特训05 多面体与球的内切外接问题（十一大题型+常用解题策略）-2024-2025学年高一数学期中期末挑战满分冲刺卷（人教A版2019必修第二册，浙江专用）

特训05 多面体与球的内切外接问题（十一大题型） 题型目录： 题型1：圆柱 题型2：棱柱 题型3：三棱锥 题型4：四棱锥 题型5：侧棱垂直于底面的几何体 题型6：四面体 题型7：正方体、长方体 题型8：圆台 题型9：棱台 题型10：其他多面体 题型11：动点、折叠等动态几何 常用解题策略： 一、 外接球问题 若一个简单多面体的所有顶点都在一个球面上，则该球为此多面体的外接球。简单多面体的外接球问题是立体几何的重点和难点，此类问题实质是解决球的半径长或确定球心位置 问题，其中球心位置的确定是关键，下面介绍几种常见的球心位置的确定方法。 如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心。由此，可以得到确定简单多面体外接球的球心位置有如下结论： 结论 1： 正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点。 结论 2 ：正棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点。 结论 3 ：直棱柱的外接球的球心是上、下底面多边形外心连线的中点。 结论 4： 正棱锥外接球的球心在其高上，具体位置通过构造直角三角形计算得到。 结论 5 ：若棱锥的顶点可构共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心。 二、 内切球问题 若一个多面体的各个面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。因此，多面体内切球球心到该多面体各个面的距离相等。 并非所有多面体都有内切球，下面介绍几种常见多面体内切球问题： 1. 正多面体内切球的球心与其外接球的球心重合，内切球的半径为球心到多面体任一面的距离。 2. 正棱锥的内切球与外接球的球心都在其高线上，但不一定重合。 题型1：圆柱 1．用一个内底面直径为3，高为20的圆柱体塑料桶去装直径为2的小球，最多能装下小球个数为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 2．已知一圆柱的轴截面为正方形，母线长为，在该圆柱内放置一个棱长为的正四面体，并且正四面体在该圆柱内可以任意转动，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C． D．4 题型2：棱柱 3．在一个封闭的直三棱柱内有一个体积为V的球，若，，，，则球的体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．在正三棱柱中，，为线段上动点，为边中点，则三棱锥外接球表面积的最小值为 . 题型3：三棱锥 5．在正三棱锥中，，，若半径为的球与三棱锥的六条棱均相切，则（    ） A． B． C． D． 6．在三棱锥中，，，△是正三角形，，则三棱锥的体积为 ；此三棱锥外接球的表面积为 . 7．在三棱锥中，，点在底面的投影为的外心，若，，，则三棱锥的外接球的表面积为 . 题型4：四棱锥 8．在四棱锥中，平面，，且二面角的大小为，．若点均在球O的表面上，则球O的体积的最小值为 . 9．四棱锥中，平面平面，底面为矩形，，，，若四棱锥的外接球表面积为，则四棱锥的体积为（    ） A． B． C．或 D．或 题型5：侧棱垂直于底面的几何体 10．如图，四棱锥中，面，四边形为正方形，，与平面所成角的大小为，且，则四棱锥的外接球表面积为（   ） A．26π B．28π C．34π D．14π 11．如图，在四面体中，与均是边长为的等边三角形，二面角的大小为，则四面体的外接球表面积为 . 题型6：四面体 12．在四面体中，，且与所成的角为.若该四面体的体积为，则它的外接球半径的最小值为（    ） A． B．2 C．3 D． 13．已知棱长为3的正四面体的几何中心为，平面与以为球心的球相切，若与该正四面体的截面始终为三角形，则球表面积的取值范围为（    ）. A． B． C． D． 题型7：正方体、长方体 14．已知正方体的棱长为4，点是棱的中点，为四边形内（包括边界）的一动点，且满足平面，的轨迹把正方体截成两部分，则较小部分的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 15．正方体的棱长为3，平面内一动点满足，当三棱锥的体积取最大值时，该三棱锥外接球的表面积为 . 16．