数量y(个)与温度x(℃)的部分数据如下表： 温度x/℃ 4 8 10 18 微生物数量y/个 30 22 18 14 由表中数据算得经验回归方程为＝－x＋，预测当温度为22 ℃时，微生物数量为________个． 答案：9　解析：由表格数据可知，x＝×(4＋8＋10＋18)＝10，y＝×(30＋22＋18＋14)＝21， 因为点(x，y)在直线＝－x＋上，所以＝21＋10＝31， 即经验回归方程为＝－x＋31，故当x＝22时，＝－22＋31＝9(个)， 即预测当温度为22 ℃时，微生物数量为9个． [课时梯级训练(25)见P147] 学科网（北京）股份有限公司 $$