专题07反比例函数压轴题（6大题型）-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学下册压轴题攻略（浙教版）

专题07 反比例函数压轴题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、反比例函数图像和性质 2 类型二、反比例函数K几何意义 3 类型三、反比例函数与一次函数 6 类型四、反比例函数实际问题 9 类型五、反比例函数与几何题 11 类型六、反比例函数综合题 14 压轴能力测评 17 1． 反比例函数图像和性质 1、反比例函数的定义：一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数。还可以写成,; 2、反比例函数的图像： 反比例函数的图像是双曲线，是轴对称图形（对称轴是或）；（为常数，）中自变量，函数值，所以反比例是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交； 3、 反比例函数的性质 , 函数图像分别在第一、三象限，在每个象限内，随着的增大而减小; ,函数图像分别在第二、四象限，在每个象限内，随着的增大而增大; 4、 反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出）. 二、反比例函数与一次函数 1、交点：求反比例函数和一次函数的交点，两个解析联合，解方程组：； 2、比y值大小：先找两个函数的交点，观察交点坐标左右两边图像那个满足，注意范围中不能取零； 3、点在图像上，先代入函数关系式，把题目中关系式都列出来，消元解决问题； 三．反比函数“k” 1、 反比例函数的几何意义： 反比例函数（）中比例系数的几何意义是：过双曲线 （）上任意引轴轴的垂线，所得矩形面积为；三角形的面积是； 2、 过点向坐标轴作垂线，设点坐标，进一步表示题目中的条件，把所求也表示出来，化简求出结果； 四．反比例函数实际应用 1、读懂题目，可以多读两边题目，关注满足反比函数关系式的量； 2、把题目的中的量转化到反比函数图像上，实际意义是什么，取值范围要注意。 类型一、反比例函数图像和性质 例1．反比例函数的图象上有，两点，下列正确的选项是　　 A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 变式1-1．已知点，，，，，都在反比例函数的图象上，且，下列正确的选项是　　 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 变式1-2．已知点，，，在反比例函数为常数）图象上，．若，则的值为　　 A．0 B．负数 C．正数 D．非负数 例2．已知点，，，在反比例函数的图象上，下列说法正确的是　　 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 变式2-1．已知点，，，，，在反比例函数的图象上，，有下面三个结论：①若，则；②若，则；③若，则．所有正确结论的序号是　　 A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 变式2-2．已知点，，都在反比例函数的图象上，则下列结论中一定正确的是　　 A． B． C． D． 例3．已知两个反比例函数，．当时，的最大值和最小值分别为，，的最大值和最小值分别为，．若，则的值为　　 A． B． C． D．5 变式3-1．已知反比例函数，对于一个正数，当自变量满足时，函数的最大值为，则当时，函数有　　 A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 类型二、反比例函数K的几何意义 例4． 如图，在反比例函数的图象上有点，，， 图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为，，，已知 点，，的横坐标分别为2，3，4，，则的值为　　 A．10 B．12 C．14 D．16 变式4-1．点，，在反比例函数（常数，图象上的位置如图所示，分别过这三个点作轴、轴的平行线，图中所构成的三处阴影部分的面积从左到右依次为，，．若，，则的值为　　 A．2 B．3 C．4 D．5 变式4-2．如图，在反比例函数的图象上，有点，，，，，点横坐标为2，且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是2，过点，，，，分别作轴，轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，则　　． 例5．点是反比例函数图象上一点，过点作轴、轴的平行线，交反比例函数的图象于，两点，连接，若，则　． 变式5-1．如图，四边形的顶点、两点在反比例函数 的图象上，、两点在反比例函数的 图象上，轴，，， 则的值为 　　． 变式5-2．如图，在平面直角坐标系中，经过点的双曲线 同时经过点，且点在点的左侧，点的横坐标为1， ，则的值为 　　． 例6．如图反比例函数的图象与直线交于，两点（点在点左侧），过点作轴的垂线，垂足为点，连接，，图中阴影部分的面积为6，则的值为 　　． 变式6-1．如图，反比例函数的图象与直线交 于，两点（点在点右侧），过点作轴的垂线，垂足为点， 连接，，图中阴影部分的面积为18，则的值为　 　　． 类型三、反比例函数与一次函数 例7．已知正比例函数与反比例函数．对于实数，当时，；当时，，则的取值范围为　　 A．或 B． C．或 D．或 变式7-1．已知一次函数，为常数，的图象与反比例函数是常数，的图象交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）若，请直接写出的取值范围 　　； （3）若，是反比例函数图象上的两点，且满足，求的值． 变式7-2．如图，反比例函数的图象与的直线相交于、两点，已知点的坐标为，点的横坐标为． （1）求反比例函数和直线的表达式； （2）过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第二象限交于点；过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第四象限交于点．求证：直线经过原点． 例8． 借助描点法可以帮助我们探索函数的性质，某小组在研究了函数与性质的基础上，进一步探究函数的性质，以下结论：①当时，存在最小值；②当时，随的增大而增大；③当时，自变量的取值范围是；④若点在的图象上，则点也必定在的图象上．