期中押题重难点检测卷（提高卷）（考试范围：二次根式、勾股定理、平行四边形）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版）

期中押题重难点检测卷（提高卷） （满分120分，考试时间120分钟，共26题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：二次根式、勾股定理、平行四边形； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（24-25八年级下·湖南株洲·阶段练习）下列命题中，正确的是（　　） A．对角线相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直的四边形是平行四边形 C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是平行四边形 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定定理解答即可．本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】解：对角线相等的四边形不一定是平行四边形，如等腰梯形，故A选项不正确； 对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形；故B选项不正确； 对角线互相平分的四边形是平行四边形，故C选项正确； 对角线互相垂直且相等的四边形不一定是平行四边形，故D选项不正确； 故选：C． 2．（24-25八年级下·广西南宁·阶段练习）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的运算及性质，熟练掌握二次根式的运算及性质是解题的关键；因此此题可根据二次根式的运算进行排除选项． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故不符合题意； B、，原计算错误，故不符合题意； C、，计算正确，故符合题意； D、，原计算错误，故不符合题意； 故选C． 3．（24-25八年级下·北京朝阳·阶段练习）五根长度为7、15、20、24、25的木棒，将它们摆成两个直角三角形，下列图形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方，据此进行逐项分析即可作答． 【详解】解：A、，，故A不符合题意； B、，，故B符合题意； C、，，故C不符合题意； D、，，故D不符合题意； 故选：B． 4．（河南省商丘、济源市部分学校2024-2025学年八年级下学期阶段性评价一数学试卷）《算法统宗》是由我国明代数学家程大位编写的数学名著，书中记载到：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐；五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？”大概意思是：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步尺）时，此时踏板升高，离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”如图，若设秋千绳索的长为尺，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键； 设秋千绳索的长为尺，利用勾股定理可得方程． 【详解】解：根据题意，设秋千绳索的长为尺， 则； 故选：C 5．（24-25八年级上·浙江台州·期末）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的加法运算，分母有理化，熟练掌握运算法则是解题的关键． 将化为，然后把，代入求值即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴原式， 故选：． 6．（24-25八年级下·湖北黄石·阶段练习）已知，如图长方形中，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理的运用，理解折叠的性质，掌握勾股定理是解题的关键． 根据题意，设，则，在中由勾股定理得到，则，结合三角形面积的计算公式即可求解． 【详解】解：根据折叠可得，， ∴设，则， 在中，， ∴， 整理得，， 解得，， ∴， ∴， ∴的面积为， 故选：D ． 7．（24-25八年级下·山东日照·阶段练习）已知a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴、化简二次根式、整式的加减等知识，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先根据数轴的性质可得，，从而可得，，，再化简二次根式和绝对值，然后计算整式的加减即可得． 【详解】解：由数轴可知，，， ∴，，， ∴ ， 故选：A． 8．（24-25九年级下·山东济南·开学考试）如图，在矩形中，，，P是上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作和的垂线，垂足为E，F，则的值为 （　　） A． B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形的面积，熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键．连接，利用勾股定理列式求出，再根据矩形的对角线相等且互相平分求出，然后根据列方程求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴解得， 故选：． 9．（24-25八年级下·福建龙岩·阶段练习）如图，在中，，，，点为边上任意一点，连接、将沿方向平移至，连接、，则当取得最小值时，的长为（　　） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形性质和勾股定理，利用勾股定理得到边的长度，根据平行四边形的性质，得知最短即为最短，利用垂线段最短得到点的位置，再根据得到的长度，继而得到的长度，从而即可得解． 