7.4.2 第1课时 超几何分布（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修3（人教A版2019）

7.4.2　超几何分布 第1课时　超几何分布 学习目标 1.通过具体实例，了解超几何分布及均值． 2．能用超几何分布解决简单的实际问题． 知识点　超几何分布 已知一箱节能灯共100个，其中有8个次品． 1．有放回地随机抽取4个，设抽取的4个产品中次品数为X，求随机变量X的分布列； 2．如果采用不放回抽样，那么抽取的4个产品中次品数X是否也服从二项分布； 3．采用不放回抽样，如果不服从二项分布，那么X 的分布列是什么？ 超几何分布 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为 P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中n，N，M∈N*，M≤N ，n≤N ，m＝max{0, n－N＋M}，r＝min{n，M}． 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布． 对超几何分布的理解 (1)“任取n件”应理解为“一次抽取n件”或“不放回地逐一抽取n件”，不能理解为“有放回地抽取n件”．这是区分二项分布与超几何分布的一个主要标准． (2)“X＝k”表示从含有M件次品的N件产品中抽取n件，其中含有k件次品这一随机事件．N件产品分为两类：次品，正品．所抽取的n件产品由这两类产品中的一部分组成，即CC种情况(基本事件数)，所以P(X＝k)＝. [例1] 下列问题中，哪些属于超几何分布问题，说明理由． (1)抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X，求X的分布列； (2)有一批种子的发芽率为70%，任取10粒种子做发芽试验，把试验中发芽的种子粒数记为X, 求X的分布列； (3)盒子中有红球3只，黄球4只，蓝球5只，任取3只球，把不是红色的球的个数记为X, 求X的分布列； (4)某班级有男生25人，女生20人．选派4名学生参加学校组织的活动， 班长必须参加，其中女生人数记为X，求X的分布列； (5)现有100台平板电脑未经检测，抽取10台送检，把检验结果为不合格的平板电脑的个数记为X，求X的分布列． 解：(1)(2)中样本中的样本没有分类，不是超几何分布问题，是重复试验问题． (3)(4)符合超几何分布的特征，样本都分为两类，随机变量表示抽取的n件样本中某类样本被抽取的件数，是超几何分布． (5)中没有给出不合格产品数，无法计算X的分布列，所以不属于超几何分布问题． 判断是否是超几何分布的关键 (1)总体是否可分为两类明确的对象； (2)是否为不放回抽样； (3)随机变量是否为样本中其中一类个体的个数． [练1] (多选)一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10.现从中任取4个球，则下列四种变量中服从超几何分布的是(　　) A．X表示取出的最大号码 B．X表示取出的最小号码 C．取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分 D．X表示取出的黑球个数 CD　解析：对于选项A，当X表示最大号码，比如X＝6表示从黑球编号为1，2，3，4，5中取3个黑球，而X＝8表示从6个黑球和编号为7的白球共7个球中取3个球，故该随机变量不服从超几何分布，同理选项B中的随机变量不服从超几何分布. 对于选项C，X的可能取值为4，5，6，7，8，X＝4表示取出4个白球；X＝5表示取出3个白球1个黑球；X＝6表示取出2个白球2个黑球；X＝7表示取出1个白球3个黑球；X＝8表示取出4个黑球；因此X服从超几何分布．由超几何分布的概念知D项符合． [例2] 在高二年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有5个红球和10个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中摸出3个球，至少摸到2个红球就中奖，求中奖的概率． 解：设摸到红球个数为X，由题意知，X服从超几何分布，则至少摸到2个红球的概率为 P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3) ＝＋＝. 故中奖的概率为. 解决超几何分布问题的两个关键点 (1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆． (2)超几何分布中，只要知道M，N，n，就可以利用公式求出X取不同k值时的概率P(X＝k)，从而求出X的分布列． [练2] 从一批含13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，求至少有一件次品的概率． 解：设X表示取出的3件产品中次品的件数，由题意知X服从超几何分布，其中N＝15，M＝2，n＝3， 则P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－＝1－＝. 故至少有一件次品的概率为. 综合应用　超几何分布的分布列 [例3] (2024·天津河东期中)袋子中有7个除颜色外完全相同的小球，其中4个白球，3个黑球，从袋中随机地取出小球，若取到一个白球得2分，取到一个黑球得1分，现从袋中任取4个小球． (1)求得分X的分布列； (2)求得分大于6的概率． 解：(1)由题意可知，随机变量X的可能取值为5，6，7，8， 所取小球为1白3黑时，P(X＝5)＝＝， 所取小球为2白2黑时，P(X＝6)＝＝， 所取小球为3白1黑时，P(X＝7)＝＝， 所取小球为4白时，P(X＝8)＝＝. 所以，随机变量X的分布列为 X 5 6 7 8 P (2)根据X的分布列，可得到得分大于6的概率为 P(X>6)＝P(X＝7)＋P(X＝8)＝＋＝. 求超几何分布的分布列的步骤 [练3] (2024·大同高二月考)某校高中数学兴趣小组有5名同学，其中3名男生2名女生，现从中选2人去参加一项活动． (1)求选出的2人中，恰有1名男生的概率； (2)用X表示选出的2人中男生的人数，求X的分布列． 解：(1)选出的2人中恰有1名男生的概率是P＝＝＝. (2)X的值可取0，1，2，则 P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝ . 所以X的分布列如下： X 0 1 2 P 1．知识清单 (1)超几何分布的概念与特征． (2)超几何分布的概率与分布列． 2．方法归纳：公式法． 3．常见误区：判断随机变量X是否服从超几何分布. ◎随堂演练 1．(2024·盐城高二期末)设10件同类型的零件中有2件是不合格品，从中任取3件，以X表示取出的3件中不合格的件数，则P(X＝1)＝(　　) A． B． C． D． D　解析：由题意得，P(X＝1)＝＝.故选D. 2．某批产品共50件，次品率为4%，从中任取10件，则抽到1件次品的概率是(　　) A． B． C． D． A　解析：50件产品中，次品有50×4%＝2件，设抽到的次品数为X，则抽到1件次品的概率P(X＝1)＝. 3．(2024·东莞高二期中)一个盒子里装有大小，材质均相同的黑球10个，红球12个，白球3个，从中任取3个，其中白球的个数记为X，则等于的是(　　) A．P(X>2) B．P(X<2) C．P(X≤1) D．P(X>1) C　解析：由题设，取出的3个球中没有白球的概率为，取出的3个球中有一个白球的概率为， 所以目标式表示P(X≤1). [课时梯级训练(20)见P130] 学科网（北京）股份有限公司 $$