专题03 8.1-8.3 空间几何体的结构及计算 阶段复习 （九大题型+五大常用解题策略）-2024-2025学年高一数学期中期末挑战满分冲刺卷（人教A版2019必修第二册，浙江专用）

专题03 8.1-8.3空间几何体的结构及计算 阶段复习（九大题型） 题型目录： 题型1：概念辨析 题型2：截面及有关简单计算 题型3：展开图；最值问题 题型4：立体图形的直观图 题型5：表面积与体积的计算 题型6：根据棱台性质的计算 题型7：截面的综合应用 题型8：多面体与球内切外接问题 题型9：解答题 常用解题技巧： 1、空间几何体结构特征的判断技巧 (1)紧扣结构特征是判断的关键，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定． (2)说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可． 2、立体图形的直观图 (1)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段．平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半． (2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：S直观图＝ S原图形． 3、立体图形的展开图 多面体表面展开图可以有不同的形状，应多实践，观察并大胆想象立体图形与表面展开图的关系，一定先观察立体图形的每一个面的形状． 4、表面积 (1)多面体的表面积是各个面的面积之和． (2)旋转体的表面积是将其展开后，展开图的面积与底面面积之和． (3)组合体的表面积求解时注意对衔接部分的处理． 5、求空间几何体的体积的常用方法 公式法 规则几何体的体积，直接利用公式 割补法 把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补成规则的几何体 等体积法 通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特别是三棱锥的体积 题型1：概念辨析 1．下面图形中，为棱锥的是（    ） A．①③ B．③④ C．①②④ D．①② 2．下列四个命题中正确的是（   ） A．正三棱锥的每个面都是正三角形 B．所有棱长都相等的四棱柱是正方体 C．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 D．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 3．下列四个命题：①直平行六面体就是长方体；②有两个相邻的侧面都是矩形的棱柱是直棱柱；③有一个面是多边形、其余各面是三角形的几何体是棱锥；④底面是正方形的棱柱是正棱柱.其中正确的命题个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 题型2：截面及有关简单计算 4．下列命题中错误的是（    ） A．圆柱的母线与轴平行 B．圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个 C．圆锥的所有轴截面是全等的等腰三角形 D．圆柱的所有平行于底面的截面都是圆面 5．已知某圆柱的轴截面是正方形，且该圆柱的侧面积是，则该圆柱的体积是（    ） A． B． C． D． 6．已知圆锥PO的底面半径为，轴截面的面积为，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 7．一个正四棱台上､下底面边长分别为2，4，高为3，则经过相对两侧棱的截面的面积为 . 8．一个正四面体木块如图所示，点P是棱VA的中点，过点P将木块锯开，使截面平行于棱VB和AC，若木块的棱长为a，则截面面积为 .    题型3：展开图；最值问题 9．如图，圆锥的底面圆直径AB为2，母线长SA为4，若小虫P从点A开始绕着圆锥表面爬行一圈到SA的中点C，则小虫爬行的最短距离为（    ） A． B． C． D． 10．在直三棱柱中分别为的中点，沿棱柱的表面从到两点的最短路径的长度为（    ）    A． B． C． D． 11．已知正四棱锥的侧棱长为4，且，若一只蚂蚁从点A出发沿着该四棱锥的侧面爬行一周回到点A，则蚂蚁爬行的最短距离为 . 12．