其中正确结论的序号有 　 　． 变式8-1．在函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．以下是兴趣小组研究函数性质及其应用的部分过程，请完成下列各小题． 0 1 2 3 4 5 0 3 （1）　　；　　；并在图中补全该函数图象； （2）根据函数图象，下列关于该函数性质的说法． ①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为轴． ②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值，当时，函数取得最大值3；当时，函数取得最小值． ③当或时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大． 其中正确的是 　　．（只填序号） （3）兴趣小组进一步探究：函数与函数的关系，请你在同一坐标系中画出函数的图象，结合你所画的函数图象完成下列问题． ①方程有 　　个解； ②直接写出不等式的解集为 　　．（保留1位小数，误差不超过 变式8-2． 某数学小组在研究了函数与性质的基础上，进一步探究函数的性质，经过讨论得到以下几个结论： ①函数的图象与直线有两个交点； ②函数的图象与直线只有一个交点，则； ③点在函数图象上，则点也在函数的图象上； 以上结论正确的个数是　　 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 类型四、反比例函数实际问题 例9．根据以下素材，探索完成任务 如何制作简易的人体测温仪？ 素材1 一般情况，人体的正常体温为，在生病时，体温最低可达，最高可达．图1是一个红外温度传感器可变电阻，它的电阻与温度之间的函数关系如图2所示． 素材2 图3是一个人体测温仪，图4是人体测温仪的工作电路图，电路连入了一个红外温度传感器可变电阻，其中电源电压恒为，电流表的量程为，电流表的读数可以换算成人的体温．在测量人体体温时，为保护电流表，电路中串联了一个定值电阻． 备注：①导体两端的电压，电阻，通过的电流满足关系式： ②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压 任务解决 任务1 探究可变电阻的阻值 求关于的表达式及测量人体体温时的取值范围． 任务2 探究定值电阻的选择 求定值电阻的最小值． 任务3 拟定制作方案 实验室现有定值电阻的阻值分别为、、、．请你选择一个合适的定值电阻来制作符合要求的测温仪，并求出你制作的测温仪能测量的人体体温范围． 变式9-1．杆秤是我国度量衡“三大件（尺斗秤）”重要组成部分，是中华民族衡重的基本量具．杆秤依据杠杆原理制作而成，一般由秤钩（或秤盘）、秤杆和秤砣三部分组成，秤杆上的刻度叫做“秤星”．如图是小戚同学利用自制杆秤称重的示意图，使用时将货物放在秤盘上，用手提起（相当于支点）处的秤纽，在秤杆上移动秤砣的位置，当秤杆水平平衡时，可根据秤砣在秤杆上的位置读出货物的质量．如图1所示，称量货物甲时，秤砣在处秤杆平衡，此时可读出货物甲的质量是，则此时：（甲的质量秤盘质量）秤砣质量；如图2所示，称量货物乙时，秤砣在处秤杆平衡，此时可读出货物乙的质量是．根据图中所给数据，可以知道秤盘的质量是 　　克，这把杆秤的秤星对应的刻度是 　　克． 变式9-2．综合实践：自制密度秤测量液体密度． 问题情境：实验小组利用天平制作了一台密度秤．如图，支点固定不变，左侧托盘固定在点，，托盘上放置质量为的砝码；右侧托盘点在上滑动，，托盘上放置纸杯，实验时分别向杯中倒入的不同液体，滑动点，使天平保持平衡． （杠杆原理：砝码的质量杯中液体的质量．液体的质量液体的密度体积， 问题解决： （1）设右侧托盘液体的密度为，的长为，若，求关于的函数表达式．并求出的取值范围． （2）若在纸杯中倒入的水时，滑动点，当点到达点处时，天平保持平衡；若向纸杯中倒入等体积的某种液体后，点从点向右滑动至点处，天平保持平衡．刻度显示：点处的读数正好是点处的读数的，求这种液体的密度． 类型五、反比例函数与几何问题 例10．如图，将含的三角尺放在平面直角坐标系中，点在轴上，轴，点为斜边的中点．若反比例函数的图象经过，两点，反比例函数的图象经过点，则与满足的等量关系是　　 A． B． C． D． 变式10-1．如图，第二象限的点、在反比例函数图象上，延长交轴于点，点是轴负半轴上的一点，，连结，，，若，，，则的值是 　　． 变式10-2．如图，已知反比例函数的图象经过点，若在该图象上有一点，使得，则点的坐标是　　． 例11．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点、落在反比例函数的图象上，则正方形的面积为　　 A．6 B．5 C． D． 变式11-1．如图，正方形的顶点，分别在轴正半轴和轴正半轴上，过点的反比例函数的图象交正方形对角线于点．若正方形的面积为40，且点是的中点，则的值为 　　． 变式11-2．如图，在平面直角坐标系中，点是轴正半轴上一点，点是反比例函数图象上的一个动点，连结，以为一边作正方形，使点在第一象限且落在反比例函数的图象上，设点的横坐标为，点的横坐标为，则　　． 例12．如图，在直角坐标系中，菱形的顶点，反比例函数图象交线段，射线于点，，连接，则的值是　　 A．6 B．7 C．8 D．9 变式12-1．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为，点在反比例函数的图象上，点是对角线与的交点且在反比例函数的图象上，则的值为 　　． 类型六、反比例函数综合题 例13．已知反比例函数图象经过一、三象限． （1）判断点在第几象限； （2）若点，是反比例函数图象上的两点，试比较，，的大小关系； （3）设反比例函数，已知，且满足当时，函数的最大值是；当时，函数的最小值是，求为何值时，． 变式13-1．已知反比例函数． （1）若反比例函数的图象经过点，求的值． （2）若点，在函数的图象上，比较，，的大小． （3）反比例函数，如果，且，函数的最大值比函数的最大值大5，函数的最小值比函数的最小值大4.8，试证明． 例14．如图，已知直线和反比例函数的图象交于第一象限的，两点． （1）填空：当时，　　；直线的函数表达式为 　　． （2）若把点先向左平移3个单位，再向下平移6个单位后得到的点也在反比例函数的图象上，试求和的值． （3）直接写出满足的的取值范围． 