期中押题重难点检测卷（提高卷）（考试范围：北师大版第1-3章）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

期中押题重难点检测卷（提高卷） （满分120分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：北师大版第1-3章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（2025·山东济南·一模）2024年7月，第33届夏季奥林匹克运动会（）在法国巴黎举办．下面是巴黎奥运会一些项目图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·北京朝阳·阶段练习）五根长度为7、15、20、24、25的木棒，将它们摆成两个直角三角形，下列图形正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·甘肃平凉·阶段练习）已知，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，是由16个小等边三角形拼成的大等边三角形，其中与全等的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·安徽滁州·阶段练习）某企业产品换代升级，决定购买台新设备，这种新设备现有两种型号，型每台万元，型每台万元．经预算，该企业购买设备的资金不高于万元，则该企业的购买方案有（    ） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 6．（23-24八年级下·贵州六盘水·期中）如图，函数的图象经过点，与函数的图象交于点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·山东济南·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B在第一象限内，，，将绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转后点B的坐标为（   ）． A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）若关于x的一元一次方程的解为正整数，且关于x的不等式组无解，则符合条件的整数k的值的和为（   ） A．6 B．5 C．4 D．2 9．（24-25八年级下·重庆九龙坡·阶段练习）如图中，点D是边上一点，连接，把沿着直线翻折，得到，交于点G，连接交于点F，若点G是线段的中点，，，的面积为4.5，则的长是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级上·山东济南·期中）如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C在y轴的正半轴上，D在直线上，且，．若点P为线段上的一个动点，且点关于x轴的对称点Q总在内（不包括边界），则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（24-25八年级下·福建龙岩·阶段练习）若是最简二次根式，则m的值可以是 （写一个即可）． 12．（24-25九年级下·山东济宁·期中）已知，在平面直角坐标系中的位置如图所示，将以点O为中心逆时针旋转，则旋转后A点的坐标是 ． 13．（24-25八年级下·山东济宁·阶段练习）如图，在边长为4的等边中，点P为边上任意一点，于点E，于点F，则的长度和为 ． 14．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，点D为边上的一点，，于点E，若，，则线段的长为 ． 15．（24-25九年级下·上海虹口·阶段练习）定义：我们把一个函数图像上到两条坐标轴的距离都不大于的点叫做这个函数图像的“n阶方点”．例如点是反比例函数图像的一个“2阶方点”；点是正比例函数图像的一个“3阶方点”．如果点是一次函数的“2阶方点”，那么a的取值范围是 ． 16．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，点、分别是等边的边、上的动点（其中、不与端点重合），若点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为，连接、交于点． （1）在、运动的过程中， ； （2）已知等边的边长为，当运动时间为 时，为直角三角形． 三、解答题（10小题，共72分） 17．（24-25七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）（1）解不等式； （2）解不等式组． 18．（23-24八年级下·贵州六盘水·期中）解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答过程． (1)解不等式①，得_______； (2)解不等式②，得_______； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为_______． 19．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）已知方程组的解满足x为非正数，y为负数． (1)求m的取值范围； (2)化简：． 20．（24-25九年级下·广东东莞·期中）如图，在中，． (1)已知的平分线与交于点P，用尺规作图法求作点P，保留作图痕迹，不写作法： (2)若，求点P到的距离． 21．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）如图，在平面直角坐标系的顶点坐标分别为，，． (1)请写出顶点A关于y轴对称点的坐标，点B关于x轴对称点的坐标，点C关于坐标原点O对称点的坐标； (2)请在该坐标系中画出关于x轴对称的． 22．（24-25九年级下·福建漳州·阶段练习）武夷山可以说是红茶和乌龙茶的发源地．茶业经过采成和制作后成为我们的饮品．某茶庄主要经营的茶类有红茶和乌龙茶，其中红茶卖的比较好的是A规格的茶，乌龙茶卖的比较好的是B规格的茶，它们的进价和售价如下表： 种类 A规格 B规格 进价（元/斤） 160 500 售价（元/斤） 200 600 该茶庄计划购进两种规格的茶共100斤． (1)若该茶庄购进这两种茶共花费29600元，求该茶庄购进A，B两种规格的茶各多少斤？ (2)根据市场销售分析，A规格的进货量不低于B规格的3倍．如何进货才能使本次购进的茶全部销售完获得的利润最大？最大利润是多少元？ 23．（2025八年级下·全国·专题练习）已知：如图所示，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，与y轴交于点M． (1)求直线的表达式． (2)求的面积． (3)点是x轴上一个动点，过点P垂直于x轴的直线分别与直线和交于C、D两点，当点C位于点D上方时，直接写出n的取值范围． 24．（24-25八年级上·四川成都·期末）在长方形中，，，P，Q分别是边，上的点，将四边形沿翻折，A，B两点的对应点分别为F，E． (1)如图1，当点E落在上，求证：； (2)如图2，若，点E与点D重合，求线段的长； (3)如图3，若，点E恰好落在中点，求线段的长． 25．（24-25八年级下·福建漳州·阶段练习）如图a，已知点，点C为x轴上一动点，连接，和都是等边三角形． (1)求证：； (2)如图b，当点D恰好落在上时． ①求的长及点E的坐标； ②如图c，点M是线段上的动点（点B，C除外），过点M作于点G，于点H，当点M运动时，的值是否发生变化？简要说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中押题重难点检测卷（提高卷） （满分120分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：北师大版第1-3章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（2025·山东济南·一模）2024年7月，第33届夏季奥林匹克运动会（）在法国巴黎举办．下面是巴黎奥运会一些项目图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的关键． 根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】 解：A． 不是轴对称图形，是中心对称图形，故该选项不符合题意； B． 既是轴对称图形，又是中心对称图形，故该选项不符合题意； C． 不是轴对称图形，是中心对称图形，故该选项不符合题意； D． 不是轴对称图形，是中心对称图形，故该选项不符合题意； 故选：B． 2．（24-25八年级下·北京朝阳·阶段练习）五根长度为7、15、20、24、25的木棒，将它们摆成两个直角三角形，下列图形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方，据此进行逐项分析即可作答． 【详解】解：A、，，故A不符合题意； B、，，故B符合题意； C、，，故C不符合题意； D、，，故D不符合题意； 故选：B． 3．（24-25八年级下·甘肃平凉·阶段练习）已知，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了不等式的性质．解题的关键是掌握不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质分析判断． 【详解】解：A、不等式的两边同时乘，当时，不等号的方向不变，即，故此选项不符合题意； B、不等式的两边同时乘，不等号的方向改变，即，故此选项不符合题意； C、不等式的两边同时减去，不等号的方向不变，即，故此选项符合题意； D、不等式的两边同时加上3，不等号的方向不变，即，故此选项不符合题意． 故选：C． 4．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，是由16个小等边三角形拼成的大等边三角形，其中与全等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，先根据，，，证明，得出，同理证明，，得出，，即可得出结论． 【详解】解： 根据图形可知：，，， ∴， ∴， 同理可得：，， ∴，， ∴． 故选：D． 5．（24-25七年级下·安徽滁州·阶段练习）某企业产品换代升级，决定购买台新设备，这种新设备现有两种型号，型每台万元，型每台万元．经预算，该企业购买设备的资金不高于万元，则该企业的购买方案有（    ） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 【答案】A 【分析】此题主要考查了一元一次不等式的应用，正确表示出购买总费用是解题关键．设购买型设备台，型设备台，根据题意列不等式组，再根据为整数求出的值即可． 【详解】解：设购买型设备台，型设备台，根据题意可得： ， 解得： 又∵为整数， ∴，，， 故购买方案有种． 故选：A． 6．（23-24八年级下·贵州六盘水·期中）如图，函数的图象经过点，与函数的图象交于点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据两条直线的交点求不等式的解集， 先将代入关系式求出x，从交点向左一次函数的图象在一次函数的图象上方，即可得出不等式的解集． 【详解】解：当时，， 解得． 当时，两个函数值相等， ∴当时，． 故选：B． 7．（24-25八年级下·山东济南·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B在第一象限内，，，将绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转后点B的坐标为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查点的规律探究．过点作轴于，求出的长，进而求出点的坐标，根据旋转的性质，以及点的坐标规律，判断每6次一个循环，进而求出第2025次旋转后，点的坐标即可，熟练掌握旋转的性质，所对的直角边是斜边的一半以及勾股定理是解题的关键． 【详解】解：过点作轴于， 在中，，，， ， ，， 由勾股定理得，， ， ，， ， 逆时针旋转后，得， 以此类推，，，，，，6次一个循环， ， 第次旋转后，点的坐标为， 故选：C． 8．（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）若关于x的一元一次方程的解为正整数，且关于x的不等式组无解，则符合条件的整数k的值的和为（   ） A．