6.2.2 第1课时 排列数公式（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修3（人教A版2019）

6.2.2　排列数 第1课时　排列数公式 学习目标 1.能用计数原理推导排列数公式． 2．能用排列数公式解决简单的实际问题． 知识点　排列数公式 问题 答案 (1) 从4个不同数字中选取2个，能构成多少个无重复数字的两位数？ □×□＝□ (2) 从4个不同数字中选取3个，能构成多少个无重复数字的三位数？ □×□×□＝□ (3) 从4个不同数字中选取4个，能构成多少个无重复数字的四位数？ □×□×□× □＝□ (4) 从n个不同数字中选取m(m≤n)个，能构成多少个无重复数字的m位数？ ？ 1．排列数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数． 2．排列数公式 A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) ，其中n，m∈N*，并且m≤n. 排列与排列数是两个不同的概念，“排列”是指从n个不同元素中取出m个元素按照一定顺序排成一列，是一种排法；“排列数”是指从n个不同元素中取出m个元素所得不同排列的个数，是一个数，用A表示． 3．全排列(阶乘) (1)全排列：把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列． (2)阶乘：将n个不同的元素全部取出的排列数，等于正整数1到n的连乘积，正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n！表示． (3)阶乘的相关结论： ①A＝n！； ②规定：0！＝1； ③排列数公式的阶乘式：A＝. “排列数公式”中乘积是m个连续正整数的乘积；第一个数最大，是A的下标n；第m个数最小，是n－m＋1. [例1] (1)若A＝10×9×…×5，则m＝(　　) A．4　　　B．5　　　C．6　　　D．7 (2)已知a∈N*，且a<20，则(27－a)·(28－a)·(29－a)·…·(34－a)用排列数表示为(　　) A．A B．A C．A D．A (1)C　(2)D　解析：(1)由10－(m－1)＝5，解得m＝6. (2)由已知34－a最大，且共有34－a－(27－a)＋1＝8个数的积，所以表示为A.故选D. 排列数的注意点 (1)排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行； (2)应用时注意：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数(因式)的个数是选取元素的个数，这是排列数公式的逆用. [练1] (2024·南阳高二期末)5A＋4A等于(　　) A．107 B．323 C．320 D．348 D　解析：5A＋4A＝5×5×4×3＋4×4×3＝348. [练2] (2024·铜仁高二期中)2 024×2 023×2 022×…×2 008＝(　　) A．A B．A C．A D．A C　解析：根据排列数的定义直接求解，得 2 024×2 023×2 022×…×2 008＝2 024×2 023×2 022×…×(2 024－17＋1)＝A. 综合应用一　利用排列数公式求值、化简和证明 角度一：利用排列数公式求值或化简 [例2] (1)计算：＝__________． (2)解方程：3A＝4A. (3)解不等式：A<6A. (1)　解析：方法一　＝＝＝. 方法二　＝＝ ＝＝. (2)解：由排列数公式，得原方程可化为 3×＝4×， 化简得3＝，即x2－19x＋78＝0，解得x1＝6，x2＝13. 因为x≤8，所以原方程的解是x＝6. (3)解：原不等式可转化为 <6×. 化简得x2－19x＋84<0. 解得7<x<12. 因为即3≤x≤8，且x∈N*，所以x＝8. [变式探究] 将本例(2)中的方程改为“A＝2A”呢？ 解：因为A＝2A， 所以2n(2n－1)(2n－2)＝2(n＋1)n(n－1)(n－2)， 化简得n2－5n＝0，解得n＝5或n＝0. 由题意知n≥3，整理方程，可得n＝5. 利用排列数公式的关注点 (1)应用排列数公式的阶乘式时，一般写出它们的式子后，再提取公因式，然后计算，这样往往会减少运算量． (2)在解含有排列数的方程或不等式时，必须注意A中m∈N*，n∈N*且m≤n这些限制条件．在解出方程或不等式后，要进行检验，把不合题意的解舍掉. [练3] 不等式A＋n≤10的解集为_____________________________________． 答案：{3，4}　解析：原不等式化为(n－1)(n－2)＋n≤10，即n2－2n－8≤0，解得－2≤n≤4.又n－1≥2，且n∈N*，所以3≤n≤4，所以n＝3或n＝4. 角度二：利用排列数公式证明 [例3] 证明：A－A＝mA. 证明：∵A－A ＝－ ＝·(－1) ＝· ＝m· ＝mA， ∴A－A＝mA. 排列数问题解题思路 排列数公式的阶乘式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题，具体应用时注意阶乘的性质，提取公因式，可以简化计算． [练4] 证明：A＋kA＝A. 证明：左边＝＋ ＝ ＝＝， 右边＝A＝， 所以A＋kA＝A. 综合应用二　排列数公式的简单应用 [例4] (1)将3张电影票分给10人中的3人，每人1张，共有________种不同的分法． (2)从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，不同的选法共有________种． 答案：(1)720　(2)60　解析：(1)问题相当于从10张电影票中选出3张排列起来，这是一个排列问题．故不同分法的种数为A＝10×9×8＝720. (2)从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，应有A＝5×4×3＝60种选法． 解简单排列应用题的思路 (1)认真分析题意，看能否把问题归结为排列问题，即是否有顺序． (2)如果是的话，再进一步分析，这里n个不同的元素指的是什么，以及从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素的每一种排列对应的是什么事件． (3)运用排列数公式求解． [练5] 若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”．现从2，3，4，5，6，9这六个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有(　　) A．120个 B．80个 C．40个 D．20个 C　解析：由题意知可按十位数字的取值进行分类： 第一类，十位数字取9，有A个； 第二类，十位数字取6，有A个； 第三类，十位数字取5，有A个； 第四类，十位数字取4，有A个， 所以“伞数”的个数为A＋A＋A＋A＝40. 1．知识清单 (1)排列数、排列数公式． (2)利用排列数公式化简、求值与证明． (3)排列数公式的简单应用． 2．方法归纳：直接法、优先法、间接法． 3．常见误区：忽视A中“n，m∈N*”这个条件．,\s\do4(　,)) ◎随堂演练 1．89×90×91×…×100可表示为(　　) A．A B．A C．A D．A C　解析：由排列数公式可知选C. 2．计算2A＋3！的值为(　　) A．100 B．123 C．126 D．128 C　解析：原式＝2×5×4×3＋3×2×1＝126. 3．已知A＝7A，则n的值为________． 答案：7　解析：由排列数公式，得n(n－1)＝7(n－4)(n－5)，n∈N*，即3n2－31n＋70＝0，解得n＝7或n＝.又得n≥6，则n＝7. 4．(2024·葫芦岛高二期末)某单位为所在市春节联欢会选送了甲、乙两个节目，节目组决定在原有节目单中6个节目的相对顺序保持不变的情况下添加甲、乙两个节目，若甲、乙演出顺序不能相邻，那么不同的演出顺序的种数为__________．(用数字作答) 答案：42　解析：由已知甲、乙2个节目不相邻，排好的6个节目相对顺序不变，即把2个节目插入6个节目形成的7个空中，共有A＝7×6＝42种． [课时梯级训练(4)见P97] 学科网（北京）股份有限公司 $$