变式14-1．在平面直角坐标系中：设函数，，是常数，．若函数的图象过点，且．（1）求，的值． （2）将函数的图象向上平移个单位，平移后的函数图象与函数的图象交于直线上的同一点，求的值． （3）已知点，，为常数）在函数的图象上，点关于轴的对称点为，函数的图象经过点，当时，求的取值范围． 变式14-2．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点（点在点左侧），已知点的横坐标为． （1）求反比例函数的表达式； （2）根据图象直接写出的解集； （3）将直线；沿轴向上平移，若平移后的直线与反比例函数在第四象限内交于点，如果△的面积为10，求平移后的直线的函数表达式． 1．反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是　　） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 2．反比例函数的图象经过点，，下列说法一定正确的是　　 A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 3．已知点，，，，在双曲线上，若，且，则，，的大小关系是　　 A． B． C． D． 4．已知，，，两点在反比例函数的图象上，下列判断正确的是　　 A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 5．已知反比例函数，对于正数，当自变量满足时，函数的最小值为，则当时，函数有　　 A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 6． 如图，在反比例函数的图象上，有点，，，， 它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作垂直于轴与轴 的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，， 若，则的值为　　 A．2.5 B．3 C．4 D．无法确定 7．如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于点，点，已知点的坐标是，且，连接，交反比例函数图象于点，若，则的值为　　． 8．如图，在反比例函数的图象上，有点，，，，它们的横坐标依次为2，4，6，8，分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，，，，则　，　　（用含的代数式表示，为正整数）． 9．如图，点，为反比例函数的图象第一象限上的两点，连结，并延长，分别交反比例函数的图象于点，，连结，，，．若四边形的面积为16，则的值为 　　． 10．某数学小组在研究了函数与性质的基础上，进一步探究函数的性质，经过讨论得到以下几个结论： ①函数的图象与直线没有交点； ②函数的图象与直线只有一个交点，则； ③点在函数的图象上，则点也在函数的图象上． 以上结论正确的是　　 A．①② B．①②③ C．②③ D．①③ 11．如图，在平面直角坐标系中，一次函数和反比例函数为常数且的图象交于，两点． （1）求反比例函数的表达式； （2）若实数满足：当时，；当时，，求的取值范围． 12．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）当时，根据图象直接写出的取值范围； （3）设点为第一象限内反比例函数图象上的点，当时，求直线的函数表达式． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/3/26 23:58:56；用户：Kelly；邮箱：18958097861；学号：39862866 13．已知反比例函数与一次函数，是常数）的图象交于点，，，． （1）当，时，求的值． （2）若，求的值． 14．如图，反比例函数与一次函数的图象都经过点和点，以为边作正方形（点、、、逆时针排列）． （1）求的值和一次函数的解析式． （2）求点的坐标． （3）将正方形平移得到正方形，在平移过程中，使点的对应顶点始终在第一象限内且在反比例函数的图象上（点与点不重合），当正方形与正方形的重叠部分为正方形时，求重叠正方形的边长． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 反比例函数压轴题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、反比例函数图像和性质 2 类型二、反比例函数K几何意义 6 类型三、反比例函数与一次函数 13 类型四、反比例函数实际问题 19 类型五、反比例函数与几何题 23 类型六、反比例函数综合题 29 压轴能力测评 35 1． 反比例函数图像和性质 1、反比例函数的定义：一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数。还可以写成,; 2、反比例函数的图像： 反比例函数的图像是双曲线，是轴对称图形（对称轴是或）；（为常数，）中自变量，函数值，所以反比例是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交； 3、 反比例函数的性质 , 函数图像分别在第一、三象限，在每个象限内，随着的增大而减小; ,函数图像分别在第二、四象限，在每个象限内，随着的增大而增大; 4、 反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出）. 二、反比例函数与一次函数 1、交点：求反比例函数和一次函数的交点，两个解析联合，解方程组：； 2、比y值大小：先找两个函数的交点，观察交点坐标左右两边图像那个满足，注意范围中不能取零； 3、点在图像上，先代入函数关系式，把题目中关系式都列出来，消元解决问题； 三．反比函数“k” 1、 反比例函数的几何意义： 反比例函数（）中比例系数的几何意义是：过双曲线 （）上任意引轴轴的垂线，所得矩形面积为；三角形的面积是； 2、 过点向坐标轴作垂线，设点坐标，进一步表示题目中的条件，把所求也表示出来，化简求出结果； 四．反比例函数实际应用 1、读懂题目，可以多读两边题目，关注满足反比函数关系式的量； 2、把题目的中的量转化到反比函数图像上，实际意义是什么，取值范围要注意。 类型一、反比例函数图像和性质 例1．