如图，正三棱锥中，，侧棱长为，一只虫子从A点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到A点，则虫子爬行的最短距离是（    ）    A． B． C． D． 13．若圆台上底面半径为5cm，下底面半径为10cm，母线AB（点A在下底面圆周上，点B在上底面圆周上）长为20cm，从AB中点拉一根绳子绕圆台侧面转到A，则绳子最短的长度 ． 14．正方体的棱长为2，是棱上的一个动点（含端点），则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 题型4：立体图形的直观图 15．如图，正方形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，若，则四边形周长与面积的数值之比为（    ）    A． B． C． D． 16．如图所示，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形的面积是（ ）. A．12 B．12 C．6 D． 17．水平放置的的直观图如图，其中，，那么原是一个（    ）    A．等边三角形 B．直角三角形 C．三边中只有两边相等的等腰三角形 D．三边互不相等的三角形 18（多选）．如图所示，用斜二测画法画一个水平放置的，，，则在直观图中，以下说法正确的是（    ） A． B．的面积为 C．边上的高为 D．边上的高为 题型5：表面积与体积的计算 19．两个球表面积的比为，则体积的比为（    ） A． B． C． D．不确定 20．棱长为的正四面体的表面积为（    ） A． B． C． D． 21．如图，已知一个直四棱柱的侧棱长为6，底面是对角线长分别是9和13的菱形，则这个四棱柱的侧面积是（    ）．    A． B． C． D． 22．如图，已知正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的表面积为（    ）    A． B． C． D． 23．已知正四棱锥的体积为，则该正四棱锥外接球的表面积为 . 24．正六棱台上、下底面边长分别是和，侧棱长是，则它的体积是 ． 25．圆锥的顶点为 ，将该圆锥的侧面沿母线 剪开并展平得到一个圆心角为 ，半径为 1 的扇形，则该圆锥的体积为 26．如图，有一个木制工艺品，其形状是一个圆柱被挖去一个与其共底面的圆锥．已知圆柱的底面半径为3，高为5，圆锥的高为4，则这个木质工艺品的体积为 ． 27．如图所示，三棱柱中，若E，F分别为AB，AC的中点，平面将三棱柱分成两部分，其中是三棱台的体积，是多面体的体积，则的值是 ． 题型6：根据棱台性质的计算 28．将一个正四棱台物件放入有一定深度的电解槽中，对其表面进行电泳涂装．如图所示，已知该物件的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为，则该物件的高为（    ） A． B．1 C． D．3 29．一个正四棱台的下底面周长与上底面周长之差为16，且其侧面梯形的高为，则该正四棱台的高为 . 题型7：截面的综合应用 30．若球的两个平行截面的面积分别为和，球心到这两个截面的距离之差为，则球的直径为（    ） A． B． C． D． 31．若圆锥的侧面展开图是半径为5，面积为的扇形，则由它的两条母线所确定的截面面积的最大值为（    ） A． B．4 C． D． 32．若过圆锥的轴的截面为边长为4的等边三角形，正方体的顶点，，，在圆锥底面上，，，，在圆锥侧面上，则该正方体的棱长为（ ） A． B． C． D． 33．如图，空间四边形的对棱、成的角，且，平行于与的截面分别交、、、于、、、．在的上，截面的最大面积是 ． 题型8：多面体与球内切外接问题 34．若一圆锥的内切球半径为2，该圆锥的侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为（　　） A． B． C． D． 35．已知球的直径为是球面上两点，且，则三棱锥的体积（    ） A． B． C． D． 36．在三棱锥中，，且分别是的中点，，则三棱锥外接球的表面积为 ，该三棱锥外接球与内切球的半径之比为 . 37．已知四棱锥的高为，底面为菱形，，分别为的中点，则四面体的体积为 ；三棱锥的外接球的表面积的最小值为 ． 题型9：解答题 38．如图所示，正六棱锥的底面边长为4，H是的中点，O为底面中心，．    (1)求出正六棱锥的高，斜高，侧棱长； (2)求六棱锥的表面积和体积． 39．棱长为的正方体中，截去三棱锥，求：    (1)求截去的三棱锥的表面积 (2)剩余的几何体的体积 40．如图，半球内有一内接正四棱锥，该四棱锥的体积为. (1)求该半球的体积； (2)若从半球中把正四棱锥挖去，求所得几何体的表面积. 41．如图，几何体为一个圆柱和圆锥的组合体，圆锥的底面和圆柱的一个底面重合，圆锥的顶点为P，圆柱的上、下底面的圆心分别为、，且该几何体有半径为1的外接球（即圆锥的顶点与底面圆周在球面上，且圆柱的底面圆周也在球面上），外接球球心为O． (1)若圆柱的底面圆半径为，求几何体的体积； (2)若，求几何体的表面积． 42．在棱长为1的正方体中，是的中点，分别是上的动点.考查过三点的平面截正方体所得的截面： (1)当是的中点且是的中点时，直接写出截面的周长和面积； (2)当时，若截面为六边形，求的取值范围； (3)当是的中点且截面为五边形时，是否存在点，使得截面将正方体分为体积比的两个部分，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 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A．12 B．12 C．6 D． 【答案】D 【分析】求出直观图面积，根据直观图面积和原图面积之间的关系即可得答案. 【解析】因为，由斜二测画法可知， 则，故为等腰直角三角形，故， 故矩形的面积为， 所以原图形的面积是， 故选：D. 17．水平放置的的直观图如图，其中，，那么原是一个（    ）    A．等边三角形 B．直角三角形 C．三边中只有两边相等的等腰三角形 D．三边互不相等的三角形 【答案】A 【分析】根据斜二测画法的规则求解即可. 【解析】由图形知，在原中，，如图，    因为，所以， ，， 又，. 为等边三角形. 故选：A 18（多选）．如图所示，用斜二测画法画一个水平放置的，，，则在直观图中，以下说法正确的是（    ） A． B．的面积为 C．边上的高为 D．边上的高为 【答案】ABC 【分析】根据斜二测画法的规则，利用数形结合，即可求解. 【解析】在轴上取，即，所以A正确； 在图①中，过B作轴，交x轴于D，在轴上取， 过点作轴，并使，如图②所示： 于点D，则为原图形中边上的高，且，，，所以C正确； 在直观图中作于点，， ，所以D错误； ，所以B正确． 故选：ABC． 题型5：表面积与体积的计算 19．两个球表面积的比为，则体积的比为（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】C 【分析】由表面积的比得到半径之比，再得到体积之比. 【解析】设两球的半径分别为，， 表面积之比，， 体积之比. 故选：C. 20．棱长为的正四面体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角形的面积公式可得出正四面体的表面积. 【解析】棱长为的正四面体的表面积为. 故选：A. 21．如图，已知一个直四棱柱的侧棱长为6，底面是对角线长分别是9和13的菱形，则这个四棱柱的侧面积是（    ）．    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用直四棱柱的结构特征及已知条件求相关棱长，进而求棱柱的侧面积. 【解析】如图，连接交点为O，    则对角线，，所以， 因为直四棱柱的底面是菱形，所以， 所以， ∴直四棱柱的侧面积. 故选：D. 22．如图，已知正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的表面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据几何体的空间结构特征，求解其表面积即可. 【解析】正方体的棱长为2，根据图形，取正方体一条棱的中点，连接， 则，且，所以， 因为侧面为等边三角形，所以. 所以该八面体的表面积. 故选：B.    23．已知正四棱锥的体积为，则该正四棱锥外接球的表面积为 . 【答案】 【分析】正棱锥的外接球球心在顶点与底面对角线交点的连线上，设外接球半径为，由正四棱锥已知底面边长求出底面面积，然后由体积求出正四棱锥的高，再由建立方程解出，即可求出外接圆表面积. 【解析】设正四棱锥的底面中心为，外接球球心为，显然球心在直线上. 设正四棱锥的高为，外接球的半径为， 由，可得正方形的面积为3，所以，解得. 