6 B．5 C．4 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的整数解、一元一次不等式组的解集，熟练掌握解一元一次方程，根据不等式组的解的情况求参数是解题的关键．先求出的解为，从而推出，再整理不等式组为，结合不等式组无解得到，最后利用整数k的值以及是正整数的条件即可解答． 【详解】解：由，得， ∵方程的解为正整数， ∴， 解得：， ∵， ∴解①得， 解②得， ∴， ∵不等式组无解， ∴， ∴， 即整数， ∵为正整数， ∴，或， 则符合条件的整数的值的和为． 故选：D． 9．（24-25八年级下·重庆九龙坡·阶段练习）如图中，点D是边上一点，连接，把沿着直线翻折，得到，交于点G，连接交于点F，若点G是线段的中点，，，的面积为4.5，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由沿着直线翻折，得到，证明垂直平分，再由，根据勾股定理求得，再由，得，则，即可列面积等式求得，则，再根据勾股定理求得，于是得到问题的答案．此题重点考查轴对称的性质、勾股定理的应用、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，根据勾股定理求理，再列面积等式求得是解题的关键． 【详解】解：∵沿着直线翻折，得到， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长是， 故选：A． 10．（24-25八年级上·山东济南·期中）如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C在y轴的正半轴上，D在直线上，且，．若点P为线段上的一个动点，且点关于x轴的对称点Q总在内（不包括边界），则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出，，进而求出，再由可知点D在线段的垂直平分线上，即在直线上，则，利用待定系数法求出直线和直线的解析式，根据关于x轴对称的点横坐标相同纵坐标互为相反数求出点Q的坐标，再根据点Q在内，则当时，点Q的纵坐标在直线和直线二者的函数值之间，由此建立不等式求解即可． 【详解】解：在中，当时，，当时，， ∴，， ∵C在y轴的正半轴上，， ∴， ∵， ∴点D在线段的垂直平分线上，即在直线上， 在中，当时，， ∴； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 同理可得直线的解析式为； ∵点P为线段上的一个动点，且其横坐标为m， ∴， ∵P、Q关于x轴对称， ∴， ∵点Q总在内（不包括边界）， ∴， 解得：， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，坐标与图形变化—轴对称，正确理解题意得到点Q在内，则当时，点Q的纵坐标在直线和直线二者的函数值之间是解题的关键． 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（24-25八年级下·福建龙岩·阶段练习）若是最简二次根式，则m的值可以是 （写一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，最简二次根式的定义，不等式的解法，根据二次根式有意义可得，再结合最简二次根式的定义可得答案. 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得：， ∵是最简二次根式， ∴的值可以是或等； 故答案为： 12．（24-25九年级下·山东济宁·期中）已知，在平面直角坐标系中的位置如图所示，将以点O为中心逆时针旋转，则旋转后A点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转性质，根据网格特征，且结合将以点O为中心逆时针旋转这个条件，得出旋转后A点对应的坐标是，即可作答． 【详解】解：如图所示： ∵将以点O为中心逆时针旋转， ∴旋转后A点对应的坐标是， 故答案为：． 13．（24-25八年级下·山东济宁·阶段练习）如图，在边长为4的等边中，点P为边上任意一点，于点E，于点F，则的长度和为 ． 【答案】 【分析】连接，作交于点D，由得，再根据等边三角形的性质以及勾股定理求出的长即可得到答案． 本题主要考查了等边三角形的性质、三角形面积的计算方法、勾股定理等知识，通过作辅助线，根据三角形面积相等得出是解题的关键． 【详解】解：如图所示，连接，作交于点D， 则，即， 为等边三角形， ，, ， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 14．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，点D为边上的一点，，于点E，若，，则线段的长为 ． 【答案】 【详解】过点B作于点F，证明，得，再由勾股定理求出，设，则，进而在中，由勾股定理求出，设，则，然后在中，由勾股定理求出即可． 【解答】解：如图，过点B作于点F， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，由勾股定理得：，设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握勾股定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 15．（24-25九年级下·上海虹口·阶段练习）定义：我们把一个函数图像上到两条坐标轴的距离都不大于的点叫做这个函数图像的“n阶方点”．例如点是反比例函数图像的一个“2阶方点”；点是正比例函数图像的一个“3阶方点”．如果点是一次函数的“2阶方点”，那么a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数、不等式组，根据是一次函数的“2阶方点”，得关于的不等式组，解不等式组即可求解，理解新定义是解决问题的关键． 【详解】解：∵点是一次函数的“2阶方点”， ∴，即：， ∴， 解得：， 故答案为：． 16．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，点、分别是等边的边、上的动点（其中、不与端点重合），若点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为，连接、交于点． （1）在、运动的过程中， ； （2）已知等边的边长为，当运动时间为 时，为直角三角形． 