【详解】解：， ， 四边形是平行四边形， ，， 最短也就是最短， 过作的垂线，垂足为，连接， ∵垂线段最短， ∴当点P在点处时，最小，即最小， ∵ 即 ∵ ， 则的最小值为， ， ， ∴当取得最小值时，的长为． 故选：C． 10．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在边长为8的正方形中，点E，F分别是边，上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是（   ） A． B． C．6 D．10 【答案】A 【分析】先证明，得到，再利用直角三角形性质，线段最短原理，勾股定理解答即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点M是的中点， ∴， 延长到点N，使得， ∴， ∴， ∴， 连接， ∵， ∴当D，F，N三点共线时，取得最小值， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故的最小值是， 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，线段最短原理，熟练掌握正方形的性质，勾股定理是解题的关键． 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题3分，共24分） 11．（24-25八年级下·广东广州·阶段练习）化简 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了分母有理化，根据分子和分母同时乘上，运用平方差公式进行运算，从而化简原式为，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 12．（24-25八年级下·湖南株洲·阶段练习）平行四边形中，，，则平行四边形的周长为 ． 【答案】28 【分析】本题考查平行四边形的性质，熟知平行四边形的对边相等是解答的关键． 由平行四边形的对边相等即可求得其周长． 【详解】∵平行四边形中，，， ∴平行四边形的周长为． 故答案为：28． 13．（河南省商丘、济源市部分学校2024-2025学年八年级下学期阶段性评价一数学试卷）如图，在数值转换机中输入，第1次输出的结果为；将第1次输出的结果再输入数值转换机中，第2次输出的结果为3；…；以此类推，则第6次输出的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的乘法运算．直接按照程序规定的计算法则结合二次根式的乘法运算法则计算即可． 【详解】解：第1次，； 第2次，； 第3次，； 第4次，； 第5次，； 第6次，； 故答案为：． 14．（24-25九年级下·山东临沂·阶段练习）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点、、都在格点上，若是的边上的高，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求三角形的高，割补法求三角形面积，勾股定理，二次根式的化简，先利用割补法求出的面积，再利用勾股定理求出的长，再利用三角形面积公式求出即可． 【详解】解：， 由勾股定理得， ∵是的高， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15．（24-25八年级下·河南安阳·阶段练习）图1是某区域的监控警示图标，图2是抽象出的几何模型，已知为直角，若段长，段比段长，则段的长度为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了勾股定理，一元一次方程的应用，掌握勾股定理是解题关键．设段的长度为，则段的长度为，再根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设段的长度为，则段的长度为， 由勾股定理得：， 则， 解得：， 即：段的长度为8， 故答案为：8． 16．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在边长为的正方形中，点、点分别是、上的点，连接、、，满足＝．若＝，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质，证明是解题的关键． 在上截取，连接，证明，，可得，在中，根据勾股定理求出，进而可以求出结果． 【详解】解：如图，在上截取，连接， ∵四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ，， ，， ，， 在和中， ， ， ， ， ，，， 在中，根据勾股定理， 得， ， 解得， ， 的长为． 17．（24-25八年级下·湖北黄石·阶段练习）如图，中，，，的平分线与线段交于点，且有，点是线段上的动点（与不重合），连接，当是等腰三角形时，则的长为 ． 【答案】或12 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的定义，掌握以上知识，数形结合，分类讨论思想是解题的关键． 根据含30度角的直角三角形的性质，角平分线的定义得到，，，当时，；当时，解得；由此即可求解． 【详解】解：， ， 是的平分线， ， ， ， ， 如图，作于， 在Rt中，， ， ， ， 在Rt中，， ， 在中，， ， 当时， ∴； 当时， ∵， ∴，， 在中，，即 ∴， 解得，， 点与不重合， ， 综上所述：当是等腰三角形时，的长为或12． 故答案为：或12． 18．（24-25九年级下·辽宁锦州·开学考试）如图，在边长为6的正方形中，为对角线上一点，连接，过点作的垂线交边所在的直线于点，连接，交对角线所在直线于点，若，则线段 ． 【答案】或 【分析】根据分两种情况①当点在线段上时，②当点在延长线上时，作辅助线，结合正方形性质，矩形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形性质，证明三角形全等，结合全等三角形性质建立方程求解，即可解题． 【详解】解：①当点在线段上时， 过点作， 四边形为正方形， ，， 四边形为矩形， ， ， 为正方形对角线， ， ， ， 设，又正方形边长为6， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 同理可证，， 又， ，解得， ， ②当点在延长线上时， 由①同理可得， 又， ， 综上所述，或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查正方形性质，矩形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形性质，全等三角形性质和判定，解题的关键在于作辅助线构造全等三角形，并结合全等三角形性质建立方程． 三、解答题（8小题，共66分） 19．（24-25八年级下·福建龙岩·阶段练习）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是零次幂，负整数指数幂的含义，二次根式的加减运算； （1）先计算零次幂，负整数指数幂，化简二次根式，再合并即可； （2）先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可. 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 20．（24-25八年级下·广东广州·阶段练习）先化简，再求值：；其中． 【答案】， 【分析】首先将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算得出，再把代入化简，即可得答案．此题主要考查了分母有理化，分式的混合运算，分式运算时需注意先算括号、再算乘除、最后算加减；加减运算时通分是最重要的一步，乘除运算时要先将分子分母进行因式分解；正确进行分式的混合运算是解题关键． 【详解】解： ， 当时，原式． 21．（24-25八年级下·河北邢台·阶段练习）如图，小岛A位于港口C北偏西方向上，小岛B位于港口C的北偏东方向上，且与港口C相距200海里，小岛B与小岛A相距250海里． (1)求小岛A与港口C的距离； (2)在小岛B处有一艘载满货物的货船，以每小时20海里的速度从小岛B出发沿B→A方向航行，当货船距离港口C最近时，求货船还需航行多长时间才能到达小岛A？ 【答案】(1)小岛A与港口C的距离为150海里 (2)货船还需航行4.5小时才能到达小岛A 【分析】此题考查了勾股定理的应用，理解题意是解答的关键． （1）根据勾股定理求解即可； （2）过点C作于点D，首先利用等面积法求出，然后利用勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，，． 在中，， ∴． 答：小岛A与港口C的距离为150海里； （2）解：过点C作于点D， 当货船航行到点D时，此时货船距离港口C最近． ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴（小时）． 答：货船还需航行4.5小时才能到达小岛A． 22．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，点E、F在上，，． (1)求证：； (2)连接、，求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据平行四边形的性质得，则，再得出，证明，即可作答． （2）根据全等三角形的性质得，则，结合一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可作答． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，． ∴， ∴； （2）解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 23．（24-25八年级上·山西运城·期末）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理． (1)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若，，则空白部分的面积为 ． (2)如图3，长方形沿折叠，使点落在边上的点处．若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键； （1）根据空白部分的面积边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积，即可求解； （2）根据勾股定理求得，进而设，则，，在中，勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：空白部分的面积边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积， ∵，， ∴空白部分的面积； 故答案为：． （2）解：∵折叠， ∴，在中，∵，， ∴ ∴， 设，则， 在中， ∴ 解得： 即 24．（24-25八年级上·广东广州·期中）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．由此可见数学学习和研究中形与数互相配合的重要性．“数形结合”是一种重要的数学思想，通过把抽象的数量关系与直观的几何图形相结合，可使复杂问题简单化，抽象问题具体化． 例如：已知（数的形式），从勾股定理的学习中可以将该式看成直角三角形的两直角边长度分别为3、4，计算结果为斜边（图形形式）长度为5，如图1；同理计算（数的形式）可以看成直角边长度分别为、8，结果为斜边（图形形式）长度为，如图2． 利用数形结合的思想解决下面问题： 已知，请求出的最小值． 【答案】130 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据题意灵活构造出直角三角形是解题的关键．取线段，使，在上任取一点，设，，构造直角三角形，使，且，，则，可得当点，，三点共线时，的值最小，最小值等于的长，构造直角三角形计算即可，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，取线段，使，在上取一点，设，，构造，，使，且，， 则，，， 则， 当点，，三点共线时，的值最小， 即的值最小，最小值等于的长， 过点作交延长线于点， ， 四边形是矩形， ，， ． 的最小值为130． 25．（24-25九年级下·广东广州·阶段练习）如图，已知矩形中，，，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，点，的对应点分别为点． (1)如图1，当点落在边上时，求的长； (2)当点，，在一条直线上时，设与的交点为，求的长； (3)如图2，设点为边的中点，连接，，，在矩形旋转过程中，的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了矩形的折叠问题、勾股定理、三角形的三边关系等知识点，根据两边之和大于第三边确定h的最大值成为解题的关键． （1）根据矩形的性质可得，再根据折叠的性质可得，由勾股定理可得，然后根据线段的和差即可解答； （2）如图：连接，根据矩形的性质可得，，，再运用勾股定理可得，然后根据折叠的性质可得、，最后由勾股定理可得，即，再证明可得，即，最后根据勾股定理列方程求解即可； （3）如图：连接，作于点M，由折叠性质和矩形的性质可得，，，然后根据中点的定义以及勾股定理可得；当与共线且时，面积最大，先求出，进而求得面积的最大值． 【详解】（1）解：∵矩形中，，， ∴， ∵将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，点落在边上， ∴ ∴， ∴． （2）解：如图：连接， ∵矩形中，，， ∴， ∴， ∵将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，点，，在一条直线上， ∴，， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：． （3）解：如图：连接，作于点M， ∵将矩形绕点逆时针旋转得到矩形， ∴，，， ∵点为边的中点， ∴， ∴， 当与共线且时，面积最大， ， ， ∴的最大值为． 26．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动． (1)【活动一】在矩形中，现将纸片折叠，使点与点重合，折痕为，如果，，求的长． (2)【活动二】如图，在矩形中，点从边的中点出发，沿着匀速运动，速度为每秒个单位长度，到达点后停止运动，点是上的点，，设的面积为，点运动的时间为秒，与的函数关系如图所示． 图中 ， ，图中 ． 点在运动过程中，将矩形沿所在直线折叠，当 时，折叠后顶点的对应点落在矩形的一边上． 【答案】(1) (2)，，；秒或秒或秒 【分析】（1）由折叠的性质得，设，则，在中，由勾股定理得：，即，解出的值即可求解； （2）从图看出：点从到，面积逐渐增大，点从到，面积不变，故再从图看出：，，再计算即可； 分三种情况：在上，且在左方，或在上，且在右方，或在上，再运用勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：在矩形中，现将纸片折叠，使点与点重合，折痕为， ，，，， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 即； （2）解：从图看出：点从到，面积逐渐增大，点从到，面积不变， 故再从图看出：，， ， 故答案为：，，； 如图，过作交于点， 由翻折得，， ，， ， 在中，， ， ； 如图： 由翻折得， ， ， ， ， 当点从运动到图为止时，， 在中，， ， ； 如图： 由翻折得， ， ， ， ， ， 由翻折得， ， ， ， 综上所述，的值为秒或秒或秒， 故答案为：秒或秒或秒． 【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，矩形的性质，等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中押题重难点检测卷（提高卷） （满分120分，考试时间120分钟，共26题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：二次根式、勾股定理、平行四边形； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（24-25八年级下·湖南株洲·阶段练习）下列命题中，正确的是（　　） A．对角线相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直的四边形是平行四边形 C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是平行四边形 2．（24-25八年级下·广西南宁·阶段练习）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·北京朝阳·阶段练习）五根长度为7、15、20、24、25的木棒，将它们摆成两个直角三角形，下列图形正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（河南省商丘、济源市部分学校2024-2025学年八年级下学期阶段性评价一数学试卷）《算法统宗》是由我国明代数学家程大位编写的数学名著，书中记载到：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐；五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？”大概意思是：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步尺）时，此时踏板升高，离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”如图，若设秋千绳索的长为尺，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·浙江台州·期末）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·湖北黄石·阶段练习）已知，如图长方形中，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为（　　） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·山东日照·阶段练习）已知a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简：（    ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级下·山东济南·开学考试）如图，在矩形中，，，P是上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作和的垂线，垂足为E，F，则的值为 （　　） A． B． C．5 D． 9．（24-25八年级下·福建龙岩·阶段练习）如图，在中，，，，点为边上任意一点，连接、将沿方向平移至，连接、，则当取得最小值时，的长为（　　） A． B． C． D．2 10．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在边长为8的正方形中，点E，F分别是边，上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是（   ） A． B． C．6 D．10 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题3分，共24分） 11．（24-25八年级下·广东广州·阶段练习）化简 ． 12．（24-25八年级下·湖南株洲·阶段练习）平行四边形中，，，则平行四边形的周长为 ． 13．（河南省商丘、济源市部分学校2024-2025学年八年级下学期阶段性评价一数学试卷）如图，在数值转换机中输入，第1次输出的结果为；将第1次输出的结果再输入数值转换机中，第2次输出的结果为3；…；以此类推，则第6次输出的结果为 ． 14．（24-25九年级下·山东临沂·阶段练习）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点、、都在格点上，若是的边上的高，则 ． 15．（24-25八年级下·河南安阳·阶段练习）图1是某区域的监控警示图标，图2是抽象出的几何模型，已知为直角，若段长，段比段长，则段的长度为 ． 16．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在边长为的正方形中，点、点分别是、上的点，连接、、，满足＝．若＝，则的长为 ． 17．（24-25八年级下·湖北黄石·阶段练习）如图，中，，，的平分线与线段交于点，且有，点是线段上的动点（与不重合），连接，当是等腰三角形时，则的长为 ． 18．（24-25九年级下·辽宁锦州·开学考试）如图，在边长为6的正方形中，为对角线上一点，连接，过点作的垂线交边所在的直线于点，连接，交对角线所在直线于点，若，则线段 ． 三、解答题（8小题，共66分） 19．（24-25八年级下·福建龙岩·阶段练习）计算： (1)； (2) 20．（24-25八年级下·广东广州·阶段练习）先化简，再求值：；其中． 21．（24-25八年级下·河北邢台·阶段练习）如图，小岛A位于港口C北偏西方向上，小岛B位于港口C的北偏东方向上，且与港口C相距200海里，小岛B与小岛A相距250海里． (1)求小岛A与港口C的距离； (2)在小岛B处有一艘载满货物的货船，以每小时20海里的速度从小岛B出发沿B→A方向航行，当货船距离港口C最近时，求货船还需航行多长时间才能到达小岛A？ 22．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，点E、F在上，，． (1)求证：； (2)连接、，求证：． 23．（24-25八年级上·山西运城·期末）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理． (1)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若，，则空白部分的面积为 ． (2)如图3，长方形沿折叠，使点落在边上的点处．若，，求的长． 24．（24-25八年级上·广东广州·期中）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．由此可见数学学习和研究中形与数互相配合的重要性．“数形结合”是一种重要的数学思想，通过把抽象的数量关系与直观的几何图形相结合，可使复杂问题简单化，抽象问题具体化． 例如：已知（数的形式），从勾股定理的学习中可以将该式看成直角三角形的两直角边长度分别为3、4，计算结果为斜边（图形形式）长度为5，如图1；同理计算（数的形式）可以看成直角边长度分别为、8，结果为斜边（图形形式）长度为，如图2． 利用数形结合的思想解决下面问题： 已知，请求出的最小值． 25．（24-25九年级下·广东广州·阶段练习）如图，已知矩形中，，，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，点，的对应点分别为点． (1)如图1，当点落在边上时，求的长； (2)当点，，在一条直线上时，设与的交点为，求的长； (3)如图2，设点为边的中点，连接，，，在矩形旋转过程中，的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由． 26．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动． (1)【活动一】在矩形中，现将纸片折叠，使点与点重合，折痕为，如果，，求的长． (2)【活动二】如图，在矩形中，点从边的中点出发，沿着匀速运动，速度为每秒个单位长度，到达点后停止运动，点是上的点，，设的面积为，点运动的时间为秒，与的函数关系如图所示． 图中 ， ，图中 ． 点在运动过程中，将矩形沿所在直线折叠，当 时，折叠后顶点的对应点落在矩形的一边上． 学科网（北京）股份有限公司 $$