球心到平面的距离为， 于是，即，解得， 所以外接球的表面积为. 故答案为： 24．正六棱台上、下底面边长分别是和，侧棱长是，则它的体积是 ． 【答案】 【分析】由正六边形性质求相应长度和面积，借助于轴截面求高，进而可得体积. 【解析】对于正六棱台， 由正六边形性质可知，， 且上、下底面面积分别为， 根据轴截面，可知为等腰梯形， 则高，即正六棱台的高为， 所以正六棱台的体积是. 故答案为：. 25．圆锥的顶点为 ，将该圆锥的侧面沿母线 剪开并展平得到一个圆心角为 ，半径为 1 的扇形，则该圆锥的体积为 【答案】 【分析】由题意可得圆锥底面圆的半径，从而可得圆锥的高，再由锥体的体积公式代入计算，即可得到结果. 【解析】由题意可得，圆锥的母线，设底面圆的半径为， 则，解得，所以圆锥的高， 则圆锥的体积为. 故答案为： 26．如图，有一个木制工艺品，其形状是一个圆柱被挖去一个与其共底面的圆锥．已知圆柱的底面半径为3，高为5，圆锥的高为4，则这个木质工艺品的体积为 ． 【答案】 【分析】根据题意计算圆柱体积减去圆锥体积即可. 【解析】由题意可知木制工艺品的体积为：. 故答案为： 27．如图所示，三棱柱中，若E，F分别为AB，AC的中点，平面将三棱柱分成两部分，其中是三棱台的体积，是多面体的体积，则的值是 ． 【答案】 【分析】设三棱柱的高为，底面面积为，体积为，结合棱台的体积公式，求得三棱台的体积为，结合，即可求解. 【解析】设三棱柱的高为，底面面积为，体积为，则， 因为分别为的中点，可得， 所以三棱台的体积为， 则，所以. 故答案为：. 题型6：根据棱台性质的计算 28．将一个正四棱台物件放入有一定深度的电解槽中，对其表面进行电泳涂装．如图所示，已知该物件的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为，则该物件的高为（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】C 【分析】作出正四棱台的图形，设，利用该四棱台侧面的面积求得，进而利用勾股定理即可得解. 【解析】设，则. 因为该四棱台为正四棱台，所以各个侧面都为等腰梯形，上、下底面为正方形， 在四边形中，过点作于点， 则，所以， 所以，解得， 在平面中，过点作于点， 易知为正四棱台的高，则， 所以. 故选：C. 29．一个正四棱台的下底面周长与上底面周长之差为16，且其侧面梯形的高为，则该正四棱台的高为 . 【答案】 【分析】根据正四棱台的几何性质即可根据勾股定理求解. 【解析】如图：在正四棱台,分别为侧面上的高以及棱台的高， 设棱台的上下底面的边长分别为，则， 在等腰梯形中，， 所以， 故棱台的高为， 故答案为：    题型7：截面的综合应用 30．若球的两个平行截面的面积分别为和，球心到这两个截面的距离之差为，则球的直径为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意作出截面图，即可根据勾股定理给求出球的半径. 【解析】设球心为，半径为， 若两平面在球心同一侧，画出其截面图，如图： 设， 由题可得，，，， 则，解得． 故球的直径为． 若两平面在球心两侧，画出其截面图，如图： 设， 由题可得，，， 则，解得,所以． 故选：D． 31．若圆锥的侧面展开图是半径为5，面积为的扇形，则由它的两条母线所确定的截面面积的最大值为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】由扇形面积计算出底面半径r＝4，因为截面为一个等腰三角形，可以将三角形面积表示为底边长的函数，利用函数求出最值. 【解析】设圆锥的底面圆半径为r，则，解得r＝4， 设截面与圆锥底面的交线长为a（），由题意，截面是一个等腰三角形， 截面三角形的高，所以截面面积 ，当且仅当，即 时等号成立， 故选：C． 32．若过圆锥的轴的截面为边长为4的等边三角形，正方体的顶点，，，在圆锥底面上，，，，在圆锥侧面上，则该正方体的棱长为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用轴截面结合平行线的性质可求正方体的棱长. 【解析】根据题意过顶点和正方体上下两个平面的对角线作轴截面如下所示： 所以，，所以，， 而四边形为矩形，设，所以，所以， 而，故，即，即， 解得. 故选：C. 33．如图，空间四边形的对棱、成的角，且，平行于与的截面分别交、、、于、、、．在的上，截面的最大面积是 ． 【答案】 【分析】可知截面为矩形，设未知数后求解 【解析】 与成角， ∠HGF=，设， ， ， ，由， 得．S四边形EFGH= ． 当时， 故答案为： 题型8：多面体与球内切外接问题 34．若一圆锥的内切球半径为2，该圆锥的侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用圆锥侧面展开图扇形弧长可构造方程求得，利用圆锥轴截面面积可构造方程求得的值，代入圆锥体积公式即可. 【解析】根据题意，设圆锥的底面半径为，母线长为，高为 ， 圆锥侧面展开图为一个半圆， 侧面展开图扇形弧长为，则， 作出圆锥的轴截面如下图所示，其中为圆锥内切球球心，   ， ， 又， ，解得或（舍去），， 圆锥体积为. 故选：C 35．已知球的直径为是球面上两点，且，则三棱锥的体积（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用球体的性质先计算球心到平面的距离，再根据棱锥的体积公式计算即可. 【解析】由题意可知为正三角形，设其外接圆圆心为M，半径为r， 则，且平面， 所以，故C到平面的距离为， 所以三棱锥的体积为. 故选：C 36．在三棱锥中，，且分别是的中点，，则三棱锥外接球的表面积为 ，该三棱锥外接球与内切球的半径之比为 . 【答案】 【分析】第一空作出辅助线，证明三三垂直，将三棱锥放入长方体中求解外接球半径即可，第二空利用体积相等求出内切球半径，再求比值即可. 【解析】如图，，且，故， 可得，则，取中点，连接， 则，又，面，可得面 又面，则，又分别是的中点，连接，则// 由题意得，故，，又， 面，故面，又，则， 可得，则两两垂直， 故以作长方体，如图所示， 则该长方体外接球即为所求三棱锥的外接球，连接， 其中点为所求外接球的球心，设其半径为， 可得，故，解得，而， 设该三棱锥内切球半径为，球心为，连接， 则， 可得， 故， 而，，， 易知是的中点，由，得，故得， 而由勾股定理得，则， 故可将一式化为， 解得，而半径比为， 故答案为：； 【点睛】关键点点睛：本题考查内切球和外接球的半径问题，解题关键是构造出长方体，将三棱锥放入其中，然后求出外接球半径，得到面积，进而由体积关系转化得到所要求的内切球半径，再求比值即可． 37．已知四棱锥的高为，底面为菱形，，分别为的中点，则四面体的体积为 ；三棱锥的外接球的表面积的最小值为 ． 【答案】 【分析】第一空，利用切割法，结合棱体的体积公式即可得解；第二空，先分析出三棱锥的外接球的表面积取得最小值时的情况，再求得此时的半径，从而得解. 【解析】如图，设，连接， ， 易知分别为中点，， 所以， ， 四边形是菱形，， 为全等的正三角形， ， ； 因为是边长为的正三角形，记其中心为， 则的外接圆的半径为， 设三棱锥的外接球的半径为，球心为，则底面 过作底面交于，则， 结合图象可知，其中，， 因为到平面的距离为2，即，所以， 易知关于的函数在上单调递增， 所以当且仅当时，取得最小值， 此时，三点共线，由，解得， 所以棱锥的外接球的表面积的最小值为. 故答案为：；. 【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法： ①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解； ②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径； ③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可； ④坐标法：建立空间直角坐标系，设出外接球球心的坐标，根据球心到各顶点的距离相等建立方程组，求出球心坐标，利用空间中两点间的距离公式可求得球的半径. 题型9：解答题 38．如图所示，正六棱锥的底面边长为4，H是的中点，O为底面中心，．    (1)求出正六棱锥的高，斜高，侧棱长； (2)求六棱锥的表面积和体积． 【答案】(1)高为6，斜高为，侧棱长为 (2)表面积为，体积为 【分析】（1）依据图象，根据底边是正六边及边长可求出，进而在中，可求出,即正六棱锥的高及斜高，继而在等腰中可求得侧棱长； （2）求出底面积，利用棱锥体积计算公式求解即可. 【解析】（1）如图：    在正六棱锥中，， H为中点，所以． 因为是正六边形的中心， 所以为正六棱锥的高． ， 在中，， 所以． 在中，． 