精品解析：山西省大同市第一中学校2024-2025学年下学期八年级3月月考数学试卷

山西省2024-2025学年第二学期八年级学业水平质量监测数学 （监测内容：第十六至十七章） 注意事项： 1．试卷分第I卷和第II卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 第I卷 选择题 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 已知直角三角形两直角边的长分别为6，8，则斜边的长是（　　） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 3. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 4. 勾股数，又名毕达哥拉斯三元数，是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数．下列各组数中是勾股数的是（　　） A. 0.6，0.8，1 B. 1，3，10 C. 5，10，12 D. 3，4，5 5. 下列二次根式中，不能与合并的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，准备采用如下方法：先测量门的边和的长，再测量点A和点C间的距离，由此可推断是否为直角，这样做的依据是（ ） A. 勾股定理 B. 勾股定理的逆定理 C. 三角形内角和定理 D. 直角三角形的两锐角互余 7. 做浮力实验时，小华用一根细线将一个铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形溢水杯中，并用量筒量得从溢水杯中溢出的水的体积为，小华将铁块从溢水杯中拿出来后．量得溢水杯的水位下降了，则溢水杯内部的底面半径为（取3）（　　） A. B. C. D. 8. 下列各图是以直角三角形各边为边，在三角形外部画正方形得到的，每个正方形中的数及字母表示所在正方形的面积．其中的值恰好等于10的是（ ） A. B. C. D. 9. 在算式“”中，“”表示“”“”“”””中的某一个运算符号．当算式的结果最大时，“口”表示的运算符号是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，测得．若梯子的顶端沿墙下滑，这时梯子的底端也恰好外移，则梯子的长度为（ ）． A. 2.5 B. 3 C. 1.5 D. 3.5 第II卷 非选择题 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 化简______； 12. 命题“如果，那么”的逆命题是_______． 13. 围棋在我国古代称为“弈”、春秋战国时期、围棋已在社会上广泛流传了．图中截取了围棋棋盘的一部分，若每个小正方形的边长均为1，则两枚棋子之间的距离为_______． 14. 图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中，于点，尺，尺．则的长度为__________尺． 15. 将一组数据，按下面的方法进行排列： ； ； ．．．．．． 若3的位置记为的位置记为，则这组数中最大的数的位置记为_______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 三地的两两距离如图所示，地在地的正北方向，则地在地的什么方向？ 18. 已知，求下列各式的值． （1）； （2）． 19. 怀仁民俗博物馆是一座集历史、人文、民俗、民风、书画艺术为一体的综合性博物馆．馆内收藏文物20000多件，其中近一万件为红色文物．该博物馆将一块四边形场地布置成展区，反映怀仁传统民俗、民间技艺，现测得，且．求四边形展区的面积． 20. 怀仁市为做好城市园林绿化工作，进一步改善城市生态环境，美化城市居住环境，提升人民群众获得感、幸福感、对市内绿地进行改建．如图，该市某公园有一块长方形绿地的长为的长为，绿地内有一块长方形花坛（图中阴影部分），长为，宽为． （1）求长方形的周长； （2）除花坛外的绿地（图中空白部分）另作他用，需要40元的定期维护费，求定期维护的总费用． 21. 项目化学习 项目主题：测量学校旗杆的高度 项目背景：国旗是国家的象征和标志，每周一次的校园升旗仪式让我们感受到祖国的伟大．同学们想知道学校旗杆的高度，但无法直接测量，学习了勾股定理后，“创新”小组在老师的指导下，利用所学知识展开了项目学习． 项目步骤： 测量工具 皮尺、旗杆顶端的绳子 模型抽象 测量方案及相关数据 如图，线段表示旗杆高度，将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并多出了一段，小乐同学用皮尺测出的长为米；如图，小新同学将绳子末端放置于头顶，向正东方向水平移动，直到绳子拉直为止，此时该同学直立于地面点处，小雷同学用皮尺测出的长为米；小新的身高为米． 问题解决： 根据“创新”小组的测量方案及数据，要求出学校旗杆的高度，“智慧”小组想到了过点作于点，则米． 请根据“智慧”小组的思路完成下列问题： （1）直接写出线段与之间的数量关系：_____； （2）求出学校旗杆的高度． 22. 小静、小智、小慧是同一学习小组里的成员，小静在计算时出现了一步如下错误： 在小组合作环节中，小智与小慧分别从不同的角度帮助小静对这一错误进行分析：小智的思路：将两个式子分别平方后再进行比较； 小慧的思路：以为三边构造一个三角形、再由三角形的三边关系判断的大小关系． 根据小智与小慧的思路，请解答下列问题： （1）填空： ___________，=___________ ． （2）如图，每个小方格都是边长为1的正方形． ①请在图中画出小慧构造的三角形，并判断该三角形的形状（要求写出推理过程）； ②根据图形直接写出与的大小关系． 23. 综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．勾股定理是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，它不但因验证方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷． 