已知一个长方体的封闭盒子，从同一顶点出发的三条棱长分别为3，4，5，盒内有一个半径为1的小球，若将盒子随意翻动，则小球达不到的空间的体积是（    ） A． B． C． D． 题型8：圆台 17．已知一个圆台的侧面积为，下底面半径比上底面半径大，母线与下底面所成角的正切值为，则该圆台的外接球圆台的上、下底面圆周上的点均在球面上的体积为 ． 18．已知一个圆台的上、下底面半径分别为1和4，高为．若该圆台内有一个球，则该球的表面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 题型9：棱台 19．在正三棱台中，，，二面角的正弦值为，则的外接球体积为（    ） A． B． C． D． 20．已知正四棱台，半球的球心在底面的中心，且半球与该棱台的各棱均相切，则半球的表面积为（      ） A． B． C． D． 21．在正四棱台中，，且正四棱台存在内切球，则此正四棱台外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 题型10：其他多面体 22．如图1，一圆形纸片的圆心为，半径为，以为中心作正六边形，以正六边形的各边为底边作等腰三角形，使其顶角的顶点恰好落在圆上，现沿等腰三角形的腰和中位线裁剪，裁剪后的图形如图2所示，将该图形以正六边形的边为折痕将等腰梯形折起，使得相邻的腰重合得到正六棱台．若该正六棱台的高为，则其外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 23．六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体）.如图所示，正八面体的棱长为，下列说法中正确的个数有（    ） ①异面直线与所成的角为45°； ②此八面体的外接球与内切球的体积之比为； ③若点为棱上的动点，则的最小值为； ④若点为四边形的中心，点为此八面体表面上动点，且，则动点的轨迹长度为. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型11：动点、折叠等动态几何 24（多选）．在四棱锥中，底面是矩形，，，平面平面，点在线段上运动（不含端点），则（   ） A．存在点使得 B．四棱锥外接球的表面积为 C．直线与直线所成角为 D．当动点到直线的距离最小时，过点作截面交于点，则四棱锥的体积是 25（多选）．已知四边形是等腰梯形（如图1），，，，.将沿折起，使得（如图2），连结，，设是的中点，下列结论中不正确的是（    ） A． B．点到平面的距离为 C．平面 D．四面体的外接球的体积为 26（多选）．如图1所示，四边形是边长为的正方形，、、分别为、、的中点，分别沿、及所在直线把、和折起，使、、三点重合于点，得到如图2所示的三棱锥，则下列结论中正确的有（        ）    A．三棱锥的体积为 B．异面直线与所成角的余弦值为 C．过点的平面截三棱锥的外接球，所得截面的面积的最小值为 D．过点的平面截三棱锥的外接球，所得截面的面积的最大值为 ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训05 多面体与球的内切外接问题（十一大题型） 题型目录： 题型1：圆柱 题型2：棱柱 题型3：三棱锥 题型4：四棱锥 题型5：侧棱垂直于底面的几何体 题型6：四面体 题型7：正方体、长方体 题型8：圆台 题型9：棱台 题型10：其他多面体 题型11：动点、折叠等动态几何 常用解题策略： 一、 外接球问题 若一个简单多面体的所有顶点都在一个球面上，则该球为此多面体的外接球。简单多面体的外接球问题是立体几何的重点和难点，此类问题实质是解决球的半径长或确定球心位置 问题，其中球心位置的确定是关键，下面介绍几种常见的球心位置的确定方法。 如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心。由此，可以得到确定简单多面体外接球的球心位置有如下结论： 结论 1： 正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点。 结论 2 ：正棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点。 结论 3 ：直棱柱的外接球的球心是上、下底面多边形外心连线的中点。 结论 4： 正棱锥外接球的球心在其高上，具体位置通过构造直角三角形计算得到。 结论 5 ：若棱锥的顶点可构共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心。 二、 内切球问题 若一个多面体的各个面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。因此，多面体内切球球心到该多面体各个面的距离相等。 并非所有多面体都有内切球，下面介绍几种常见多面体内切球问题： 1. 正多面体内切球的球心与其外接球的球心重合，内切球的半径为球心到多面体任一面的距离。 2. 正棱锥的内切球与外接球的球心都在其高线上，但不一定重合。 题型1：圆柱 1．用一个内底面直径为3，高为20的圆柱体塑料桶去装直径为2的小球，最多能装下小球个数为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【分析】画出平面图,计算出第二个球最高点到圆柱底的最大距离，得到规律即可求解. 【解析】如图，将第一个球靠近该圆柱右侧放置，球上的点到该圆柱底面的最大距离为2，将第二个球也靠近圆柱侧面放置， 过点作垂直于该圆柱的母线，垂足为A,过点作垂直于圆柱底面， 垂足为B,设， 则球上的点到该圆柱底面的最大距离为， 同理可得球上的点到该圆柱底面的最大距离为， 由此规律可得，每多放一个球，最上面的球上的点到该圆柱底面的最大距离加， 因为，故最多能装下小球个数为11. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题考查球的切接问题，关键是得到第二个球最高点到圆柱底的最大距离进而得到规律. 2．已知一圆柱的轴截面为正方形，母线长为，在该圆柱内放置一个棱长为的正四面体，并且正四面体在该圆柱内可以任意转动，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】先通过圆柱的轴截面为正方形，可得该圆柱的内切球半径，再去研究球的内接正四面体，从而转化为研究正四面体的外接球问题即可. 【解析】因为圆柱的轴截面为正方形，母线长为， 所以圆柱的内切球半径为， 若该圆柱内放置一个棱长为的正四面体，并且正四面体在该圆柱内可以任意转动， 则该正四面体内接于该圆柱的内切球时，棱长最大，如图该正四面体的棱长为， 设点在面内的射影为，即面，则球心在上， 且，， 所以， 所以， 在中，， 即， 整理可得：，解得或（舍）， 所以的最大值为4， 故选：D 【点睛】方法点睛：要让正四面体在圆柱内任意转动起来，转化为这个正四面体在圆柱的内切球内，从而问题得解. 题型2：棱柱 3．在一个封闭的直三棱柱内有一个体积为V的球，若，，，，则球的体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设的内切圆的半径为，由等面积法得，解得．由于，所以球的最大半径为，由此能求出结果． 【解析】由题知，球的体积要尽可能大时，球需与三棱柱内切． 所以球在底面内的投影的圆面最大不能超出的内切圆. 设圆与内切，设圆的半径为. 由，，，则 由等面积法得，得. 由于三棱柱高，若球的半径，此时能保证球在三棱柱内部， 所以直三棱柱的内切球半径的最大值为. 所以球的体积的最大值为：. 故选：B    4．在正三棱柱中，，为线段上动点，为边中点，则三棱锥外接球表面积的最小值为 . 【答案】 【分析】建立边长和O到平面ABD距离为OF的函数关系，结合基本不等式，求解出最小值，建立外接球半径的函数，从而求解外接球半径的最小值，从而求出外接球表面积的最小值. 【解析】由正三棱锥的侧棱垂直于底面的性质，设球心O到平面ABD距离为，设， 有因为为直角三角形，则经过直角三角形斜边中点，即为中点. 故取的中点设为，则由正三角形求解高知如图，设， 设球心O到平面ABD距离为OF，设 ，， ， 当且仅当时即取“=”. ，. 故最小为. 故答案为：. 【点睛】立体图形平面化，结合函数和基本不等式的知识求解是问题的关键. 题型3：三棱锥 5．在正三棱锥中，，，若半径为的球与三棱锥的六条棱均相切，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取的中心，连接，即可得到平面，且与棱均相切的球的球心在上，连接并延长交于，连接，过作，交于点，设球的半径为，则，设，再利用勾股定理得到方程求出，即可得解. 【解析】取的中心，连接，则平面，且与棱均相切的球的球心在上. 连接并延长交于，则为的中点，，连接， 因为平面，平面，所以，又，平面， 所以平面， 又平面，所以， 过作，交于点，设球的半径为， 则，因为，，所以，，， 由勾股定理得， 在中，，所以， 设，则， 因为，从而， 所以（负值已舍去），所以； 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径 6．在三棱锥中，，，△是正三角形，，则三棱锥的体积为 ；此三棱锥外接球的表面积为 . 【答案】 【分析】取中点，连接，，可得，，根据线面垂直的判定定理得，，所以三棱锥的体积，再根据数据计算即可.确定球心的位置，再由球的表面积公式即可求解外接球的表面积. 【解析】如图，取中点，连接，. 由题知△是正三角形，△是等腰直角三角形， 所以，，又，，面，所以. 根据题意得，，， 在△中，，所以， 所以，， 则三棱锥的体积. 因为，且为中点，所以P为外接圆的圆心， 设为外接圆的圆心，则， 过点P作平面BCD的垂线，过作平面的垂线，则两条垂线的交点即为球心O， 由可得，所以， 球的半径即为，此三棱锥外接球的表面积为. 故答案为：；. 7．在三棱锥中，，点在底面的投影为的外心，若，，，则三棱锥的外接球的表面积为 . 【答案】 【分析】依题意可得的外心为斜边的中点，且的外接圆的半径，则三棱锥外接球的球心在上，设球心为，外接球的半径为，连接，利用勾股定理求出，再由球的表面积公式计算可得. 【解析】因为，，，所以， 所以的外心为斜边的中点，且的外接圆的半径， 因为平面，所以三棱锥外接球的球心在上， 设球心为，外接球的半径为，连接，则， 所以，解得， 所以三棱锥的外接球的表面积. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径. 题型4：四棱锥 8．在四棱锥中，平面，，且二面角的大小为，．若点均在球O的表面上，则球O的体积的最小值为 . 【答案】/ 【分析】根据题设易得是四边形外接圆的直径，利用线面垂直的性质、判定证、、，进而得到是二面角的平面角，中点为的外接球球心，令且，求得外接球半径关于的表达式，求其最小值，即可求球的最小体积. 【解析】 由题设，在一个圆上，故， 又，则，即，故是四边形外接圆的直径， 由平面，平面，则， 由，面，则面，面，则， 由，面，则面，面，则， 则是二面角的平面角，故， 令且，则，，故， 且都是以为斜边的直角三角形，故中点为外接球球心， 所以外接球半径， 当时，，此时球O的体积的最小值为. 故答案为：. 9．四棱锥中，平面平面，底面为矩形，，，，若四棱锥的外接球表面积为，则四棱锥的体积为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据面面垂直的性质，结合勾股定理即可求解，即可求解四棱锥的高，由体积公式即可求解. 【解析】取的中点，连接， 又因为，所以， 又因为平面平面，且交线为，平面， 所以平面. 设的中心为，球心为，则平面, 于是，. 设四棱锥的外接球半径为，其表面积为,故. 过作，则四边形为矩形， 故,， 在和中， ， ，, 所以，，. 当在平面的上方，此时四棱锥的高为, 四棱锥的体积． 当在平面的下方，此时四棱锥的高为, 四棱锥的体积． 故选:C. 【点睛】本题关键要注意外心即可能在平面上方，也可能在下方，思考问题要周密. 题型5：侧棱垂直于底面的几何体 10．如图，四棱锥中，面，四边形为正方形，，与平面所成角的大小为，且，则四棱锥的外接球表面积为（   ） A．26π B．28π C．34π D．14π 【答案】C 【分析】依题意可将四棱锥补成长方体，则四棱锥的外接球也是长方体的外接球，由可求出的长，进而可求，即为外接球的直径，从而可得外接球的表面积. 【解析】如图，因为面，四边形为正方形， 所以可将四棱锥补成长方体， 则四棱锥的外接球也是长方体的外接球. 由面，所以就是与平面所成的角， 则，所以， 设四棱锥的外接球的半径为， 因为长方体的对角线的长即为其外接球的直径， 所以，所以， 所以四棱锥的外接球的表面积为. 故选：C 11．如图，在四面体中，与均是边长为的等边三角形，二面角的大小为，则四面体的外接球表面积为 . 【答案】 【分析】设为的中心，为四面体的外接球的球心，过作，然后在中，由求出外接球的半径，再由球的表面积公式计算可得. 【解析】如图所示：设为的中心，为四面体的外接球的球心， 则平面． 因为二面角的大小为，即平面平面， 设为线段的中点，外接球的半径为， 连接， 过作于点， 易知为的中心，则， 因为， 故，， 在中，， 故，则． 所以外接球的表面积为， 故答案为：. 题型6：四面体 12．在四面体中，，且与所成的角为.若该四面体的体积为，则它的外接球半径的最小值为（    ） A． B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】将四面体补形为直三棱柱，设，由可得，在中，由勾股定理可得，利用余弦定理和基本不等式求解. 【解析】依题意，可将四面体补形为如图所示的直三棱柱. 因为与所成的角为，所以或. 设，外接球半径记为，外接球的球心如图点. 易知平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离， 于是，所以. 在中，， 在中，由余弦定理得， 显然当时，外接球的半径会更小，此时， 所以， 所以，故它的外接球半径的最小值为2. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题关键是将四面体补形为直三棱柱，转化为求直三棱柱外接球半径的最小值. 13．已知棱长为3的正四面体的几何中心为，平面与以为球心的球相切，若与该正四面体的截面始终为三角形，则球表面积的取值范围为（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意，经分析得出当球的半径最小（应含此情况）时，恰为三棱锥的棱切球，结合图形1建立方程即可求得棱切球半径；为了产生三角形截面，半径最大（不含此情况）时球为三棱锥的外接球，结合图形2建立方程即可求得外接球半径,于是即得符合要求的球表面积的范围. 【解析】依题意，平面与以为球心的球相切，因四面体每个顶点发出了三条棱， 要使与该四面体的截面始终为三角形，就必须使在四面体的每个顶点处只能看到三条棱（其余棱被球挡住）， 因此需要球与每条棱都有公共点，当球与每条棱有且仅有一个公共点时，球为四面体的棱切球， 当球半径继续增大到外接球半径之前，都能确保截面始终为三角形， 而当球半径为外接球半径或更大时，截面将不存在，因此必须使球的半径满足.                  图1 ①下面先来求四面体的棱切球的半径(如图1). 点为顶点在底面上的射影，为棱切球的球心，作于点， 连接并延长交于点，连接，则易得点为中点，易证,故得. 设，因正四面体棱长为3，则,， 在中，,得，又, 故有，，解得（舍去），即四面体的棱切球半径为；             图2 ②接着，再来求四面体的外接球的半径（如图2）， 设外接球半径为,则,由上分析，则, 由题意，,解得,即四面体的外接球半径为. 由上分析，球表面积应满足：，即. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查四面体的棱切球和外接球的应用，属于难题. 解题的关键在于，充分理解题意，判断球的半径最小时（应含此情况）应为四面体的棱切球，球的半径最大时（不含此情况）应为四面体的外接球，结合图形分别求出两个半径即得球表面积的范围. 题型7：正方体、长方体 14．已知正方体的棱长为4，点是棱的中点，为四边形内（包括边界）的一动点，且满足平面，的轨迹把正方体截成两部分，则较小部分的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出辅助线，得到平面平面，确定当在线段上运动时，满足平面，的轨迹把正方体截成两部分，则较小部分为三棱锥， 求出外接球半径，得到外接球体积. 【解析】分别取的中点，连接， 故， 因为，， 所以四边形为平行四边形， 所以，故， 因为平面，平面， 所以平面， 又点是棱的中点，所以，， 故四边形为平行四边形， 所以， 又平面，平面， 所以平面， 因为，平面， 所以平面平面， 故当在线段上运动时，满足平面， 的轨迹把正方体截成两部分，则较小部分为三棱锥， 其中两两垂直，且， 故其外接球半径为， 故较小部分的外接球的体积为. 故选：A 【点睛】特殊几何体的内切球或外接球的问题，常常进行补形，转化为更容易求出外接球或内切球球心和半径的几何体，比如墙角模型，对棱相等的三棱锥常常转化为棱柱来进行求解. 15．正方体的棱长为3，平面内一动点满足，当三棱锥的体积取最大值时，该三棱锥外接球的表面积为 . 【答案】 【分析】由正方体的性质可得点到的距离即为点平面的距离，在平面中，由可确定点的轨迹为圆，进而可确定点在直线上，且，根据正方体的性质和为直角三角形，进而可得 三棱锥外接球的半径为，进而可得. 【解析】由题意点到平面的距离最大时，三棱锥的体积取最大值， 由正方体的性质可知平面平面，且平面平面， 故点到的距离即为点平面的距离， 如图以正方形的边为轴建立平面直角坐标系，则，， 设，则由可得， 整理得，故点的轨迹为以为圆心，以2为半径的圆， 故点到的最大距离为，此时点在直线上， 由正方体的性质可得平面，又平面， 故，为直角三角形，同理也为直角三角形， 故的中点到的距离都相等，即为三棱锥外接球的球心， 其半径为， 故其表面积为 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题先需根据确定点的轨迹为圆，当三棱锥的体积取最大值时，可确定点的位置，进而根据正方体的性质可得为外接球的直径，进而可得. 16．已知一个长方体的封闭盒子，从同一顶点出发的三条棱长分别为3，4，5，盒内有一个半径为1的小球，若将盒子随意翻动，则小球达不到的空间的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别计算小球在8个顶点和12条棱不能到达的空间体积，然后进行相加即可. 【解析】小球在8个顶点不能到达的空间相当于棱长为2的正方体挖去一个半径为1的球， 其体积为， 小球在，，，这4条棱不能到达的空间相当于一个长为3，宽为2，高为2的长方体挖去一个底面半径为1，高为3的圆柱， 其体积为， 小球在，，，这4条棱不能到达的空间相当于一个棱长为2的正方体挖去一个底面半径为1，高为2的圆柱， 其体积为， 小球在，，，这4条棱不能到达的空间相当于一个长为2，宽为2，高为1的长方体挖去一个底面半径为1，高为2的圆柱， 其体积为， 所以小球不能到达的空间的体积为， 故选：B.    题型8：圆台 17．已知一个圆台的侧面积为，下底面半径比上底面半径大，母线与下底面所成角的正切值为，则该圆台的外接球圆台的上、下底面圆周上的点均在球面上的体积为 ． 【答案】 【分析】结合题意计算可得，，，再设出该圆台的外接球球心，借助球的性质得到，再代入数据计算即可得. 【解析】如图，设、分别为上下底面圆心，为母线，为点在底面的投影， 为该圆台的外接球球心， 由该圆台的侧面积为，则有， 即， 由下底面半径比上底面半径大，则有， 由母线与下底面所成角的正切值为，则有，即， 又，即有， 则，即，则， 则有， 即，即，即， 设该圆台的外接球半径为，则, 故该圆台的外接球体积. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于设出该圆台的外接球球心，从而借助勾股定理得到. 18．已知一个圆台的上、下底面半径分别为1和4，高为．若该圆台内有一个球，则该球的表面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，作出圆台轴截面，分析可知，当球与相切时，其表面积最大，再结合条件求得球的半径，得到结果即可. 【解析】如图，作出圆台的轴截面，要使球的表面积最大，则球需要与相切， 设圆的半径为，则， 因为，所以， 作，，因为，所以， 而，由勾股定理得， 则，且， 而， 即得到，解得， 则该球的表面积的最大值为，故B正确. 故选：B 【点睛】关键点点睛：解题关键是判断出表面积最大时的情况，然后利用勾股定理建立方程，得到球的半径，进而得到所要求的表面积即可． 题型9：棱台 19．在正三棱台中，，，二面角的正弦值为，则的外接球体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】记正三棱台上下底面的中心分别为，的中点分别为，的中点为，先判断为二面角的平面角，然后求出棱台的高，判断球心位置，利用勾股定理求解可得半径，然后可得体积. 【解析】记正三棱台上下底面的中心分别为，的中点分别为，的中点为， 如图，因为为等腰梯形，分别为的中点， 所以，由等腰梯形性质可知， 又为正三角形，所以， 所以为二面角的平面角， 由正棱台性质可知，平面， 因为，，所以， 所以， 易知，所以为平行四边形， 所以，所以平面， 由题知， 所以，所以， 所以， 易知，正三棱台的外接球的球心在射线上，记为，半径为 若球心在线段上，则， 即，解得，不符合题意； 若球心在下底面下方，则， 即，解得，则， 所以的外接球体积为. 故选：B 20．已知正四棱台，半球的球心在底面的中心，且半球与该棱台的各棱均相切，则半球的表面积为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析半球与各棱的切点位置，利用球的切线性质，用表示出侧棱长，从不同角度表示出棱台的高，从而建立关于的方程，然后可得. 【解析】由题意可知，为下底面， 记上底面的中心为，过作垂直于平面，垂足为， 易知点在上，记半球与分别相切于点， 由正四棱台和球的对称性可知，为的中点， 因为，所以，， 记半球的半径为，则， 所以，， 分别在中，由勾股定理得， ， 因为，所以， 解得或（舍去）， 所以半球的表面积为. 故选：C 【点睛】关键点睛：本题考查学生的直观想象能力，解题关键在于利用球的切线性质，用表示出侧棱，然后根据棱台的高距离方程求出半径即可. 21．在正四棱台中，，且正四棱台存在内切球，则此正四棱台外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由内切球切点的截面性质，确定内切圆的圆心与半径，从而结合勾股定理得四棱台的高度，再由外接球几何性质建立关系得外接球的半径，从而得所求. 【解析】因为正四棱台内切球存在时，内切球大圆是图中梯形的内切圆，圆心为， 设上下底面的中心分别为． 过作于，连接， 由图可知， 则， 过作于，， 即四棱台的高为， 设外接球球心为，设外接球的半径为， 则 ， 解得， 则外接球表面积为． 故选：A. 【点睛】关键点点睛：关于正四棱台的内切球问题，关键是要通过截面法确定内切圆的圆心与半径，从而转换为几何体的内切球，由几何性质确定正四棱台的高度，从而再根据外接球的性质求解外接球半径，即可得所求。 题型10：其他多面体 22．如图1，一圆形纸片的圆心为，半径为，以为中心作正六边形，以正六边形的各边为底边作等腰三角形，使其顶角的顶点恰好落在圆上，现沿等腰三角形的腰和中位线裁剪，裁剪后的图形如图2所示，将该图形以正六边形的边为折痕将等腰梯形折起，使得相邻的腰重合得到正六棱台．若该正六棱台的高为，则其外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据侧面积与底面积的关系求出相应的边长，进而利用外接球的性质求出半径，从而求出外接球的表面积. 【解析】如图1，设以为底边的等腰三角形的中位线为，连接，分别交于点， 则点分别为的中点． 设，则，，①． 折叠后形成的正六棱台如图2所示，设上底面的中心为，连接， 则． 连接，则是正六棱台的高，即． 过点作，垂足为，则底面，故． 在Rt中，②， 由①②得，解得， 所以正六棱台的上、下底面的边长分别为1和2． 由，可知正六棱台的外接球球心必在线段上， 连接，则为外接球的半径，设为． 在Rt和Rt中，由勾股定理得， 可得， 又因为，，， 即，解得， 则， 所以所求外接球的表面积为． 故选：D． 【点睛】关键点点睛：本题考查平面图形的折叠，几何体外接球的半径，解题关键在于平面图形折叠成立体图形后，要明确变化的量和没有变的量，以及线线的位置，线面的位置关系，对于几何体的外接球的问题，关键在于确定外接球的球心的位置. 23．六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体）.如图所示，正八面体的棱长为，下列说法中正确的个数有（    ） ①异面直线与所成的角为45°； ②此八面体的外接球与内切球的体积之比为； ③若点为棱上的动点，则的最小值为； ④若点为四边形的中心，点为此八面体表面上动点，且，则动点的轨迹长度为. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】对①：借助等角定理，找到与平行，与相交的线段，计算即可得；对②：借助外接球与内切球的性质计算即可得；对③：空间中的距离和的最值问题可将其转化到同意平面中进行计算.对④，计算的值，并比较它们的大小，即可得出当点在平面内时，点在三角形的内切圆上运动，结合对称性即可验算. 【解析】对①：连接，取中点，连接、， 由题意可得、为同一直线，、、、四点共面， 又，故四边形为菱形， 故，故异面直线与所成的角等于直线与所成的角， 即异面直线与所成的角等于，故①错误； 对②：由四边形为正方形，有， 故四边形亦为正方形，即点到各顶点距离相等， 即此八面体的外接球球心为，半径为， 设此八面体的内切球半径为， 则有，化简得， 则此八面体的外接球与内切球的体积之比为，故②正确； 对③：将延折叠至平面中，如图所示： 则在新的平面中，、、三点共线时，有最小值， 则，故③错误. 对于④，设三角形的内切圆半径为，则由等面积法，有， 解得， 由②可知，点到平面的距离为， 所以， 这表明当点在平面内时，点在三角形的内切圆上运动， 它的周长是， 根据对称性可知动点的轨迹长度为，故④正确. 正确的编号有②④. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题④中，关键点在于得出当点在平面内时，点在三角形的内切圆上运动，根据对称性即可顺利得解. 题型11：动点、折叠等动态几何 24．在四棱锥中，底面是矩形，，，平面平面，点在线段上运动（不含端点），则（   ） A．存在点使得 B．四棱锥外接球的表面积为 C．直线与直线所成角为 D．当动点到直线的距离最小时，过点作截面交于点，则四棱锥的体积是 【答案】BD 【分析】取的中点，利用面面垂直的性质定理及线面垂直的判断定理证明平面，然后由线面垂直的性质定理判断A，把四棱锥补形成一个如图2的正方体，根据正方体的性质判断B，C，由平面，当动点到直线的距离最小时，从而得为的中点，为的中点，再由体积公式计算后判断D. 【解析】如图1，取的中点，连接，，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，平面，则. 又因为，所以， 又，，平面，所以平面. 因为平面，平面，所以不成立，A错误. 图1                                        图2                                            图3 因为为等腰直角三角形，将四棱锥的侧面作为底面一部分，补成棱长为的正方体. 如图2，则四棱锥的外接球即为正方体的外接球，其半径， 即四棱锥外接球的表面积为，B正确. 如图2，直线与直线所成角即为直线与直线所成角，而是正三角形，故该夹角为，C错误. 如图1，因为平面，当动点到直线的距离最小时， 由上推导知，，， ，， ，， 因此为的中点，如图3，由为的中点，即为中点， 平面即平面与的交点也即为与的交点，可知为的中点， 故，D正确. 故选：BD. 【点睛】方法点睛：空间几何体的外接球问题， （1）直接寻找球心位置，球心都在过各面外心用与该面垂直的直线上； （2）对特殊的几何体，常常通过补形（例如把棱锥）补成一个长方体或正方体，它们的外接球相同，而长方体（或正方体）的对角线即为外接球的直径，由此易得球的半径或球心位置. 25．已知四边形是等腰梯形（如图1），，，，.将沿折起，使得（如图2），连结，，设是的中点，下列结论中不正确的是（    ） A． B．点到平面的距离为 C．平面 D．四面体的外接球的体积为 【答案】AC 【分析】对选项A，在图1中，过作，连接，易证平面，假设，得到平面，与已知条件矛盾，故A错误；对选项B，设点到平面的距离为，根据求解即可；对选项C，假设平面，从而得到平面平面，与已知条件矛盾，故C错误；对选项D，连接，易得为四面体的外接球的球心，再计算外接球体积即可. 【解析】对于A，在图1中，过作，如图所示： 因为，所以四边形是矩形， 因为，所以， 因为四边形是等腰梯形，，所以， 因为，所以， 连接，则， 因为，所以，得，则. 在图2中， 因为，，平面，平面， ，所以平面； 因为平面，所以. 因为平面，平面，， 所以平面， 若，又，平面，平面， ，所以平面， 过一点与垂直的平面有两个，与过一点有且只有一个平面与已知直线垂直矛盾，故A错误； 对于B，由，，得，又， 所以，而， 因为到平面的距离等于到平面的距离， 设点到平面的距离为， 由，得，即h＝，故B正确； 对于C，假设平面， 因为，平面，平面， 所以平面， 又因为平面，平面， ，所以平面平面， 与已知条件矛盾，故C错误； 对于D，连接，如图所示： 因为，为直角三角形，且为的中点， 所以，即为四面体的外接球的球心， 所以四面体的外接球的半径为， 则四面体的外接球体积为：，故D正确. 故选：AC. 26．如图1所示，四边形是边长为的正方形，、、分别为、、的中点，分别沿、及所在直线把、和折起，使、、三点重合于点，得到如图2所示的三棱锥，则下列结论中正确的有（        ）    A．三棱锥的体积为 B．异面直线与所成角的余弦值为 C．过点的平面截三棱锥的外接球，所得截面的面积的最小值为 D．过点的平面截三棱锥的外接球，所得截面的面积的最大值为 【答案】BCD 【分析】利用锥体体积公式可判断A选项；取的中点，连接、，利用异面直线所成角的概念和余弦定理可判断B选项；求出外接球球心到截面距离的取值范围，利用勾股定理求出截面圆半径的取值范围，结合圆的面积公式可判断D选项. 【解析】对于A选项，翻折前，在正方形中，，， 翻折后，则有，， 因为，、平面，则平面， 因为为的中点， 则，故A错误； 对于B选项，在图2中，取的中点，连接、，    因为、分别为、的中点 ，则且， 则异面直线与所成的角为或其补角， 又， 由余弦定理可得， 所以，异面直线与所成角的余弦值为，故B正确； 对于CD选项，因为平面，， 可以把三棱锥放到如图所示的长方体中， 则三棱锥的外接球即为长方体的外接球， 设长方体的体对角线的交点为点，    则为长方体外接球球心， 长方体的体对角线长为，（为其外接球半径）， 因为，且为的中点，则， 且， 设到过的平面的距离为，则， 设平面截三棱锥的外接球所得圆面的半径为， 则，，故CD均正确， 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下： （1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径； （2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的； （3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解. 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