清单02 一元一次不等式和一元一次不等式（组）（考点清单，知识导图+9个考点清单&题型解读）-2024-2025学年八年级数学下学期期中考点大串讲（北师大版）

清单02 一元一次不等式和一元一次不等式（组） （9个考点梳理+题型解读+提升训练） 清单01 不等式 （1）不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式，例如： 等都是不等式． （2） 常见的不等号有５种：“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”． 清单02 不等式的性质 基本性质１：不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号方向不变． 如果，那么 如果，那么 基本性质２：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 如果，并且，那么(或) 如果，并且，那么(或) 基本性质３：不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 如果，并且，那么(或) 如果，并且，那么(或) 不等式的互逆性：如果，那么；如果，那么． 不等式的传递性：如果，，那么． 易错点：①不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． ②在计算的时候符号方向容易忘记改变． 清单03 一元一次不等式（组） （1）只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，是一个一元一次不等式． （2）一元一次不等式组：由几个同一未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式。 清单04 解一元一次不等式组 解一元一次不等式组的步骤： （1）求分解，分别解不等式组中的每一个不等式，并求出它们的解； （2）画公解，将每一个不等式的解集画在同一数轴上，并找出它们的公共部分； （3）写组解，将（2）步中所确定的公共部分用不等式表示出来，就是原不等式组的解集。 清单05 含参数类不等式组的问题 方法步骤总结： ① 解出不等式（组）的解集——用含参数的表达式表示； ② 根据题目要求，借助数轴，确定参数表达式的范围，必在两个相邻整数之间； ③ 由空心、实心判断参数两边边界哪边可以取“=”，哪边不能取“=”。（不等式组则由解集的判断口诀来决定哪边界可以取“=”）； ④ 解出参数所在不等式（组）的解集，得参数字母的值或范围。 清单06 一元一次不等式组的应用 步骤如下： （1）审：审清题意，找出已知量和未知量； （2）设：设出适当的未知数（只能设一个未知数）； （3）找：找出反映题目数量关系的不等关系； （4）列：用代数式表示不等关系中的量，列不等式组； （5）解：解不等式组，并用数轴上表示它的解集； （6）写出答案（包括单位名称）。 清单07 一元一次不等式与一次函数 （1）由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围. （2）如何确定两个不等式的大小关系 （≠，且）的解集的函数值大于的函数值时的自变量取值范围直线在直线的上方对应的点的横坐标范围． 【考点题型一】不等式的定义（） 【例1】（23-24八年级下·陕西西安·期中）下列各式中，属于不等式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24八年级下·辽宁朝阳·期中）下列是不等式的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24八年级下·广东佛山·期中）在通过桥洞时，我们往往会看到如图所示的标志，这是限制车高的标志，下列车高中， 不能通过桥洞的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24八年级下·山西晋中·期中）2024年2月25日，国家粮食和物资储备局发布消息称，全国累计收购秋粮超1.5亿吨．若用（亿吨）表示我国今年秋粮收购的数量，则满足的关系为（　　） A． B． C． D． 【变式1-4】（23-24八年级下·河南郑州·期中）一种药品的说明书上写着：“每日用量，分次服完”，若每次服用这种药的剂量为，则x的取值范围是 ． 【考点题型二】不等式的性质（） 【例2】（23-24八年级下·贵州六盘水·期中）如果，那么下列结论中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（22-23八年级上·浙江宁波·期末）已知，则下列各式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如果，，那么下列不等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24八年级下·江西景德镇·期中）观察下图，下面四个判断正确的是（   ） A．小兰体重小云体重 B．小云体重小冬体重 C．小兰体重小冬体重 D．以上都不对 【变式2-4】（23-24八年级下·辽宁锦州·期中）下列不等式是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-5】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）将已知关于x的不等式的解集为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【考点题型三】一元一次不等式(组)的定义（） 【例3】（23-24八年级下·河南郑州·期中）下列各项中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（22-23八年级下·广东深圳·期中）已知是关于的一元一次不等式，则 ． 【考点题型四】解一元一次不等式(组)（） 【例4】（23-24八年级下·甘肃兰州·期中）解不等式组：，并将不等式组的解集在数轴上表示出来． 【变式4-1】（23-24八年级下·广东深圳·期中）不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25八年级上·浙江湖州·期中）解不等式：，并将它的解集在数轴上表示出来． 