在中，，， 所以． 故该正六棱锥的高为6，斜高为，侧棱长为． （2）的面积为， 的面积为， 所以正六棱锥的表面积为， 体积为 39．棱长为的正方体中，截去三棱锥，求：    (1)求截去的三棱锥的表面积 (2)剩余的几何体的体积 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分析三棱锥各个面的特征，从而求出其面积，即可得解； （2）用正方体的体积减去三棱锥的体积，即可得解. 【解析】（1）由正方体的特点可知三棱锥中，是边长为的等边三角形， 、、都是直角边为的等腰直角三角形， 所以截去的三棱锥的表面积 ； （2）正方体的体积为， 三棱锥的体积， 所以剩余的几何体的体积为. 40．如图，半球内有一内接正四棱锥，该四棱锥的体积为. (1)求该半球的体积； (2)若从半球中把正四棱锥挖去，求所得几何体的表面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据球的半径与正四棱锥棱长关系，求出球的半径，进而求出半球的体积. （2）根据几何体的特征，求出半球的表面积，求出棱锥的侧面积和底面积，即可求得几何体的表面积. 【解析】（1）连接交点为，设球的半径为， 由题意可知，则， 四棱锥的体积为，解得， 则该半球的体积为；    （2）由题意知， 所得几何体的表面积为 . 41．如图，几何体为一个圆柱和圆锥的组合体，圆锥的底面和圆柱的一个底面重合，圆锥的顶点为P，圆柱的上、下底面的圆心分别为、，且该几何体有半径为1的外接球（即圆锥的顶点与底面圆周在球面上，且圆柱的底面圆周也在球面上），外接球球心为O． (1)若圆柱的底面圆半径为，求几何体的体积； (2)若，求几何体的表面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别计算圆锥的体积与圆柱的体积，体积和即为所求； （2）根据比例关系，可分别求出圆锥与圆柱的高及底面半径，再利用表面积公式即可求解. 【解析】（1）如图可知，过P、、的截面为五边形，其中四边形为矩形，三角形为等腰三角形， 在直角中，，，则 故圆锥的底面半径为，高为，其体积为 圆柱的底面半径为，高为，其体积为 所以几何体的体积为 （2）若，设，则，故， 在直角中，，，则 故圆锥的底面半径为，高为，其母线长为， 圆锥的侧面积为 圆柱的底面半径为，高为，其侧面积为 所以几何体的表面积为 42．在棱长为1的正方体中，是的中点，分别是上的动点.考查过三点的平面截正方体所得的截面： (1)当是的中点且是的中点时，直接写出截面的周长和面积； (2)当时，若截面为六边形，求的取值范围； (3)当是的中点且截面为五边形时，是否存在点，使得截面将正方体分为体积比的两个部分，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)周长为，面积为； (2) (3)存在，或 【分析】（1）根据题意做出截面，即可得到截面周长和面积； （2）找到两个临界情况，由此得出的取值范围； （3）根据（2）的进行分类，做出可能的图，分别设的长，由线段成比例分别表示出线段的长，用线段长表示出其中一个解得立体图形的体积，然后解方程得到的长，即可得出的值. 【解析】（1）作图：取中点，连接这六个点即可得到截面， 由图可知截面是边长为的正六边形， ∴周长为，面积为； （2）分别找出截面为六边形的两种临界情况，分别如下图所示： 情况①         ∵为中点，∴，即， ∵， ∴， 情况② ∵为中点，∴，即， ∵， ∵，即 ∴， 故 （3）（1）如图，截面与相较于点，延长相较于点，连接交与点， 设（），∵，∴， ∵为中点，∴， 延长相交于点，延长相交于点， ∵为中点，∴， 又∵，∴， ∵，∴， 正方体被截得的其中一个多面体体积为， 则， ， 整理得，解得， ∵，∴， 即， （2）如图： ∵点为中点，∴， ∵点G为中点，∴， 设（），则， 又∵，即，∴， ∵，即，∴， ∵，即，∴ 其中一个多面体体积为 则 化简得，即 ∴或，∵， ∴， 即 综上所述，这样的点存在，或 【点睛】思路点睛，本题讨论的是正方体被平面所截的截面以及截得的两个立体图形的体积.解题的关键是数形结合，通过作图找到特殊点，从而解决（2）的范围；由（2）的思路，同样做出可能得图像，利用三棱柱的体积来求多面体体积，从而解得的值. 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