7.4.2 第2课时 超几何分布的综合问题（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修3（人教A版2019）

第2课时　超几何分布的综合问题 学习目标 1.掌握超几何分布均值的计算． 2．了解二项分布与超几何分布的区别与联系． 知识点一　超几何分布的均值 2024年度某企业共需要学徒制培训200人，培训结束后进行考核，现对考核取得相应岗位证书进行统计，统计情况如下表： 岗位证书 初级工 中级工 高级工 技师 高级技师 人数 20 60 60 40 20 1.现从这200人中采用分层随机抽样的方式选出10人组成学习技能经验交流团，则交流团中取得技师类(包括技师和高级技师)岗位证书的人数是多少？ 2．再从1选出的10人交流团中任意抽出3人作为代表发言，记这3人中技师类的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望． 3．2中计算X的期望比较复杂，我们知道服从二项分布的期望可以用简洁的公式求解，服从超几何分布是否有相关的公式呢？ 服从超几何分布的随机变量的均值 设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数．令p＝，则p是N件产品的次品率，则E(X)＝np． [例1] (2024·滁州高二期中)某旅游平台计划在注册会员中调查对冰雪运动的爱好情况，其中男会员有1 000名，女会员有800名，用分层随机抽样的方法随机抽取36名会员进行详细调查，调查结果发现抽取的这36名会员中喜欢冰雪运动的男会员有8人，女会员有4人． (1)在1 800名会员中喜欢冰雪运动的估计有多少人？ (2)在抽取的喜欢冰雪运动的会员中任选3人，记选出的3人中男会员有X人，求随机变量X的分布列与数学期望． 解：(1)用分层随机抽样的方法随机抽取36名会员， 其中男会员人数为×36＝20，女会员人数为16， 所以在1 800名会员中喜欢冰雪运动的人数估计有×1 000＋×800＝600. (2)X可能的取值有0，1，2，3， P(X＝0)＝＝＝，P(X＝1)＝＝＝， P(X＝2)＝＝＝，P(X＝3)＝＝＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以X的期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝2. 求超几何分布均值的步骤 (1)验证随机变量服从超几何分布，并研究参数N，M，n的值． (2)根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率． (3)利用均值公式求解． [练1] 某袋中有大小形状相同的红球、黑球和白球共9个，其中白球有2个，从袋中任意不放回地取出2个球，至少取到1个红球的概率为，则红球有______个，若从袋中任意不放回地取出3个球，记取到黑球的个数为X，则随机变量X的数学期望E(X)＝________. 答案：4　1　解析：设袋中有m个红球，没有取到红球的概率为P′，则至少取到一个红球的概率P＝1－P′＝1－＝，解得m＝4或m＝13(舍去)，所以红球有4个，白球2个，黑球3个，所以M＝3，N＝9，n＝3，所以数学期望E(X)＝＝＝1. 知识点二　超几何分布与二项分布的区别与联系 超几何分布与二项分布的区别与联系 超几何分布 二项分布 区别 超几何分布是不放回抽样，取出一个则总体中就少一个，因此每次取到某物的概率是不同的 二项分布是有放回抽样，每次抽取时的总体没有改变，因此每次抽到某事物的概率都是相同的，可以看成是独立重复试验 联系 二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取的n件产品中次品数的分布规律，二者的均值相同 对于不放回抽样，当n远远小于N时，每抽取一次后，对N的影响很小，此时超几何分布可以与二项分布近似 [例2] 袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球，用X表示取出黑球的个数． (1)无放回抽样时，求取到黑球的个数X的分布列，并求出其均值； (2)有放回抽样时，求取到黑球的个数X的分布列，并求出其均值． 解：(1)无放回抽样时，各次试验结果不独立，X服从超几何分布，X的分布列为P(X＝k)＝，k＝0，1，2. 所以X的分布列为 X 0 1 2 P E(X)＝1×＋2×＝. (2)有放回抽样时，取到的黑球数X可能的取值为0，1，2，3，又每次取到黑球的概率均为，3次取球可以看成3次独立重复试验，则X～B(3，)，X的分布列为P(X＝k)＝C×()k×()3－k，k＝0，1，2，3. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 此时，E(X)＝np＝3×＝. 区分超几何分布与二项分布的关键点 关键在于准确确定随机变量服从的分布类型：超几何分布是不放回抽样，二项分布是有放回抽样；对于求均值问题，再针对类型选用公式即可． [练2] (2024·哈尔滨高二期中)中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，作为国家战略性空间基础设施，我国北斗卫星导航系统不仅对国防安全意义重大，而且在民用领域的精准化应用也越来越广泛．从全球应用北斗卫星的城市中选取了40个城市进行调研，如图是这40个城市北斗卫星导航系统与位置服务产业的产值(单位：万元)的频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图，求产值小于600万元的调研城市个数； (2)在上述抽取的40个城市中任取2个，设Y为产值不超过600万元的城市个数，求Y的分布列及期望和方差； (3)把频率视为概率，从全球应用北斗卫星的城市中任取5个城市，求恰有3个城市的产值超过605万元的概率． 解：(1)由频率分布直方图可知产值小于600万元的频率为(0.03＋0.04)×5＝0.35， 所以产值小于600万元的调研城市个数为40×0.35＝14. (2)由(1)得产值不超过600万元的调研城市有14个，超过600万元的调研城市有26个， 所以随机变量Y的取值可能为0，1，2， 所以P(Y＝0)＝＝，P(Y＝1)＝＝， P(Y＝2)＝＝， 所以可得分布列为 Y 0 1 2 P 期望E(Y)＝0×＋1×＋2×＝； 方差D(Y)＝(0－)2×＋(1－)2×＋(2－)2×＝. (3)由频率分布直方图可知城市的产值超过605万元的概率为(0.05＋0.01)×5＝0.3， 设任取的5个城市中产值超过605万元的城市个数为X，可知随机变量X满足X～B(5，0.3)， 所以P(X＝3)＝C×0.33×(1－0.3)2＝0.132 3. 综合应用　超几何分布的综合应用 [例3] (2024·哈师大附中模拟)近期，国家出台了减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担“双减”政策．为了坚决落实“双减”政策，提高教学质量，提升课后服务水平，某中心小学计划实行课后看护工作．现随机抽取该中心小学三年级的10个班级并调查了解需要课后看护的学生人数，如下面频数分布表： 班级代号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 需看护学 生人数 20 18 27 30 24 23 32 35 21 20 已知该中心小学每个班级50人，为了节约资源并保证每个看护教室有两名看护教师，该校计划：若需要课后看护的学生人数超过25人的班级配备1名班主任和1名其他科任教师；若需要课后看护的学生人数不超过25人的班级只配备1名班主任，但需要和另一个人数不超过25人的班级合班看护． (1)若将上述表格中需看护学生人数不超过25人的6个班两两组合进行课后看护，求班级代号为1，2的两个班合班看护的概率； (2)从已抽取的10个班级中随机抽取3个班，记3个班中需要课后看护的学生人数超过25人的班级数为X，求X的分布列及数学期望． 解：(1)若将上述表格中需看护学生人数不超过25人的6个班两两组合进行课后看护， 共＝15种不同的方法，其中班级代号为1，2的两个班合班看护共＝3种不同的方法． 记A表示事件“班级代号为1，2的两个班合班看护”，则其概率P(A)＝＝. (2)随机变量X的可能取值为0，1，2，3， 可得P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， 则X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 超几何分布常应用在产品合格问题、取球(两色)问题、男女生选举问题等，这类问题有一个共同特征，就是对每一个个体而言，只研究其相对的两种性质而不涉及其他性质，如产品的合格与不合格、球的红色与非红色、学生的性别等． [练3] (2024·泸州期中)期中考试后，老师把学生的成绩分为较低、及格(不含优秀)、优秀三类，制成下表． 类别 较低 及格 优秀 人数 7 a b 其中低分率与优秀率分别是14%与8%. (1)求全班人数及a，b的值； (2)老师重点关注成绩较低的及成绩优秀的学生，利用课外时间给他们的家长打电话做电话家访，为了保证电话家访的质量，他每天随机打给三位学生的家长，求在第一天老师抽取的三位学生中成绩优秀者的人数X的分布列及数学期望． 解：(1)7÷14%＝50，b＝50×8%＝4，a＝50－4－7＝39. (2)需要家访的共11人，其中成绩优秀的有4人，依题意可得X所有可能的取值为0，1，2，3. P(X＝0)＝＝；P(X＝1)＝＝； P(X＝2)＝＝；P(X＝3)＝＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 1．知识清单 (1)超几何分布的均值． (2)超几何分布与二项分布的区别与联系． (3)超几何分布的综合应用． 2．方法归纳：类比． 3．常见误区：超几何分布与二项分布混淆，前者是不放回抽样，后者是有放回抽样． ◎随堂演练 1．有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽n件产品，抽到的次品数的均值是(　　) A．n B． C． D． C　解析：设抽到的次品数为X，则有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽n件产品，抽到的次品数X服从超几何分布，故抽到的次品数的均值E(X)＝. 2．(多选)10名同学中有a名女生，若从中抽取2个人作为学生代表，恰好抽取1名女生的概率为，则a的可能取值为(　　) A．1 B．3 C．2 D．8 CD　解析：由题意知＝，解得a＝2或a＝8. 3．(2024·珠海高二期中)为了解高三学生复习的效果，某学校进行了预测考试，随机抽查了5名学生的语文成绩与数学成绩，得到如下数据： 学生 甲 乙 丙 丁 戊 语文 76 89 110 128 132 数学 82 94 135 115 124 现从这5人中任选3人进行学习方法的分享，用X表示其中语文分数大于数学分数的人数，则E(X)＝___________． 答案：1.2　解析：随机抽查的5名学生中，语文分数大于数学分数的有2人，则语文分数不大于数学分数的有3人， ∴P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝，则E(X)＝0×＋1×＋2×＝. 4．(2024·杭州高二月考)一只口袋里有6个除了颜色以外都一样的小球，其中有蓝色小球m个，其余都是红色小球，若从口袋中随机摸出2个小球，已知只有1个蓝色小球的概率是，则m＝________；若从口袋中随机取出3个球，则红色小球的个数期望为________． 答案：3　　解析：由已知可得＝＝，可得m2－6m＋9＝0，解得m＝3， 从口袋中随机取出3个球，设红色小球的个数为X，则X的可能取值为0，1，2，3， 则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝， 因此E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. [课时梯级训练(21)见P133] 学科网（北京）股份有限公司 $$