【验证方法】如图①是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理． 思路：大正方形的面积有两种求法，一种是等于．另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式．化简便得结论． 这种用两种求法表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． （1）【方法应用】千百年来，人们对勾股定理的验证趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．美国第20任总统詹姆斯·伽菲尔德利用图②验证了勾股定理：把两个全等的直角三角形如图②所示放置，请根据图形面积之间的关系，验证勾股定理． （2）【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图③，在中，是边上的高，，设，求的值． （3）【数学思想】在解决以上问题的过程中，让我们感悟的数学思想有___________．（填序号） ①方程思想②数形结合思想③分类讨论思想 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西省2024-2025学年第二学期八年级学业水平质量监测数学 （监测内容：第十六至十七章） 注意事项： 1．试卷分第I卷和第II卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 第I卷 选择题 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，对于二次根式，需满足，据此即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：B 2. 已知直角三角形两直角边的长分别为6，8，则斜边的长是（　　） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、算术平方根，熟练掌握勾股定理是解题关键．根据勾股定理和算术平方根求解即可得． 【详解】解：∵直角三角形两直角边的长分别为6，8， ∴它的斜边的长是， 故选：B． 3. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用最简二次根式定义判断即可．最简二次根式的定义：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意． 故选：A． 【点睛】此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式定义是解本题的关键． 4. 勾股数，又名毕达哥拉斯三元数，是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数．下列各组数中是勾股数的是（　　） A. 0.6，0.8，1 B. 1，3，10 C. 5，10，12 D. 3，4，5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股数，掌握勾股数的定义是解题关键．根据勾股数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、0.6和0.8不是正整数，不满足定义，选项错误； B、，不满足定义，选项错误； C、，不满足定义，选项错误； D、，满足定义，选项正确； 故选：D． 5. 下列二次根式中，不能与合并的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查同类二次根式，熟练掌握同类二次根式是解题的关键；因此此题可根据“含有相同的被开方数的最简二次根式是为同类二次根式”进行求解即可． 【详解】解：A、，能与合并，故不符合题意； B、，不能与合并，故符合题意； C、，能与合并，故不符合题意； D、，能与合并，故不符合题意； 故选B． 6. 如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，准备采用如下方法：先测量门的边和的长，再测量点A和点C间的距离，由此可推断是否为直角，这样做的依据是（ ） A. 勾股定理 B. 勾股定理的逆定理 C. 三角形内角和定理 D. 直角三角形的两锐角互余 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理，如果，则可判断是直角三角形，由此可推断是否为直角． 【详解】解：先测量门的边和的长，再测量点A和点C间的距离，用勾股定理的逆定理判断：若满足，则可判断是直角三角形，即为直角；若，则不是直角． 故选B． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 7. 做浮力实验时，小华用一根细线将一个铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形溢水杯中，并用量筒量得从溢水杯中溢出的水的体积为，小华将铁块从溢水杯中拿出来后．量得溢水杯的水位下降了，则溢水杯内部的底面半径为（取3）（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平方根的应用，理解题意是解本题的关键． 由圆柱的体积公式求出底面半径即可． 【详解】解：设溢水杯内部的底面半径为， 根据题意得：，即， 即解得：或（舍去）， ∴溢水杯内部的底面半径约为． 故选：C． 8. 下列各图是以直角三角形各边为边，在三角形外部画正方形得到的，每个正方形中的数及字母表示所在正方形的面积．其中的值恰好等于10的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，根据勾股定理可知，以两直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：根据勾股定理可知，以两直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积， A、，故不符合题意； B、，故不符合题意； C、，故不符合题意； D、，故符合题意； 故选：D． 