【答案】 或 【分析】（1）先证明，得到，再利用三角形外角性质，等边三角形的性质，计算即可． （2）根据题意，得，分和两种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵等边， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （2）解：根据题意，得， 设运动t时，为直角三角形． ∵点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为，等边的边长为， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， 解得； 当时，， ∴， ∴， 解得； 故运动或时，为直角三角形； 故答案为或． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形外角性质，含．角的直角三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 三、解答题（10小题，共72分） 17．（24-25七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）（1）解不等式； （2）解不等式组． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据解一元一次不等式的步骤计算即可得解； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】（1）解： 去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边都除以5，得． （2）解：解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式的解集为． 18．（23-24八年级下·贵州六盘水·期中）解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答过程． (1)解不等式①，得_______； (2)解不等式②，得_______； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为_______． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握一元一次不等式组的解法并正确求解是解答的关键． （1）根据一元一次不等式的解法求解即可； （2）根据一元一次不等式的解法求解即可； （3）将（1）（2）中解集表示在数轴上即可，注意端点是实心还是空心； （4）根据数轴得出原不等式组的解集即可． 【详解】（1）解：解不等式①，得， 故答案为：； （2）解不等式②，得， 故答案为：； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示如图： （4）由数轴知，原不等式组的解集为：， 故答案为：． 19．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）已知方程组的解满足x为非正数，y为负数． (1)求m的取值范围； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的解法以及不等式组的求解，绝对值的化简，解题的关键是先求出方程组的解，再根据x，y的取值范围列出不等式组求解的取值范围，最后根据的范围化简绝对值． 先通过解方程组得出x，y关于的表达式，再根据x，y的条件列出不等式组求解的取值范围，最后根据的范围判断绝对值内式子的正负，进而化简绝对值． 【详解】（1）解方程组， 将两个方程相加可得：， ，解得， 把代入可得：， 解得， 因为为非正数，为负数， 所以可得不等式组， 解不等式①，得， 解不等式②， ， 的取值范围是； （2） ， ， 根据绝对值的性质：当时，；当时，， ． 20．（24-25九年级下·广东东莞·期中）如图，在中，． (1)已知的平分线与交于点P，用尺规作图法求作点P，保留作图痕迹，不写作法： (2)若，求点P到的距离． 【答案】(1)见解析 (2)点P到的距离为． 【分析】本题考查了尺规作图，角平分线的性质，勾股定理，以及面积法的应用，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解答本题的关键． （1）利用尺规作图可作出的平分线； （2）过点P作，垂足为D，由角平分线的性质可知，根据勾股定理求出的长，然后利用面积法即可求出的长． 【详解】（1）解：如图所示，点P即为所求； ； （2）解：过点P作，垂足为D． ∵平分，，， ∴， 依题意，得，， ∵， ∴， 解得，即点P到的距离为． 21．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）如图，在平面直角坐标系的顶点坐标分别为，，． (1)请写出顶点A关于y轴对称点的坐标，点B关于x轴对称点的坐标，点C关于坐标原点O对称点的坐标； (2)请在该坐标系中画出关于x轴对称的． 【答案】(1)，， (2)见解析 【分析】本题考查作图﹣旋转变换，轴对称变换． （1）利用轴对称变换的性质，中心对称变换的性质画出图形，写出坐标即可； （2）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可． 【详解】（1）解：，，； （2）解：如图，．即为所求． 22．（24-25九年级下·福建漳州·阶段练习）武夷山可以说是红茶和乌龙茶的发源地．茶业经过采成和制作后成为我们的饮品．某茶庄主要经营的茶类有红茶和乌龙茶，其中红茶卖的比较好的是A规格的茶，乌龙茶卖的比较好的是B规格的茶，它们的进价和售价如下表： 种类 A规格 B规格 进价（元/斤） 160 500 售价（元/斤） 200 600 该茶庄计划购进两种规格的茶共100斤． (1)若该茶庄购进这两种茶共花费29600元，求该茶庄购进A，B两种规格的茶各多少斤？ (2)根据市场销售分析，A规格的进货量不低于B规格的3倍．