反比例函数的图象上有，两点，下列正确的选项是　　 A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】：B 【解析】：解：由条件可知：函数位于第一、三象限，随的增大而减小， ①时，，解得：，即当，； ①时，，解得：，即当，， 所以结合选项可知：符合题意， 选：． 变式1-1．已知点，，，，，都在反比例函数的图象上，且，下列正确的选项是　　 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】：D; 【解析】：解：、，若，则，则，， 故，本选项不正确； 、，若，则，则，， 故，本选项不正确； 、，若，则，则，， 故，本选项不正确； 、，若，则，则，， 故，本选项正确； 选：． 变式1-2．已知点，，，在反比例函数为常数）图象上，．若，则的值为　　 A．0 B．负数 C．正数 D．非负数 【答案】：B; 【解析】：解： 双曲线位于一、三象限，在每个象限随的增大而减小， 点，，，在反比例函数为常数）图象上，，， 点，，，在同一象限， 由反比例函数的性质可得：若，则，若，则， ． 选：． 例2．已知点，，，在反比例函数的图象上，下列说法正确的是　　 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】：C; 【解析】：解：反比例函数的常量，反比例函数的图象分布在第二、四象限， 点，，，在反比例函数图象上，，， 、若，则或，选项错误，不符合题意； 、若，则或，选项错误，不符合题意； 、若，则，选项正确，符合题意； 、若，则，选项错误，不符合题意； 选：． 变式2-1．已知点，，，，，在反比例函数的图象上，，有下面三个结论：①若，则；②若，则；③若，则．所有正确结论的序号是　　 A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】：A; 【解析】：解：， 该函数图象位于第一、三象限内，且在每一象限内，随的增大而减小， ，，， 点，，，位于第一象限内，，故①正确； ，，， 点，位于第一象限内，，，，位于第三象限内，，， ，故②正确； ，，或，， ，当，时，，； 当，时，，；故③错误； 选：． 变式2-2．已知点，，都在反比例函数的图象上，则下列结论中一定正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】：C; 【解析】：解：，，． 又反比例函数，函数值随的值增大而减小，． 当点和点在第一象限时， ，，，即， 选：． 例3．已知两个反比例函数，．当时，的最大值和最小值分别为，，的最大值和最小值分别为，．若，则的值为　　 A． B． C． D．5 【答案】：D 【解析】：解：在反比例函数中，当，时，图象在第一象限，，随的增大而减小；当，时，图象在第四象限，随的增大而增大； 两个反比例函数，．当时，的最大值和最小值分别为，，的最大值和最小值分别为，．若，即有，则， ，，，， ，解得， ，， ． 选：． 变式3-1．已知反比例函数，对于一个正数，当自变量满足时，函数的最大值为，则当时，函数有　　 A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 【答案】：A; 【解析】：解：反比例函数， 图象在第二、四象限，每个象限内，随的增大而增大， 对于一个正数，当自变量满足时，函数的最大值为， ，，， 当时，当时，函数有最小值， 当时，函数有最大值． 选：． 类型二、反比例函数K的几何意义 例4．如图，在反比例函数的图象上有点，，，图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为，，，已知点，，的横坐标分别为2，3，4，，则的值为　　 A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】：B; 【解析】：解：点，，在反比例函数的图象上，且它们的横坐标依次为2，3，4， ，，， ，，， ，， 解得：， 选：． 变式4-1．点，，在反比例函数（常数，图象上的位置如图所示，分别过这三个点作轴、轴的平行线，图中所构成的三处阴影部分的面积从左到右依次为，，．若，，则的值为　　 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】：B； 【解析】：解：， 可以假设，则，，，，，， ，，，，，，， ，，，， 选：． 变式4-2．如图，在反比例函数的图象上，有点，，，，，点横坐标为2，且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是2，过点，，，，分别作轴，轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，则　　． 【答案】：； 【解析】：解：如图，过点、点作轴的垂线段，垂足分别是点、点，过点作轴的垂线段，垂足是点，交于点， 则点的纵坐标等于点的纵坐标等于，，， 故所在的矩形面积． 答案：． 例5．点是反比例函数图象上一点，过点作轴、轴的平行线，交反比例函数的图象于，两点，连接，若，则　． 【答案】：或； 【解析】：解：如图1所示：①当丨丨时， 设点的坐标为，则，，， ， 点在反比例函数的图象上， ， ， 整理得： 解得：或， （舍去）或． ②如图2，丨丨时，， ，即， 解得：， ，， 综上分析，或． 答案：或． 变式5-1．如图，四边形的顶点、两点在反比例函数 的图象上，、两点在反比例函数的 图象上，轴，，， 则的值为 　　． 【答案】：8； 【解析】：解：过点作交于点，设点的坐标为，点的坐标为， 轴，点的坐标为，，点的坐标为，， ，， ，，整理得，， ， ， ， 答案：8. 变式5-2．如图，在平面直角坐标系中，经过点的双曲线同时经过点，且点在点的左侧，点的横坐标为1，，则的值为 　　． 【答案】：； 【解析】：解：如图所示，过作轴于，过作轴于，直线与交于点， 则，，， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， 双曲线经过点， ， 整理得：， 解得：（负值已舍去）， 答案：． 例6．如图反比例函数的图象与直线交于，两点（点在点左侧），过点作轴的垂线，垂足为点，连接，，图中阴影部分的面积为6，则的值为 　　． 