9. 在算式“”中，“”表示“”“”“”””中的某一个运算符号．当算式的结果最大时，“口”表示的运算符号是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的加减运算，混合运算，二次根式的大小比较，先把选项中的运算符号代入进行计算，再比较大小即可． 【详解】解：， ， ， ， ∵，， ∴当算式的结果最大时，“口”表示的运算符号是； 故选：D 10. 如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，测得．若梯子的顶端沿墙下滑，这时梯子的底端也恰好外移，则梯子的长度为（ ）． A. 2.5 B. 3 C. 1.5 D. 3.5 【答案】A 【解析】 【分析】设，利用勾股定理用x表示出和的长，进而求出x的值，即可求出的长度． 【详解】解：设，依题意，得，，． 在中，根据勾股定理得 ， 在中，根据勾股定理 ， ， 解得， ， 答：梯子的长为． 故选． 【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中找到为梯子长等量关系是解题的关键． 第II卷 非选择题 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 化简______； 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 命题“如果，那么”的逆命题是_______． 【答案】如果，那么 【解析】 【分析】本题主要考查逆命题，熟练掌握逆命题是解题的关键；根据题意可直接进行求解． 【详解】解：命题“如果，那么”的逆命题是如果，那么； 故答案为如果，那么． 13. 围棋在我国古代称为“弈”、春秋战国时期、围棋已在社会上广泛流传了．图中截取了围棋棋盘的一部分，若每个小正方形的边长均为1，则两枚棋子之间的距离为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，利用网格特点找直角三角形即可求解． 【详解】解：如图，， 由勾股定理可得：， 故答案为：． 14. 图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中，于点，尺，尺．则的长度为__________尺． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意，运用勾股定理建立方程是解题的关键． 设的长度为x尺，则，在中，由勾股定理即可建立方程． 【详解】解：设的长度为x尺，则， ∵， 由勾股定理得：， ∴， 解得 即的长度为尺． 故答案为：． 15. 将一组数据，按下面的方法进行排列： ； ； ．．．．．． 若3的位置记为的位置记为，则这组数中最大的数的位置记为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了与实数相关的规律题，根据题意找到数据的规律是解体的关键． 根据题意可得每行五个数，且根号里面的数都是3的倍数，从而可以得到所在的位置． 【详解】， 解：由题意可得，每五个数一行，， ，， 故所在的位置是第七行第二个数，位置记为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、二次根式的乘除混合运算等知识点，灵活运用相关知识点成为解题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，然后再合并同类二次根式计算即可； （2）先根据二次根式的性质化简，然后再合并同类二次根式计算即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 17. 三地的两两距离如图所示，地在地的正北方向，则地在地的什么方向？ 【答案】地在地的正东方向 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、方向角，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，且，再根据方向角的定义即可得． 【详解】解：由图可知，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵地在地的正北方向， ∴地在地的正东方向． 18. 已知，求下列各式的值． （1）； （2）． 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的求值、乘法公式，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键． （1）将的值代入，利用平方差公式计算即可得； （2）将的值代入，先计算完全平方公式和平方差公式，再计算加减法即可得． 【小问1详解】 解：∵， ∴ ． 【小问2详解】 解：∵， ∴ ． 19. 怀仁民俗博物馆是一座集历史、人文、民俗、民风、书画艺术为一体的综合性博物馆．馆内收藏文物20000多件，其中近一万件为红色文物．该博物馆将一块四边形场地布置成展区，反映怀仁传统民俗、民间技艺，现测得，且．求四边形展区的面积． 【答案】四边形展区的面积为． 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握定理内容是解题的关键． 【详解】解：连接， 因为，所以是直角三角形． 所以 因为，所以是直角三角形，． 所以． 答：四边形展区的面积为 20. 怀仁市为做好城市园林绿化工作，进一步改善城市生态环境，美化城市居住环境，提升人民群众获得感、幸福感、对市内绿地进行改建．如图，该市某公园有一块长方形绿地的长为的长为，绿地内有一块长方形花坛（图中阴影部分），长为，宽为． （1）求长方形的周长； （2）除花坛外的绿地（图中空白部分）另作他用，需要40元的定期维护费，求定期维护的总费用． 