如何进货才能使本次购进的茶全部销售完获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)该茶庄购进A规格的茶60斤，B规格的茶40斤； (2)当购进A规格茶75斤，购进B规格茶25斤时，本次购进的茶全部销售完获得的利润最大，最大利润是5500元． 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用，不等式的应用． （1）建立方程的基本思路：A规格茶斤数规格茶斤数，再根据两种规格的茶的斤数之为100斤，如果设一种规格的茶斤数为x，则另一种为斤，从而可列出一元一次方程求解． （2）依据题意列出不等式，先求得A规格的茶最低不少于75斤，然后再根据售价减去进价等于利润列出总利润的表达式，最后根据一次函数的性质确定最大值． 【详解】（1）解：设该茶庄购进A规格的茶x斤，则购进B规格的茶斤， 由题意可得， 解得， ∴， 答：该茶庄购进A规格的茶60斤，B规格的茶40斤； （2）解：设该茶庄购进A规格的红茶x斤，则购进B规格的红茶斤， 依题意得，解得． 设本次购进的红茶全部销售完获得的利润为元， 则． ∵， ∴w随x的增大而减小， ∴当时，w取得最大值，最大值为， 此时． 答：当购进A规格茶75斤，购进B规格茶25斤时，本次购进的茶全部销售完获得的利润最大，最大利润是5500元． 23．（2025八年级下·全国·专题练习）已知：如图所示，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，与y轴交于点M． (1)求直线的表达式． (2)求的面积． (3)点是x轴上一个动点，过点P垂直于x轴的直线分别与直线和交于C、D两点，当点C位于点D上方时，直接写出n的取值范围． 【答案】(1) (2)3 (3) 【分析】本题考查两条直线平行、相交问题，解题的关键是灵活应用待定系数法，学会利用图象，根据条件确定自变量取值范围． （1）先求出点B坐标，再利用待定系数法即可解决问题． （2）把代入解析式，求出M坐标，利用三角形面积公式解答即可； （3）由图象可知直线在直线上方即可，由此即可写出n的范围． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴， ∴， ∴点， 设直线的表达式为， 将，代入得：， 解得， ∴直线的表达式为； （2）将代入，得：， ∴， ∴， ∴的面积； （3）当点C位于点D上方时，即是直线在直线上方，如图： 由图象可知． 24．（24-25八年级上·四川成都·期末）在长方形中，，，P，Q分别是边，上的点，将四边形沿翻折，A，B两点的对应点分别为F，E． (1)如图1，当点E落在上，求证：； (2)如图2，若，点E与点D重合，求线段的长； (3)如图3，若，点E恰好落在中点，求线段的长． 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】（1）由长方形的性质及折叠的性质证出，在根据等角对等边即可得出结论． （2）设，则，由（1）的结论以及翻转的性质可得出，，由勾股定理可得出答案． （3）方法1：连接，设，，，由折叠得，，， 由勾股定理解，，可得，由勾股定理解，可得，联立，通过加减消元解出，即可求解； 方法2：延长交的延长线于点M，证明，得出，，设，，由折叠知，，，由勾股定理得出，进而求出y，进而可求出． 【详解】（1）证明∶∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∵将四边形沿翻折， ∴， ∴， ∴． （2）解：设，则， ∴， ∴， 在中， ， 即， 解得： ∴． （3）解：方法1：如图，连接， 设，，， 则，， 由折叠得，，， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 由得：， 由得：， 得：， ∵， ∴， 即． 方法2：延长交的延长线于点M， ∵， ∴， ， ∵E为的中点， ∴， ∴ ∴，， 设，， 由折叠知， ∴， ∴， 由(1)知， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， 即， 解得：（负值舍去）， ∴． 【点睛】本题考查了长方形的性质，折叠的性质，等腰三角形性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．本题综合性强，熟练掌握长方形的性质、折叠的性质以及全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 25．（24-25八年级下·福建漳州·阶段练习）如图a，已知点，点C为x轴上一动点，连接，和都是等边三角形． (1)求证：； (2)如图b，当点D恰好落在上时． ①求的长及点E的坐标； ②如图c，点M是线段上的动点（点B，C除外），过点M作于点G，于点H，当点M运动时，的值是否发生变化？简要说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①；②不变，理由见解析 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，，，求得，根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）①由点，得到，根据全等三角形的性质得到，根据等边三角形的性质得到，求得，过E作轴于F，求出结果即可； ②不会变化，连接，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形 ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴； （2）①∵点， ∴，由（1）知， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：，（舍去）， ∴， ∴， 过E作轴于F，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴； ②不会变化，如图，连接， ∵ ∵， ∴， 由①知：，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴的值不会发生变化，且的值为6． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，三角形面积的计算，勾股定理，含角直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$