【答案】： 【解析】：解：过点、分别作轴和轴的垂线，垂足分别为、， 设点是的中点，由整理得：， 由题意可得有两个不相等的实数根分别设为，， 则，则， 则点的坐标为，， 设直线交轴于点，交轴于点， 对于，令，则，令，则， 点、的坐标分别为、， 则点中点的坐标为，， 即点也为的中点，故， 轴，， ，， ，， ， 而阴影部分的面积，， 即，而，， 即是的中位线， 故设点的坐标为，则点， 将点、的坐标代入一次函数表达式得：， 解得（不合题意的值已舍去）， 答案：． 变式6-1．如图，反比例函数的图象与直线交于，两点（点在点右侧），过点作轴的垂线，垂足为点，连接，，图中阴影部分的面积为18，则的值为　 　　． 【答案】：； 【解析】：解：如图所示，设，，，，直线与轴交点记为点，与的交点记为点，作轴，垂足为点， ，，， ，， ， 又阴影部分面积为18， ， ， ， 直线解析式为，令，则， ，，， 设直线的解析式为：，代入点坐标后得：， ，，， ， ，， ，， 由，可得：，其中， ，，， ， 化简得：，平方后得：9△△， 将△代入可得：， ， 由，解得：， 的值为．答案：． 类型三、反比例函数与一次函数 例7．已知正比例函数与反比例函数．对于实数，当时，；当时，，则的取值范围为　　 A．或 B． C．或 D．或 【答案】：C; 【解析】：解：联立方程组，解得或， 列函数的交点坐标为，， 当时，；，或， 当时，，或， 解得：，或． 或． 选：． 变式7-1．已知一次函数，为常数，的图象与反比例函数是常数，的图象交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）若，请直接写出的取值范围 　　； （3）若，是反比例函数图象上的两点，且满足，求的值． 【答案】：（1）； ；（2）或 ；（3） ； 【解析】：解：（1），两点在反比例函数的图象上， ．．，，， 反比例函数的解析式为． 、在一次函数的图象上， ．． 一次函数的解析式为． （2）由题意，作图如下，由， 一次函数图象在反比例函数上方的部分对应的自变量的范围即为所求． 又，， 或． 答案：或． （3）点和点在反比例函数的图象上， ，． ，即， ． 变式7-2．如图，反比例函数的图象与的直线相交于、两点，已知点的坐标为，点的横坐标为． （1）求反比例函数和直线的表达式； （2）过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第二象限交于点；过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第四象限交于点．求证：直线经过原点． 【解答】（1）解：把点代入得，， ，反比例函数为， 把代入，得， ，设直线为， 代入点，得，解得， 直线为； （2）证明：由已知可得，点的坐标为，点的坐标为， 则点的坐标为，点的坐标为， 设的表达式为， 则解得：， 则的表达式为， 当时，， 所以直线经过原点． 例8．借助描点法可以帮助我们探索函数的性质，某小组在研究了函数与性质的基础上，进一步探究函数的性质，以下结论：①当时，存在最小值；②当时，随的增大而增大；③当时，自变量的取值范围是；④若点在的图象上，则点也必定在的图象上．其中正确结论的序号有 　 　． 【答案】：①②④ 【解析】：解：与， ， 列表： 0 1 2 3 5 4 5 画出函数的图象如图： ； 由函数图象可知， ①当时，存在最小值，正确； ②当时，随的增大而增大，正确； ③当时，自变量的取值范围是或，错误； ④若点在的图象上，则， 把代入得，，即， 所以， 故点也必定在的图象上，正确． 答案：①②④． 变式8-1．在函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．以下是兴趣小组研究函数性质及其应用的部分过程，请完成下列各小题． 0 1 2 3 4 5 0 3 （1）　　；　　；并在图中补全该函数图象； （2）根据函数图象，下列关于该函数性质的说法． ①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为轴． ②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值，当时，函数取得最大值3；当时，函数取得最小值． ③当或时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大． 其中正确的是 　　．（只填序号） （3）兴趣小组进一步探究：函数与函数的关系，请你在同一坐标系中画出函数的图象，结合你所画的函数图象完成下列问题． ①方程有 　　个解； ②直接写出不等式的解集为 　　．（保留1位小数，误差不超过 【答案】：（1），； （2）②③ ；（3）三，或． ； 【解析】： 解：（1）当时，；当时，， ，， 画出函数的图象如图： 答案：，； （2）根据函数图象： ①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为轴；说法错误 ②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值，当时，函数取得最大值3；当时，函数取得最小值；说法正确； ③当或时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；说法正确； 答案：②③． （3）由图象可知： ①方程有三个解；②不等式的解集为或． 答案：三，或． 变式8-2． 某数学小组在研究了函数与性质的基础上，进一步探究函数的性质，经过讨论得到以下几个结论： ①函数的图象与直线有两个交点； ②函数的图象与直线只有一个交点，则； ③点在函数图象上，则点也在函数的图象上； 以上结论正确的个数是　　 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】：C; 【解析】：解：由题意得：， 当时，，， △， 的图象与直线有两个交点，故①正确； 令，整理得：， △，的图象与直线有两个交点，故②错误； 点在函数的图象上，， 把代入得，， 点也在函数的图象上，故③正确． 选：． 类型四、反比例函数实际问题 例9．根据以下素材，探索完成任务 如何制作简易的人体测温仪？ 素材1 一般情况，人体的正常体温为，在生病时，体温最低可达，最高可达．图1是一个红外温度传感器可变电阻，它的电阻与温度之间的函数关系如图2所示． 素材2 图3是一个人体测温仪，图4是人体测温仪的工作电路图，电路连入了一个红外温度传感器可变电阻，其中电源电压恒为，电流表的量程为，电流表的读数可以换算成人的体温．在测量人体体温时，为保护电流表，电路中串联了一个定值电阻． 