【答案】（1） （2）2000元 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的应用，正确列出运算式子是解题关键． （1）利用长方形的周长公式列出运算式子，再计算二次根式的加法与乘法即可得； （2）利用大长方形的面积减去小长方形的面积可得绿地面积，然后乘以40即可得． 【小问1详解】 解：长方形的周长为 ， 答：长方形的周长为． 【小问2详解】 解： ， （元）， 答：定期维护的总费用为2000元． 21. 项目化学习 项目主题：测量学校旗杆的高度 项目背景：国旗是国家的象征和标志，每周一次的校园升旗仪式让我们感受到祖国的伟大．同学们想知道学校旗杆的高度，但无法直接测量，学习了勾股定理后，“创新”小组在老师的指导下，利用所学知识展开了项目学习． 项目步骤： 测量工具 皮尺、旗杆顶端的绳子 模型抽象 测量方案及相关数据 如图，线段表示旗杆高度，将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并多出了一段，小乐同学用皮尺测出的长为米；如图，小新同学将绳子末端放置于头顶，向正东方向水平移动，直到绳子拉直为止，此时该同学直立于地面点处，小雷同学用皮尺测出的长为米；小新的身高为米． 问题解决： 根据“创新”小组的测量方案及数据，要求出学校旗杆的高度，“智慧”小组想到了过点作于点，则米． 请根据“智慧”小组的思路完成下列问题： （1）直接写出线段与之间的数量关系：_____； （2）求出学校旗杆的高度． 【答案】（1） （2）学校旗杆的高度为米 【解析】 【分析】本题考查勾股定理解应用题，涉及矩形的判定与性质、勾股定理及解方程等知识，读懂题意，构造直角三角形由勾股定理求解是解决问题的关键． （1）根据题意，旗杆的绳子长度始终保持不变，由图与图中的描述即可得到答案； （2）由题意，得到相关线段长度及关系，过点作于点，如图所示，设米，则米，米，在中，由勾股定理可得，列方程求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：由图可知，旗杆的绳子长为， 由图可知，旗杆的绳子长为， 绳子垂到地面多出部分米， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意得米，米，，， ， 过点作于点，如图所示： ， ， 四边形为矩形， 米，米， 设米，则米，米， 在中，由勾股定理可得， 则， 解得， 答：学校旗杆的高度为米． 22. 小静、小智、小慧是同一学习小组里的成员，小静在计算时出现了一步如下错误： 在小组合作环节中，小智与小慧分别从不同的角度帮助小静对这一错误进行分析：小智的思路：将两个式子分别平方后再进行比较； 小慧的思路：以为三边构造一个三角形、再由三角形的三边关系判断的大小关系． 根据小智与小慧的思路，请解答下列问题： （1）填空： ___________，=___________ ． （2）如图，每个小方格都是边长为1的正方形． ①请在图中画出小慧构造的三角形，并判断该三角形的形状（要求写出推理过程）； ②根据图形直接写出与的大小关系． 【答案】（1）18，10 （2） ①构造的，如图所示， 为直角三角形，理由如下： ∵， ∴为直角三角形 ② 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的应用和勾股定理，掌握二次根式的运算法则和三角形的三边关系是解题的关键． （1）根据二次根式的混合运算法则进行运算； （2）①根据勾股定理的逆定理进行判断；②根据三角形的三边关系求解． 【小问1详解】 解：， ， 故答案为：18，10． 【小问2详解】 解：①∵，， ②∵（三角形两边之和大于第三边）， ∴． 23. 综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．勾股定理是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，它不但因验证方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷． 【验证方法】如图①是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理． 思路：大正方形的面积有两种求法，一种是等于．另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式．化简便得结论． 这种用两种求法表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． （1）【方法应用】千百年来，人们对勾股定理的验证趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．美国第20任总统詹姆斯·伽菲尔德利用图②验证了勾股定理：把两个全等的直角三角形如图②所示放置，请根据图形面积之间的关系，验证勾股定理． （2）【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图③，在中，是边上的高，，设，求的值． （3）【数学思想】在解决以上问题的过程中，让我们感悟的数学思想有___________．（填序号） ①方程思想②数形结合思想③分类讨论思想 【答案】（1） 证明：观察图形可知或． 所以． 整理，得，即； （2）； （3）①②． 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是： （1）根据梯形面积公式求得，根据割补法求出，联立等式并化简即可； （2）根据勾股定理可得，，据此即可求得答案． （3）结合解题过程即可求得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：因为，所以． 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， 所以， 解得； 【小问3详解】 解：在解决以上问题的过程中，让我们感悟的数学思想有①方程思想，②数形结合思想， 故答案为：①②. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $