6.3.2 二项式系数的性质（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修3（人教A版2019）

6.3.2　二项式系数的性质 学习目标 1.掌握二项式系数的性质及其应用． 2．掌握“赋值法”并会灵活运用． 知识点　二项式系数的性质 二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等． (2)增减性与最大值：当k<时，C随k的增加而增大；由对称性知，二项式系数的后半部分，C随k的增加而减小．当n是偶数时，中间的一项Cn取得最大值；当n是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值． (3)各二项式系数的和 ①C＋C＋C＋…＋C＝2n； ②C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1． [例1] 设(1－2x)2 024＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 024x2 024(x∈R). (1)求a0的值； (2)求a1＋a2＋a3＋…＋a2 024的值； (3)求a1＋a3＋a5＋…＋a2 023的值． 解：(1)在等式(1－2x)2 024＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 024x2 024中， 令x＝0，得a0＝1. (2)在等式中，令x＝1， 得1＝a0＋a1＋a2＋…＋a2 024， 又由(1)可知，a0＝1， 故a1＋a2＋…＋a2 024＝0. (3)分别令x＝－1，x＝1， 得 两式相减，得1－32 024＝2(a1＋a3＋…＋a2 023). 即a1＋a3＋…＋a2 023＝(1－32 024). [变式探究] 本例条件不变，求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 024|的值． 解：由本例(3)解法可知，将 两式相加，得1＋32 024＝2(a0＋a2＋…＋a2 024). 所以a0＋a2＋…＋a2 024＝(1＋32 024). 在(1－2x)2 024的展开式中，a0，a2，a4，…，a2 024大于0，而a1，a3，a5，…，a2 023小于0， 故|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 024|＝(a0＋a2＋a4＋…＋a2 024)－(a1＋a3＋a5＋…＋a2 023)＝(1＋32 024)－(1－32 024)＝ 32 024. 解决二项式系数和的问题的思维流程 [练1] (多选)(2024·青岛高二期中)已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，则(　　) A．a0＝1 B．a3＝－270 C．a1＋a2＋…＋a7＝－2 D．a0＋a2＋a4＋a6＝ ACD　解析：由(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7， 令x＝0，可得a0＝1，故A正确； 含x3的项为C(－2x)3＝－280x3，即a3＝－280，故B错误； 令x＝1，可得(1－2)7＝a0＋a1＋a2＋…＋a7＝－1， 又因为a0＝1，故a1＋a2＋…＋a7＝－2，故C正确； 令x＝－1，可得(1＋2)7＝a0－a1＋a2－…－a7＝37， 又由a0＋a1＋a2＋…＋a7＝－1，故a0＋a2＋a4＋a6＝，故D正确． 综合应用　二项式系数性质的应用 [例2] 在(－)8的展开式中． (1)求二项式系数最大的项； (2)系数的绝对值最大的项是第几项？ 解：Tk＋1＝C·()8－k·(－)k ＝(－1)k·C·2k·x4－，k＝0，1，2，…，8. (1)二项式系数最大的项为中间项，即为第5项， 故T5＝C·24·x4－＝1 120x－6. (2)设第k＋1项系数的绝对值最大， 则即 解得k＝5或k＝6. 故系数绝对值最大的项是第6项和第7项． [变式探究1] 在本例条件下求系数最大的项与系数最小的项． 解：由本例(2)知， 展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大， 第6项的系数为负， 第7项的系数为正． 故系数最大的项为T7＝C·26·x－11＝1 792x－11. 系数最小的项为T6＝(－1)5C·25x－＝－1 792x－. [变式探究2] 在(－)n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，求展开式中常数项． 解：由题意知n＝8， 通项公式为Tk＋1＝(－1)k·C·()8－k·x8－k， 令8－k＝0，得k＝6， 故常数项为第7项，且T7＝(－1)6·()2·C＝7. 二项式系数或项的系数最大问题的思路 (1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大． (2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组，解不等式的方法求得． [练2] (2024·全国甲卷)(＋x)10的展开式中，各项系数中的最大值为________． 答案：5　解析：(＋x)10的展开式的通项公式为Tr＋1＝C()10－rxr，则各项的系数分别为C·()10，C()9，C()8，C()7，C()6，C·()5，C()4，C()3，C()2，C()1，C·()0，观察发现二项式系数先增大后减小，且前后对称，指数式递增，分别计算C()5，C()4，C()3，C()2，C()1，C()0，比较可得，C()2＝5最大． 1．知识清单 (1)二项式系数的性质． (2)二项式系数性质的应用． 2．方法归纳：赋值法． 3．常见误区：系数与二项式系数的区别，中间项的个数，含绝对值的系数． ◎随堂演练 1．(x－)11的展开式中二项式系数最大的项是(　　) A．第3项 B．第6项 C．第6，7项 D．第5，7项 C　解析：(x－)11的展开式中第项和＋1项，即第6，7项的二项式系数相等，且最大． 2．在(1＋x)n(n∈N*)的展开式中，若只有x5的系数最大，则n的值为(　　) A．8 B．9 C．10 D．11 C　解析：由题意，展开式共有11项，所以n＝10. 3．(2024·江津高二期末)(2x＋1)4＝a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a0＋a2＋a4＝(　　) A．41 B．40 C．－40 D．－41 A　解析：令x＝1，得34＝a4＋a3＋a2＋a1＋a0， 令x＝－1，得1＝a4－a3＋a2－a1＋a0， 所以＝a4＋a2＋a0，即a0＋a2＋a4＝41. 4．(2024·福建福州高二期中)若(2－x)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则a1＋a2＋…＋a9的值为(　　) A．－1 B．1 C．－511 D．512 C　解析：当x＝1时，a0＋a1＋a2＋…＋a9＝1； 当x＝0时，a0＝512，则a1＋a2＋…＋a9＝－511. [课时梯级训练(11)见P107] 学科网（北京）股份有限公司 $$