备注：①导体两端的电压，电阻，通过的电流满足关系式： ②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压 任务解决 任务1 探究可变电阻的阻值 求关于的表达式及测量人体体温时的取值范围． 任务2 探究定值电阻的选择 求定值电阻的最小值． 任务3 拟定制作方案 实验室现有定值电阻的阻值分别为、、、．请你选择一个合适的定值电阻来制作符合要求的测温仪，并求出你制作的测温仪能测量的人体体温范围． 【答案】：任务1：； 任务2：10 ； 任务3：． ； 【解析】：解：（任务设关于的表达式为， 将和分别代入，得，解得， 关于的表达式为；随的增大而减小． 根据题意，得． 当时，， 当时，， 测量人体体温时的取值范围为； （任务根据，人体测温仪的工作电路中电流， 根据题意，，当取最大值0.6，最小， 即，， 由任务1知，的最小值为10，的最小值为； （任务选择的阻值为时制作测温仪， 电源电压恒为，电流表的量程为， ，即，解得， 当时，，解得， 当时，，解得， 测温仪能测量的人体体温范围为． 变式9-1．杆秤是我国度量衡“三大件（尺斗秤）”重要组成部分，是中华民族衡重的基本量具．杆秤依据杠杆原理制作而成，一般由秤钩（或秤盘）、秤杆和秤砣三部分组成，秤杆上的刻度叫做“秤星”．如图是小戚同学利用自制杆秤称重的示意图，使用时将货物放在秤盘上，用手提起（相当于支点）处的秤纽，在秤杆上移动秤砣的位置，当秤杆水平平衡时，可根据秤砣在秤杆上的位置读出货物的质量．如图1所示，称量货物甲时，秤砣在处秤杆平衡，此时可读出货物甲的质量是，则此时：（甲的质量秤盘质量）秤砣质量；如图2所示，称量货物乙时，秤砣在处秤杆平衡，此时可读出货物乙的质量是．根据图中所给数据，可以知道秤盘的质量是 　　克，这把杆秤的秤星对应的刻度是 　　克． 【答案】：4，100． 【解析】：解：设秤盘质量为 ，秤砣质量为根据（甲的质量秤盘质量）秤砣质量代入数据得： ，①②得：， 解得：，将代入①得：，解得， 设这把杆秤的秤星对应的刻度是克，则有：， 整理得：，解得： 答案：4，100． 变式9-2．综合实践：自制密度秤测量液体密度． 问题情境：实验小组利用天平制作了一台密度秤．如图，支点固定不变，左侧托盘固定在点，，托盘上放置质量为的砝码；右侧托盘点在上滑动，，托盘上放置纸杯，实验时分别向杯中倒入的不同液体，滑动点，使天平保持平衡． （杠杆原理：砝码的质量杯中液体的质量．液体的质量液体的密度体积， 问题解决： （1）设右侧托盘液体的密度为，的长为，若，求关于的函数表达式．并求出的取值范围． （2）若在纸杯中倒入的水时，滑动点，当点到达点处时，天平保持平衡；若向纸杯中倒入等体积的某种液体后，点从点向右滑动至点处，天平保持平衡．刻度显示：点处的读数正好是点处的读数的，求这种液体的密度． 【答案】：（1） ； （2）0.75 ； 【解析】： ； （2） ；（3） ； 【解析】：解：（1）由题意得：， ，， ，； （2）设点处的读数为，则点处的读数为， 则：，解得：， 答：种液体的密度为0.75． 类型五、反比例函数与几何问题 例10．如图，将含的三角尺放在平面直角坐标系中，点在轴上，轴，点为斜边的中点．若反比例函数的图象经过，两点，反比例函数的图象经过点，则与满足的等量关系是　　 A． B． C． D． 【答案】：A 【解析】：解：设，， 则依题得，，， 为的中点，， 反比例函数 的图象经过，两点， ，化简得， ， ． 答案：A. 变式10-1．如图，第二象限的点、在反比例函数图象上，延长交轴于点，点是轴负半轴上的一点，，连结，，，若，，，则的值是 　　． 【答案】：； 【解析】：解：如图，作轴，轴， ， 点与点关于直线对称， ，， ， ， ， 设，则，，， ， ， ， 解得， ， 点在反比例函数图象上， ． 答案：． 变式10-2．如图，已知反比例函数的图象经过点，若在该图象上有一点，使得，则点的坐标是　　． 【答案】：，； 【解析】：解：如图，作轴于，将线段绕点顺时针旋转得到，作轴于， 则△，可得，，即． 反比例函数的图象经过点， 所以由勾股定理可知：， ，， 的中点，，直线的解析式为， 由，解得或， 点在第一象限， ，， 答案：，． 例11．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点、落在反比例函数的图象上，则正方形的面积为　　 A．6 B．5 C． D． 【答案】：B; 【解析】：解：如图，过点作轴于点，过点作于点． 四边形是正方形，，， ， ，，， △△，，， 设，则， ，在反比例函数上， ，解得，， ， 正方形的面积为5． 选：． 变式11-1．如图，正方形的顶点，分别在轴正半轴和轴正半轴上，过点的反比例函数的图象交正方形对角线于点．若正方形的面积为40，且点是的中点，则的值为 　　． 【答案】：16 【解析】：解：作轴于，设， 又由四边形为正方形， ，．． 又，， ． 又，． ，． 又，，．． 四边形为正方形，对角线与互相平分． 为的中点，为的中点．，． 又在反比例函数，． ．又正方形的面积为， 且，． ．． ． 答案：16． 变式11-2．如图，在平面直角坐标系中，点是轴正半轴上一点，点是反比例函数图象上的一个动点，连结，以为一边作正方形，使点在第一象限且落在反比例函数的图象上，设点的横坐标为，点的横坐标为，则　　． 【答案】：2； 【解析】：解：将代入中，得到，所以点的坐标是． 如图，作轴于点，作轴于点，可证得，， 所以，， 所以， 所以点的坐标是，， 因为点落在反比例函数图象上，点的横坐标为， 所以点的坐标是， 所以，， 即，， 消去得，， 因为，可得：． 例12．如图，在直角坐标系中，菱形的顶点，反比例函数图象交线段，射线于点，，连接，则的值是　　 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】：C 【解析】：解：， ，， 在反比例函数中，当时，，， ．设直线的解析式为，、在直线上， ，解得，直线的解析式为， 联立方程组，解得，，， ． 选：． 变式12-1．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为，点在反比例函数的图象上，点是对角线与的交点且在反比例函数的图象上，则的值为 　　． 【答案】：； 【解析】：解：菱形的边长为， ，， 作轴，垂足为，设， 点在反比例函数的图象上， ，即， 在中，由勾股定理得：， 解得， ，， ，， ， 答案：． 类型六、反比例函数综合题 例13．