【变式4-3】（23-24八年级下·贵州六盘水·期中）求不等式的解集． 解：根据“同号两数相乘，积为正”可得 ①或② 解不等式①，得， 解不等式②，得， 原不等式得解集为或． 请你仿照上述方法解决下列问题： (1)求不等式的解集； (2)求不等式的解集． 【变式4-4】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）解不等式（组）： (1) (2) 【考点题型五】由一元一次不等式组的解集求参数（） 【例5】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）不等式组的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25八年级上·浙江·期中）若关于的不等式组有解，则（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24八年级下·甘肃兰州·期中）如果不等式组恰有2个整数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（23-24八年级下·四川成都·期中）若关于的不等式组有且仅有3个整数解，则的取值范围为 ． 【变式5-4】（23-24八年级下·广东茂名·期中）若不等式组的解集是，则m的取值范围是 ． 【变式5-5】（23-24八年级下·陕西咸阳·期中）关于x的不等式组的解集为，则m的取值范围是 ． 【变式5-6】（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如果不等式组有且仅有4个整数解，那么m的取值范围是 ． 【考点题型六】不等式组与方程组的结合问题（） 【典例6】（24-25八年级上·湖南长沙·开学考试）若存在一个整数，使得关于的方程组的解满足，且让不等式只有3个整数解，则满足条件的所有整数的和是（   ） A．12 B．6 C．—14 D．—15 【变式6-1】（23-24七年级下·四川乐山·期末）已知关于x，y的方程组的解都为整数，且关于x的不等式组，恰有3个整数解，则所有满足条件的整数a的和为（   ） A．10 B．8 C．6 D．4 【变式6-2】（24-25八年级上·重庆·期中）若使得关于的不等式至少2个整数解，且关于x，y的方程组的解满足，则满足条件的整数之和是 ． 【考点题型七】一元一次不等式组的实际应用（） 【例7】（24-25八年级上·重庆·期中）学校计划购买一批平板电脑和一批学习机，经投标，购买台平板电脑比购买台学习机多元，购买台平板电脑和台学习机共需元． (1)求购买台平板电脑和台学习机各需多少元？ (2)学校根据实际情况，决定购买平板电脑和学习机共台，要求购买的总费用不超过元，且购买学习机的台数不超过购买平板电脑台数的倍．请问有哪几种购买方案？哪种方案最省钱？ 【变式7-1】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）若干名学生住宿舍，若每间住4人，则2人无处住；若每间住6人，则还有一间不空也不满，若设有x间宿舍，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）数学项目小组为解决某超市购物车从1楼到2楼的转运问题，进行了调研，获得如下信息： 信息1 购物车的尺寸如图1所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列．如图2所示，3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为1.6米． 信息2 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运．为安全起见，该超市的扶手电梯一次最多能转运24辆购物车，直立电梯一次性最多能转运2列长度均为2.6米的购物车列．    如果你是项目小组成员，请根据以上信息，完成下列问题： (1)当n辆购物车按图2的方式叠放时，形成购物车列的长度为L米，则L与n的关系式是________； (2)求该超市直立电梯一次最多能转运的购物车数量； (3)若该超市需转运100辆购物车，使用电梯总次数为5次，则有几种方案可供选择？请说明理由． 【变式7-4】（24-25八年级上·湖南长沙·期中）秋季由于气候干燥，天气转冷，用火用电情况大量增加，起火原因增多，火灾危险性加大．为了加强秋季防火用电安全，提高同学们的安全防范意识，某学校组织了“用电安全”知识竞赛，对表现优异的班级进行奖励，学校购买了若干支钢笔和中性笔．购买支钢笔和支中性笔共需元；购买支钢笔和支中性笔共需元． (1)求购买支钢笔和支中性笔各需多少元； (2)若学校购买钢笔和中性笔共支，其中钢笔的数量不得少于中性笔数量的，且总支出不超过元，那学校有哪几种购买方案？ 【变式7-5】（24-25八年级上·广东江门·开学考试）为进一步提升摩托车、电动自行车骑乘人员和汽车驾乘人员安全防护水平，公安部交通管理局部署在全国开展“一盔一带”安全守护行动．某商店销售，两种头盔，批发价和零售价格如表所示，请解答下列问题． 名称 种头盔 种头盔 批发价（元/个） 60 40 零售价（元/个） 80 50 (1)该商店第一次批发，两种头盔共120个，用去5600元钱，求，两种头盔各批发了多少个； (2)该商店第二次仍然批发这两种头盔（批发价和零售价不变），用去7200元钱，要求批发种头盔不高于76个，要想将第二次批发的两种头盔全部售完后，所获利润不低于2160元，则该商店第二次有几种批发方案． 【变式7-6】（23-24八年级下·广东深圳·期中）根据以下素材，探索完成任务 背景 福田区某学校拟向公交公司租借A、B两种车共8辆，用于接送八年级师生去实践基地参加社会实践活动． 素材1 A型车最大载客量是人，B型车的最大载客量是人，已知此前明华中学租用了3辆A型车和2辆B型车花费了元，安阳中学租用了4辆A型车和4辆B型车花费了元． 素材2 八年级的师生共有人，根据学校预算，租车的费用需要控制在元（包含元）以内． 问题解决 任务1 A型车和B型车每辆的租金分别是多少元？ 任务2 根据素材2中该校八年级师生的实际情况，该如何租车？请给出所有满足条件的租车方案． 任务3 在所有满足条件的租车方案中，花费最少的方案比预算元省多少钱？ 【考点题型八】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集（） 【例8】（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，一次函数的图像与x轴交于点，则不等式的解为（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（23-24八年级下·福建漳州·期中）已知不等式的解集是，下列有可能是一次函数的图象的是（　　） A．B．C． D． 【变式8-2】（23-24八年级下·广东茂名·期中）如图，一次函数的图象过两点，则关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（23-24八年级下·河南郑州·期中）如图，直线经过点，，则关于的不等式的解集是 ． 【考点题型九】根据两条直线的交点求不等式的解集（） 【例9】（23-24八年级下·贵州六盘水·期中）如图，函数的图象经过点，与函数的图象交于点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】（24-25八年级上·安徽滁州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与正比例函数的图象交于点A，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】（24-25八年级上·安徽亳州·期中）如图，直线经过点和点，直线过点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式9-3】（23-24八年级下·吉林·期中）如图，直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为 ．    3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单02 一元一次不等式和一元一次不等式（组） （9个考点梳理+题型解读+提升训练） 清单01 不等式 （1）不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式，例如： 等都是不等式． （2） 常见的不等号有５种：“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”． 清单02 不等式的性质 基本性质１：不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号方向不变． 如果，那么 如果，那么 基本性质２：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 如果，并且，那么(或) 如果，并且，那么(或) 基本性质３：不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 如果，并且，那么(或) 如果，并且，那么(或) 不等式的互逆性：如果，那么；如果，那么． 不等式的传递性：如果，，那么． 易错点：①不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． ②在计算的时候符号方向容易忘记改变． 清单03 一元一次不等式（组） （1）只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，是一个一元一次不等式． （2）一元一次不等式组：由几个同一未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式。 清单04 解一元一次不等式组 解一元一次不等式组的步骤： （1）求分解，分别解不等式组中的每一个不等式，并求出它们的解； （2）画公解，将每一个不等式的解集画在同一数轴上，并找出它们的公共部分； （3）写组解，将（2）步中所确定的公共部分用不等式表示出来，就是原不等式组的解集。 清单05 含参数类不等式组的问题 方法步骤总结： ① 解出不等式（组）的解集——用含参数的表达式表示； ② 根据题目要求，借助数轴，确定参数表达式的范围，必在两个相邻整数之间； ③ 由空心、实心判断参数两边边界哪边可以取“=”，哪边不能取“=”。（不等式组则由解集的判断口诀来决定哪边界可以取“=”）； ④ 解出参数所在不等式（组）的解集，得参数字母的值或范围。 清单06 一元一次不等式组的应用 步骤如下： （1）审：审清题意，找出已知量和未知量； （2）设：设出适当的未知数（只能设一个未知数）； （3）找：找出反映题目数量关系的不等关系； （4）列：用代数式表示不等关系中的量，列不等式组； （5）解：解不等式组，并用数轴上表示它的解集； （6）写出答案（包括单位名称）。 清单07 一元一次不等式与一次函数 （1）由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围. （2）如何确定两个不等式的大小关系 （≠，且）的解集的函数值大于的函数值时的自变量取值范围直线在直线的上方对应的点的横坐标范围． 【考点题型一】不等式的定义（） 【例1】（23-24八年级下·陕西西安·期中）下列各式中，属于不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式的定义，用不等号连接的式子叫做不等式，据此求解即可． 【详解】解：根据不等式的定义可知，四个式子中只有B选项是不等式， 故选：B． 【变式1-1】（23-24八年级下·辽宁朝阳·期中）下列是不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了不等式的定义．根据不等式的定义，逐项判断即可．用“>”或“<”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式． 【详解】解：A、是代数式，不是不等式，故此选项不符合题意； B、是不等式，故此选项符合题意； C、是等式，故此选项不符合题意； D、是代数式，不是不等式，故此选项不符合题意． 故选：B． 【变式1-2】（23-24八年级下·广东佛山·期中）在通过桥洞时，我们往往会看到如图所示的标志，这是限制车高的标志，下列车高中， 不能通过桥洞的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查不等式，熟练掌握不等式的定义是解决本题的关键．根据不等式的定义解决此题． 【详解】解：设桥洞的高， 由题意可得，． 故选：D． 【变式1-3】（23-24八年级下·山西晋中·期中）2024年2月25日，国家粮食和物资储备局发布消息称，全国累计收购秋粮超1.5亿吨．若用（亿吨）表示我国今年秋粮收购的数量，则满足的关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式，熟练掌握不等式的定义，理解题干中“超1.5亿”即“大于1.5亿”是解题的关键．根据不等式的定义解答即可． 【详解】解：根据题意得：， 故选：B． 【变式1-4】（23-24八年级下·河南郑州·期中）一种药品的说明书上写着：“每日用量，分次服完”，若每次服用这种药的剂量为，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查不等式的定义．确定每天服用，2次或3次每次的剂量；每天服用，2次或3次每次的剂量，找到最少的剂量和最多的剂量确定范围即可． 【详解】解：由题意，每日用量，分次服完， 则，， ，， 若每天服用2次，则所需剂量为之间， 若每天服用3次，则所需剂量为之间， 故一次服用这种药的剂量为之间． 则的取值范围是：． 故答案为：． 【考点题型二】不等式的性质（） 【例2】（23-24八年级下·贵州六盘水·期中）如果，那么下列结论中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查不等式的性质，解题的关键是熟练运用不等式的性质，本题属于基础题型．根据不等式的性质即可求出答案． 【详解】解：A、， ∴， ∴，A选项错误，不符合题意； B、， ∴，B选项正确，符合题意； C、， ∴，C选项错误，不符合题意； D、， ，D选项错误，不符合题意． 故选：B． 【变式2-1】（22-23八年级上·浙江宁波·期末）已知，则下列各式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，分别判断即可． 【详解】解：∵， ∴，故A不符合题意； ∵， ，故B符合题意； 当时，，故C不符合题意； ∵， ∴，故D不符合题意， 故选：B． 【变式2-2】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如果，，那么下列不等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式的性质等知识点，根据不等式的基本性质逐一判定即可得解，熟练掌握不等式的性质是解决此题的关键． 【详解】解：A、由得到：,选项结论成立，故本选项不符合题意； 由得到：，选项结论成立，故本选项不符合题意； 由得到：，选项结论成立，故本选项不符合题意； 由得到：，选项结论不成立，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式2-3】（23-24八年级下·江西景德镇·期中）观察下图，下面四个判断正确的是（   ） A．小兰体重小云体重 B．小云体重小冬体重 C．小兰体重小冬体重 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的性质，从跷跷板可以看出三个小朋友的体重之间的关系是小兰小云，小云小冬，从而得到小兰和小冬的体重之间的关系 ． 【详解】解：从跷跷板可以看出三个小朋友的体重之间的关系是小兰小云，小云小冬， 可得：小兰小冬 故选：C． 【变式2-4】（23-24八年级下·辽宁锦州·期中）下列不等式是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，只含有一个未知数并且未知数的次是1的不等式是一元一次不等式，据此求解即可． 【详解】解：根据一元一次不等式的定义可知，四个选项中只有C选项中的不等式是一元一次不等式， 故选：C． 【变式2-5】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）将已知关于x的不等式的解集为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查不等式的性质，掌握不等式的性质解一元一次不等式的方法是解题的关键． 不等式的性质：不等式两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式两边同时乘以或除以一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变；按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵不等式的解集为， ∴， 解得：， 故选：B． 【考点题型三】一元一次不等式(组)的定义（） 【例3】（23-24八年级下·河南郑州·期中）下列各项中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义，根据一元一次不等式组的定义逐个判断即可．含有相同字母的几个不等式，如果每个不等式都是一次不等式，那么这几个不等式组合在一起，就叫一元一次不等式组． 【详解】解：A. 第二个不等式中有的式子不是整式，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；     B. 有两个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；     C. 最高二次，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；     D. 是一元一次不等式组，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式3-1】（22-23八年级下·广东深圳·期中）已知是关于的一元一次不等式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式的定义，根据定义得到，解不等式即可得到答案，熟记一元一次不等式的定义是解决问题的关键． 【详解】解： 是关于的一元一次不等式， ，则或，且，解得， 故答案为：． 【考点题型四】解一元一次不等式(组)（） 【例4】（23-24八年级下·甘肃兰州·期中）解不等式组：，并将不等式组的解集在数轴上表示出来． 【答案】；数轴见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．需要注意的是：如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点．分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，然后将解集表示在数轴上即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∴表示在数轴上为： 【变式4-1】（23-24八年级下·广东深圳·期中）不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．本题分别求出各个不等式的解集，即可写出不等式组的解集，并在数轴上表示出来即可． 【详解】解： 解①式得：， 解②式得：， ∴不等式组的解集为：， 解集表示在数轴上如下： ， 故选：D 【变式4-2】（24-25八年级上·浙江湖州·期中）解不等式：，并将它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【分析】本题考查了解不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解不等式的一般步骤是解题的关键；根据去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可解出不等式，再在数轴上表示解集即可． 【详解】解：， ， ， ， 如图所示： 【变式4-3】（23-24八年级下·贵州六盘水·期中）求不等式的解集． 解：根据“同号两数相乘，积为正”可得 ①或② 解不等式①，得， 解不等式②，得， 原不等式得解集为或． 请你仿照上述方法解决下列问题： (1)求不等式的解集； (2)求不等式的解集． 【答案】(1)原不等式得解集为 (2)原不等式得解集为或 【分析】本题主要考查了解不等式组， （1）根据“异号两数相乘，积为负”可得不等式组，再求出解； （2）根据“同号两数相除，商为正；被除数为0，商为0”可得不等式组，再求出解． 【详解】（1）解：根据“异号两数相乘，积为负”可得 ①或② 解不等式①，得， 不等式②无解， 原不等式得解集为； （2）解：根据“同号两数相除，商为正；被除数为0，商为0”可得 ①或② 解不等式①，得， 解不等式②，得， 原不等式得解集为或． 【变式4-4】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）解不等式（组）： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组和解一元一次不等式，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）不等式移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】（1）解： 解得； （2）解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为：． 【考点题型五】由一元一次不等式组的解集求参数（） 【例5】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）不等式组的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解不等式组的方法和步骤． 先求解不等式，结合原不等式组的解集是，得出关于的不等式，求解即可． 【详解】解：解不等式， 可得：， ∵原不等式组的解集是， ∴， 解得：， 故答案为：C． 【变式5-1】（24-25八年级上·浙江·期中）若关于的不等式组有解，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求不等式组的解集，掌握不等式的性质，取值方法是解题的关键． 根据不等式的性质，及取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”的方法即可求解． 【详解】解：关于的不等式组有解， ∴， 故选：D ． 【变式5-2】（23-24八年级下·甘肃兰州·期中）如果不等式组恰有2个整数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式组的整数解，解不等式组应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 首先解不等式组求得不等式组的解集，然后根据不等式组恰有2个整数解，即可确定整数解，然后得到关于a的不等式求解即可． 【详解】解：解不等式组得：， ∵恰好有2个整数解， ∴整数解是2，1， ∴． 故选：D． 【变式5-3】（23-24八年级下·四川成都·期中）若关于的不等式组有且仅有3个整数解，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组、根据不等式组的整数解个数确定参数范围等知识，先解出不等式组的解集，在数轴上表示出参数可能得位置，从而得到参数的范围即可，熟练掌握由不等式组的整数解个数确定参数范围的题型解法是解决问题的关键． 【详解】解：， 由②得， 关于的不等式组有且仅有3个整数解， 有且仅有3个整数解， 在数轴上表示出的可能位置，如图所示： 的取值范围为， 故答案为：． 【变式5-4】（23-24八年级下·广东茂名·期中）若不等式组的解集是，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，结合不等式组的解集可得答案． 【详解】解：， 解不等式①得： ∵不等式组的解集是， ∴． 故答案为： 【变式5-5】（23-24八年级下·陕西咸阳·期中）关于x的不等式组的解集为，则m的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，先分别求出不等式组中两个不等式的解集， 再根据不等式组的解集得到，解之即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵关于x的不等式组的解集为， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式5-6】（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如果不等式组有且仅有4个整数解，那么m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组、不等式组的整数解，得到关于m的不等式组是解答的关键．先求得已知不等式组的解集，进而得到关于m的不等式组，然后解不等式组即可求解． 【详解】解：解不等式组，得， ∵已知不等式组有且仅有4个整数解， ∴，解得， 故答案为：． 【考点题型六】不等式组与方程组的结合问题（） 【典例6】（24-25八年级上·湖南长沙·开学考试）若存在一个整数，使得关于的方程组的解满足，且让不等式只有3个整数解，则满足条件的所有整数的和是（   ） A．12 B．6 C．—14 D．—15 【答案】D 【分析】根据方程组的解的情况，以及不等式组的解集情况，求出的取值范围，再进行求解即可． 本题主要考查了解二元一次方程组、解不等式组，求不等式的整数解等知识点，掌握解方程组和不等式组的方法是解题的关键． 【详解】解：， ，得：， ∴， ∵， ∴， 解得：， 解不等式，得：， 解不等式，得：， 故不等式组的解集是： ∵不等式组只有3个整数解， ∴，解得， ∴， ∴符合条件的整数m的值的和为， 故选：D． 【变式6-1】（23-24七年级下·四川乐山·期末）已知关于x，y的方程组的解都为整数，且关于x的不等式组，恰有3个整数解，则所有满足条件的整数a的和为（   ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查解二元一次方程组和一元一次不等式组的能力，解题的关键是根据题意得出关于a的不等式组．根据不等式组求出a的范围，然后再根据方程组求出a的取值，从而确定的a的可能值即可得出答案． 【详解】解：解方程组得：， ∵方程组的解为整数， ∴、、， 解得：或0或1或或3或， 解不等式组，得：， ∵不等式组有且仅有3个整数解，即整数解为：， ∴， 解得：，满足条件的整数a有1、2、3、4， 综上所述：满足条件的整数a的值是1、3， ∴所有满足条件的整数a的值之和是． 故选：D． 【变式6-2】（24-25八年级上·重庆·期中）若使得关于的不等式至少2个整数解，且关于x，y的方程组的解满足，则满足条件的整数之和是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式组和方程组相结合的问题，先求出不等式组两个不等式的解集，再根据不等式组至少有两个整数解得到；再利用加减消元法得到，则，据此求出即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组至少2个整数解， ∴， ∴； 得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴满足条件的整数m有3、4、5、6、7， ∴满足条件的整数之和是， 故答案为：． 【考点题型七】一元一次不等式组的实际应用（） 【例7】（24-25八年级上·重庆·期中）学校计划购买一批平板电脑和一批学习机，经投标，购买台平板电脑比购买台学习机多元，购买台平板电脑和台学习机共需元． (1)求购买台平板电脑和台学习机各需多少元？ (2)学校根据实际情况，决定购买平板电脑和学习机共台，要求购买的总费用不超过元，且购买学习机的台数不超过购买平板电脑台数的倍．请问有哪几种购买方案？哪种方案最省钱？ 【答案】(1)购买一台平板电脑需元，一台学习机需元 (2)3种方案，见解析；购买平板电脑台，学习机台最省钱 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，以及二元一次方程组的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键． （1）设购买一台平板电脑需元，一台学习机需元，根据题意列出方程组，解方程组即可求出和的值，即可； （2）设购买平板电脑台，则购买学习机台，根据题意列出不等式组，解不等式组求出的取值范围，即可得出购买方案，进而得出最省钱的方案． 【详解】（1）解：设购买一台平板电脑需元，一台学习机需元． 由题意得：， 解得：， 故购买一台平板电脑需元，一台学习机需元． （2）解：设购买平板电脑台，则购买学习机台． 由题意得：， 解得：， ∵是整数， ∴，，． 方案：购买平板电脑台，学习机台，费用为（元）； 方案：购买平板电脑台，学习机台，费用为（元）； 方案：购买平板电脑台，学习机台，费用为（元）； 则购买平板电脑台，学习机台最省钱． 【变式7-1】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）若干名学生住宿舍，若每间住4人，则2人无处住；若每间住6人，则还有一间不空也不满，若设有x间宿舍，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，设有x间宿舍，则一共有人，根据题意可知每间住6人，则含有一间房住的人数大于0人，小于6人，据此列出不等式组即可． 【详解】解：设有x间宿舍，则一共有人， 由题意得，， 故选：A． 【变式7-2】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次不等式组的实际应用，理解不超过为小于等于，不少于为大于等于是解题关键．设购买篮球个，则购买排球个，再结合题意列出不等式组即可． 【详解】解：设购买篮球个，则购买排球个， 由购买资金不超过3600元，可列， 由购买篮球的数量不少于排球数量的一半，可列， 即可列不等式组为． 故选C． 【变式7-3】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）数学项目小组为解决某超市购物车从1楼到2楼的转运问题，进行了调研，获得如下信息： 信息1 购物车的尺寸如图1所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列．如图2所示，3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为1.6米． 信息2 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运．为安全起见，该超市的扶手电梯一次最多能转运24辆购物车，直立电梯一次性最多能转运2列长度均为2.6米的购物车列．    如果你是项目小组成员，请根据以上信息，完成下列问题： (1)当n辆购物车按图2的方式叠放时，形成购物车列的长度为L米，则L与n的关系式是________； (2)求该超市直立电梯一次最多能转运的购物车数量； (3)若该超市需转运100辆购物车，使用电梯总次数为5次，则有几种方案可供选择？请说明理由． 【答案】(1)； (2)直立电梯一次性最多可以运输辆购物车； (3)共有种运输方案，理由见解析． 【分析】（）根据“一辆购物车车身长，每增加一辆购物车，车身增加”，列出函数关系式； （）把代入解析式，求出的值即可； （）设用扶手电梯运输次，直立电梯运输次，根据题意得 ，求出的取值范围即可； 本题考查了一次函数的应用和一元一次不等式组的应用，解题的关键是列出函数解析式和不等式组． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴车身总长与购物车辆数的表达式为， 故答案为：； （2）解：当时，， 解得：，（辆）， 答：直立电梯一次性最多可以运输辆购物车； （3）解：有3种，设用扶手电梯运输次，直立电梯运输次， 由（）得：直立电梯一次性最多可以运输辆购物车， ∴ ， 解得：， ∴为正整数， ∴ ，，， ∴共有种运输方案： 扶手电梯运次，直立电梯运次； 扶手电梯运次，直立电梯运次； 扶手电梯运次． 【变式7-4】（24-25八年级上·湖南长沙·期中）秋季由于气候干燥，天气转冷，用火用电情况大量增加，起火原因增多，火灾危险性加大．为了加强秋季防火用电安全，提高同学们的安全防范意识，某学校组织了“用电安全”知识竞赛，对表现优异的班级进行奖励，学校购买了若干支钢笔和中性笔．购买支钢笔和支中性笔共需元；购买支钢笔和支中性笔共需元． (1)求购买支钢笔和支中性笔各需多少元； (2)若学校购买钢笔和中性笔共支，其中钢笔的数量不得少于中性笔数量的，且总支出不超过元，那学校有哪几种购买方案？ 【答案】(1)元；元 (2)种，方案见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，找出之间的数量关系，列出二元一次方程组和一元一次不等式组． （）设购买一支钢笔需元，一支中性笔需元，根据购买支钢笔和支中性笔共需元；购买支钢笔和支中性笔共需元．可得出方程组，解出即可． （）设购买支钢笔，则购买支中性笔，根据钢笔的数量不得少于中性笔数量的，且总支出不超过元，列不等式组求出的取值范围，即可得出购买方案． 【详解】（1）解：设购买一支钢笔需元，一支中性笔需元． 由题意，得 解得 答：购买一支钢笔需元，一支中性笔需元． （2）解：设购买支钢笔，则购买支中性笔． 由题意，得 解得 ∵为整数， ∴，，． ∴有以下种购买方案： ①当购买钢笔的数量为支时，中性笔数量为支； ②当购买钢笔的数量为支时，中性笔数量为支； ③当购买钢笔的数量为支时，中性笔数量为支． 【变式7-5】（24-25八年级上·广东江门·开学考试）为进一步提升摩托车、电动自行车骑乘人员和汽车驾乘人员安全防护水平，公安部交通管理局部署在全国开展“一盔一带”安全守护行动．某商店销售，两种头盔，批发价和零售价格如表所示，请解答下列问题． 名称 种头盔 种头盔 批发价（元/个） 60 40 零售价（元/个） 80 50 (1)该商店第一次批发，两种头盔共120个，用去5600元钱，求，两种头盔各批发了多少个； (2)该商店第二次仍然批发这两种头盔（批发价和零售价不变），用去7200元钱，要求批发种头盔不高于76个，要想将第二次批发的两种头盔全部售完后，所获利润不低于2160元，则该商店第二次有几种批发方案． 【答案】(1)A种头盔批发了40个，B种头盔批发了80个 (2)该商店第二次有3种批发方案 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设A种头盔批发了x个，B种头盔批发了y个，根据“该商店第一次批发A,B两种头盔共120个，用去5600元钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设该商店第二次批发了m个A种头盔，则批发了个B种头盔，根据“批发A种头盔不高于76个，第二次批发的两种头盔全部售完后，所获利润不低于2160元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数，求出m的值再判断即可． 【详解】（1）解：设A种头盔批发了x个，B种头盔批发了y个，依意得： ， 解得：， 答：A种头盔批发了40个，B种头盔批发了80个； （2）解：设该商店第二次批发了m个A种头盔，则批发了个B种头盔，根据题意得， ， 解得：， 又∵m，均为正整数， ∴m可以为72，74，76， ∴该商店第二次有3种批发方案． 【变式7-6】（23-24八年级下·广东深圳·期中）根据以下素材，探索完成任务 背景 福田区某学校拟向公交公司租借A、B两种车共8辆，用于接送八年级师生去实践基地参加社会实践活动． 素材1 A型车最大载客量是人，B型车的最大载客量是人，已知此前明华中学租用了3辆A型车和2辆B型车花费了元，安阳中学租用了4辆A型车和4辆B型车花费了元． 素材2 八年级的师生共有人，根据学校预算，租车的费用需要控制在元（包含元）以内． 问题解决 任务1 A型车和B型车每辆的租金分别是多少元？ 任务2 根据素材2中该校八年级师生的实际情况，该如何租车？请给出所有满足条件的租车方案． 任务3 在所有满足条件的租车方案中，花费最少的方案比预算元省多少钱？ 【答案】任务1：A型车每辆的租金是元，B型车每辆的租金是元；任务2：共有2种租车方案，方案1：租用A型车2辆，B型车6辆：方案2：租用A型车3辆，B型车5辆；任务3：花费最少的是方案1，节省了元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：任务1：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；任务2：根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；任务3：根据各数量之间的关系，求出选择各租车方案所需总租金. 任务1：设A型车每辆的租金是x元，B型车每辆的租金是y元，根据“明华中学租用了3辆A型车和2辆B型车花费了元，安阳中学租用了4辆A型车和4辆B型车花费了元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； 任务2：设租用A型车a辆，则租用B型车辆，根据总载客量不少于305人且总租金不超过元，可列出关于a的一元一次不等式组，解之可得出a的取值范围，再结合a为正整数，即可得出各租车方案； 任务3：求出选择各租车方案所需总租金，比较后，用元减去花费最少的总租金，即可得出结论. 【详解】解：任务1：设A型车每辆的租金是x元，B型车每辆的租金是y元， 根据题意得： 解得： 答：A型车每辆的租金是元，B型车每辆的租金是元； 任务2：设租用A型车a辆，则租用B型车辆， 根据题意得：， 解得：， 又∵a为正整数， ∴a可以为2，3， ∴共有2种租车方案， 方案1：租用A型车2辆，B型车6辆： 方案2：租用A型车3辆，B型车5辆： 任务3：选择方案1所需总租金为（元）； 选择方案2所需总租金为（元）. ∵，（元）， ∴花费最少的是方案1，节省了元. 【考点题型八】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集（） 【例8】（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，一次函数的图像与x轴交于点，则不等式的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握函数图象法是解题关键．找出一次函数的图象位于轴上方时，的取值范围即可得． 【详解】解：不等式表示的是一次函数的图象位于轴上方， 则由函数图象可知，不等式的解为， 故选：A． 【变式8-1】（23-24八年级下·福建漳州·期中）已知不等式的解集是，下列有可能是一次函数的图象的是（　　） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数与一元一次不等式的关系，将不等式问题转化为图象求解是解题关键． 由不等式的解集是可得直线与x轴交点为且y随x增大而增大即可解答． 【详解】解：∵不等式的解集是， ∴直线与x轴交点为且y随x增大而增大，即A选项符合题意． 故选：A． 【变式8-2】（23-24八年级下·广东茂名·期中）如图，一次函数的图象过两点，则关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数和一元一次不等式的知识点，解答本题的关键是进行数形结合，此题比较简单．根据一次函数与一元一次不等式的关系即可直接得出答案． 【详解】解：由一次函数的图象经过两点， 根据图象可知：关于的不等式的解集是， 故选：A． 【变式8-3】（23-24八年级下·河南郑州·期中）如图，直线经过点，，则关于的不等式的解集是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，利用数形结合的思想求解是解题的关键．根据函数图象找到直线的图象在x轴上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可知，当直线的图象在x轴上方时，， ， ∴关于x的不等式的解集是， 故答案为：． 【考点题型九】根据两条直线的交点求不等式的解集（） 【例9】（23-24八年级下·贵州六盘水·期中）如图，函数的图象经过点，与函数的图象交于点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据两条直线的交点求不等式的解集， 先将代入关系式求出x，从交点向左一次函数的图象在一次函数的图象上方，即可得出不等式的解集． 【详解】解：当时，， 解得． 当时，两个函数值相等， ∴当时，． 故选：B． 【变式9-1】（24-25八年级上·安徽滁州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与正比例函数的图象交于点A，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握函数图象法是解题关键．关于的不等式表示的是一次函数的图象位于正比例函数的图象的上方，结合函数图象求解即可得． 【详解】解：∵关于的不等式表示的是一次函数的图象位于正比例函数的图象的上方， ∴结合函数图象可知，关于的不等式的解集为， 故选：B． 【变式9-2】（24-25八年级上·安徽亳州·期中）如图，直线经过点和点，直线过点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图象找到直线的函数图象在直线的图象下方时，自变量的取值范围即可得到答案．本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系，掌握一次函数与不等式之间的关系是关键． 【详解】解：∵直线经过点和点，直线过点， ∴点是直线与直线的交点， ∴由函数图象可知，当直线的函数图象在直线的图象下方时，则的取值范围为， 不等式的解集为， 故选：D． 【变式9-3】（23-24八年级下·吉林·期中）如图，直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为 ．    【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象交点和一元一次不等式的问题的应用，利用数形结合思想是解题的关键．结合图象，不等式的解集是当直线图象在直线图象上方时，所对应自变量的取值范围，由此得解． 【详解】解：由图象可知，当时，直线图象在直线图象上方， ， 不等式的解集为． 故答案为：． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$