已知反比例函数图象经过一、三象限． （1）判断点在第几象限； （2）若点，是反比例函数图象上的两点，试比较，，的大小关系； （3）设反比例函数，已知，且满足当时，函数的最大值是；当时，函数的最小值是，求为何值时，． 【答案】：（1）第二象限 ； （2） ；（3） ； 【解析】：解：（1）反比例函数图象经过一、三象限， ，， 点在第二象限； （2）反比例函数图象经过一、三象限， 在每一象限内随的增大而减小， 又点，在反比例函数上，且点，位于第一象限， 可得，解得：， ，，的大小关系为：； （3）反比例函数图象经过一、三象限．在每一象限内随的增大而减小， 又反比例函数图象位于第二、四象限，在每一象限内随的增大而增大， 又，当时，函数的最大值是；当时，函数的最小值是， 当时，；当时，， ， 解得：（不合题意，舍去）或，当时，代入中，， ，，若， ，解得：， 经检验是原方程的解， 当时，． 变式13-1．已知反比例函数． （1）若反比例函数的图象经过点，求的值． （2）若点，在函数的图象上，比较，，的大小． （3）反比例函数，如果，且，函数的最大值比函数的最大值大5，函数的最小值比函数的最小值大4.8，试证明． 【答案】：（1）3 ； （2） ；（3） ； 【解析】：（1）解：将点坐标代入得：， 解得：， （2）解：中， 反比例函数图象分布在第一三象限，随的增大而减小， ， ，，， ； （3）证明：反比例函数，如果，且， 随的增大而增大，则的最大值为，最小值为， 反比例函数．如果，且， 随的增大而减小，则的最大值为，最小值为， 函数的最大值比函数的最大值大5，函数的最小值比函数的最小值大4.8， ，， ①，②， ①②得：， ． 例14．如图，已知直线和反比例函数的图象交于第一象限的，两点． （1）填空：当时，　　；直线的函数表达式为 　　． （2）若把点先向左平移3个单位，再向下平移6个单位后得到的点也在反比例函数的图象上，试求和的值． （3）直接写出满足的的取值范围． 【答案】：（1）2， ； （2）， ；（3）或 ； 【解析】：解：（1）若，则， 根据题意，把代入 得． 也在该反比例函数图象上，， 解得．再把，分别代入， 得，解得．． 答案：2，； （2）根据题意可得点平移后的点也在该反比例函数图象上， ，解得． ，解得， （3），移项可得， 如图，直线 与 关于原点对称， 直线 和反比例函数 的图象交于第三 象限的， 两点， 结合图象可知满足不等式的的取值范围是或． 变式14-1．在平面直角坐标系中：设函数，，是常数，．若函数的图象过点，且．（1）求，的值． （2）将函数的图象向上平移个单位，平移后的函数图象与函数的图象交于直线上的同一点，求的值． （3）已知点，，为常数）在函数的图象上，点关于轴的对称点为，函数的图象经过点，当时，求的取值范围． 【答案】：（1）， ； （2）3 ；（3）或 ； 【解析】：解：（1）函数的图象过点， ， ，，； （2）由（1）知，，，，， 将函数的图象向上平移个单位， 平移后的函数的解析式为， 平移后的函数图象与函数的图象交于直线上的同一点， 交点的坐标为， 把代入得，； （3）点，，为常数）在函数的图象上， ， 点关于轴的对称点， 函数的图象经过点，， ，， 当时，解得， 当时，解得：， 综上所述，的取值范围为：或． 变式14-2．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点（点在点左侧），已知点的横坐标为． （1）求反比例函数的表达式； （2）根据图象直接写出的解集； （3）将直线；沿轴向上平移，若平移后的直线与反比例函数在第四象限内交于点，如果△的面积为10，求平移后的直线的函数表达式． 【答案】：（1） ； （2） 或 ；（3） ． ； 【解析】：解：（1）把代入得，， ， 把代得， 反比例函数的表达式为； （2）解得，， ， 的解集为或； （3）设直线与轴交于， 设平移后的直线的函数表达式为， ，连接，， ，， ， 平移后的直线的函数表达式为． 1．反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是　　） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】：A； 【解析】：解：反比例函数中，， 此函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，在每一象限内随的增大而减小， 、当时，， ，，正确，符合题意； 、当时，点在第三象限，点在第一象限， ，，，原结论错误，不符合题意； 、由知，当时，，原结论错误，不符合题意； 、当时，，，在第一象限， ，，原结论错误，不符合题意． 选：． 2．反比例函数的图象经过点，，下列说法一定正确的是　　 A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】：D; 【解析】：解：、， 函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，在每一象限内随的增大而减小， 当时，点位于第一象限，点位于第三象限，； 当时，，点，位于第一象限， ，，原说法错误，不符合题意； 、，函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，在每一象限内随的增大而减小， ，，点，位于第三象限， ，，原说法错误，不符合题意； 、，函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，在每一象限内随的增大而增大， 当时，，点位于第四象限，点位于第二象限， ，当时，，，，原说法错误，不符合题意； 、，函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，在每一象限内随的增大而增大， ，，点，位于第二象限， ，，正确，符合题意． 选：． 3．已知点，，，，在双曲线上，若，且，则，，的大小关系是　　 A． B． C． D． 【答案】：B; 【解析】： 解：，反比例函数图象过一、三象限． 又，且，，， 当时，反比例函数单调递减， 又，， ， 综上可知：． 选：． 4．已知，，，两点在反比例函数的图象上，下列判断正确的是　　 A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】：A; 【解析】：解：， 反比例函数的图象在第一、三象限，在每个象限随的增大而减小， 当时，，，，在第一象限，则； 当时，，在第三象限，，在第一象限，则，故、错误； 当时，，，，在第三象限，则，故错误． 故选：． 5．已知反比例函数，对于正数，当自变量满足时，函数的最小值为，则当时，函数有　　 A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 【答案】：D; 【解析】：解：反比例函数， 图象在第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大， 对于一个正数，当时，函数的最小值为， 则时，，，， 当时， 当时，函数的最小值为：， 当时，函数的最大值为：， 选：． 6．如图，在反比例函数的图象上，有点，，，，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作垂直于轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，若，则的值为　　 A．2.5 B．3 C．4 D．无法确定 【答案】：C; 【解析】：解：点，，，在反比例函数的图象上，且它们的横坐标依次为1，2，3，4，，，，， ，，， ， ，解得：， 选：． 7．如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于点，点，已知点的坐标是，且，连接，交反比例函数图象于点，若，则的值为　　． 【答案】： 【解析】：解：设，，，点坐标为，， 点在反比例函数的图象上，，解得，， ，， 过原点的直线与反比例函数的图象交于点，两点， 点与点关于原点对称，即，， ，解得． 答案． 8．如图，在反比例函数的图象上，有点，，，，它们的横坐标依次为2，4，6，8，分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，，，，则　，　　（用含的代数式表示，为正整数）． 【答案】：7.5，； 【解析】：解：如图，过点、点作轴的垂线段，垂足分别 是点、，过点作轴的垂线段，垂足是点，交于点， 则点的坐标为， 点，，的坐标分别为，，，； ； ，， ， 答案：7.5，． 9．如图，点，为反比例函数的图象第一象限上的两点，连结，并延长，分别交反比例函数的图象于点，，连结，，，．若四边形的面积为16，则的值为 　　． 【答案】：3； 【解析】：解：，，四边形是平行四边形， 四边形的面积为16，， 设直线的解析式为，点，在直线上， ，解得， 直线解析式为，设直线交轴于点，则，即， ，， 解得．． 10．某数学小组在研究了函数与性质的基础上，进一步探究函数的性质，经过讨论得到以下几个结论： ①函数的图象与直线没有交点； ②函数的图象与直线只有一个交点，则； ③点在函数的图象上，则点也在函数的图象上． 以上结论正确的是　　 A．①② B．①②③ C．②③ D．①③ 【答案】：B; 【解析】：解：①由 题意得，，当时，即：，也就是， △，此方程无实数根，故，与无交点，因此①正确， ②由①得，当时，即：，也就是， 当△时，函数的图象与直线只有一个交点，此时，，因此②正确， ③将点代入函数关系式中，得出，将代入函数关系式中，得出， 则点也在函数的图象上．因此③正确， 选：． 11．如图，在平面直角坐标系中，一次函数和反比例函数为常数且的图象交于，两点． （1）求反比例函数的表达式； （2）若实数满足：当时，；当时，，求的取值范围． 【答案】：（1） ； （2） 或． ； 【解析】：解：（1）将点坐标代入得，， 所以点的坐标为，将点坐标代入反比例函数解析式得， ，所以反比例函数的解析式为． （2）将代入得，， 所以点的坐标为．由函数图象可知， 当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方，即， 当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即． 又因为当时，；当时，， 所以或，或或， 所以或． 12．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）当时，根据图象直接写出的取值范围； （3）设点为第一象限内反比例函数图象上的点，当时，求直线的函数表达式． 【答案】：（1） ； （2）或；（3） ； 【解析】：解：（1）把代入得，， 反比例函数的表达式为； （2）把代入得，，， 当时，的取值范围为或； （3）过点作交于点，过点作轴的平行线交故点和轴的平行线于点，交故点和轴的平行线于点， ，则为等腰直角三角形，则，，设点， ，， ， ，， 则且， 解得：，， 即点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/3/26 23:58:56；用户：Kelly；邮箱：18958097861；学号：39862866 13．已知反比例函数与一次函数，是常数）的图象交于点，，，． （1）当，时，求的值． （2）若，求的值． 【答案】：（1） ； （2） 0 ； 【解析】：解：（1）当，时，一次函数为， 令，整理得， 反比例函数与一次函数，是常数）的图象交于点，，，， ，是方程的两个根， ； （2）反比例函数与一次函数，是常数）的图象交于点，，，， ，是方程的两个根，方程整理得， ，，， 一次函数为，是常数）， 点，，，关于原点对称， ． 14．如图，反比例函数与一次函数的图象都经过点和点，以为边作正方形（点、、、逆时针排列）． （1）求的值和一次函数的解析式． （2）求点的坐标． （3）将正方形平移得到正方形，在平移过程中，使点的对应顶点始终在第一象限内且在反比例函数的图象上（点与点不重合），当正方形与正方形的重叠部分为正方形时，求重叠正方形的边长． 【答案】：（1） ； （2） 点；（3） ； 【解析】：解：（1）将点、的坐标代入反比例函数表达式得：， 解得：， 将点、的坐标代入函数表达式得： ，解得：， 则一次函数的表达式为：； （2）过点作轴的平行线交过点和轴的平行线于点，交故点和轴的平行线于点， ，， ， ，， ， 则，， 则点； （3）当正方形与正方形的重叠部分为正方形时，则点在上， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 由（1）知，反比例函数表达式为：， 联立上述两个函数表达式得：， 解得：（舍去）或，即点，， 由点、的坐标得，， 则重叠正方形的边长为． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$