专题3 飞镖、翻折模型与数学思想 2024-2025学年北师大版七年级数学下册

三角形 专题3 飞镖、翻折模型与数学思想 一、三大模型 模型一：“8”字型 如图，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．求证：∠A+∠C=∠B+∠D； 证明：在图中，有∠A+∠C=180°-∠AOC， ∠B+∠D=180°-∠BOD， ∵∠AOC=∠BOD， ∴∠A+∠C=∠B+∠D； 模型二：飞镖模型 如图，已知四边形ABCD．求证：∠BCD=∠A+∠B+∠D． 证明：如图过A，C作射线AE， ∵∠BCE是△ABC一外角， ∴∠BCE=∠BAC+∠B， 同理∠DCE=∠DAC+∠D， ∴∠BCD=∠BAD+∠B+∠D． 模型三：翻折模型 如图（1），△ABC是一个三角形的纸片，点D、E分别是△ABC边上的两点； 研究（1）：若沿直线DE折叠，则∠BDA′与∠A的关系是∠BDA′=2∠A； 研究（2）：若折成图2的形状，猜想∠BDA′，∠CEA′和∠A关系，并说明理由； 研究（3）：若折成图3的形状，猜想∠BDA′，∠CEA′和∠A的关系，并说明理由． 解：（1）∠BDA′=2∠A ； （2）∠BDA′+∠CEA′=2∠A， 理由：在四边形ADA′E中，∠A+∠DA′E+∠ADA′+∠A′EA=360° ∴∠A+∠DA′E=360°-∠ADA′-∠A′EA∵∠BDA′+∠ADA′=180°，∠CEA′+∠A′EA=180° ∴∠BDA′+∠CEA′=360°-∠ADA′-∠A′EA ∴∠BDA′+∠CEA′=∠A+∠DA′E ∵△A′DE是由△ADE沿直线DE折叠而得 ∴∠A=∠DA′E∴∠BDA′+∠CEA′=2∠A （3）∠BDA′-∠CEA′=2∠A 理由：DA′交AC于点F， ∵∠BDA′=∠A+∠DFA，∠DFA=∠A′+∠CEA′ ∴∠BDA′=∠A+∠A′+∠CEA′ ∴∠BDA′-∠CEA′=∠A+∠A′ ∵△A′DE是由△ADE沿直线DE折叠而得 ∴∠A=∠DA′E ∴∠BDA′-∠CEA′=2∠A 二、三大数学思想 1、方程思想 几何中常有一些求线段的长度或求角的大小的问题，对于这一类问题，我们可以借助题中的已知量与未知量之间的关系，想办法建立方程进行求解。 例1 如图1，已知FC//AB//DE，∠α：∠D：∠B=2：3：4，求∠α、∠D、∠B的大小。 图1 2、转化思想 在几何推理中，已知条件和要求的结论之间常常需要转化．转化条件、转化问题是常用的推理形式，必要时还要添加辅助线进行转化． 例2、如图2，BD⊥AC于D，FG⊥AC于G，ED//BC．试判断∠1与∠2的关系，并说明理由． 图2 例3 如图3，一条公路GA修到湖边时，要拐弯绕湖而过．第一次拐弯形成的角是∠A，且∠A＝120°；第二次拐弯形成的角是∠ABC，且∠ABC=150°；第三次拐弯形成的角是∠C，这时的道路CD恰好和第一次拐弯之前的道路GA平行．你知道∠C是多少度吗？ 图3 3、分类讨论思想 在几何题中，有些题目未给出图形，这时我们就要结合题意画出图形，再解决问题。这一过程常具有多样性，我们需要分类讨论。 例4 在∠ABC和∠DEF中，DE//AB，EF//BC，请你尝试探索∠ABC和∠DEF的关系。 例题5．探究与发现： 如图1所示的图形，像我们常见的学习用品﹣﹣圆规．我们不妨把这种图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？请解决以下问题： （1）观察“规形图”，试探究∠BPC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由； （2）请你直接利用以上结论，解决以下问题： ①如图2：已知△ABC，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，直接写出∠BPC与∠A之间存在的等量关系为：　　． 迁移运用：如图3：在△ABC中，∠A＝80°，点O是∠ABC，∠ACB角平分线的交点，点P是∠BOC，∠OCB角平分线的交点，若∠OPC＝100°，则∠ACB的度数　　． ②如图4：若D点是△ABC内任意一点，BP平分∠ABD，CP平分∠ACD．直接写出∠BDC、∠BPC、∠A之间存在的等量关系为　　． 例题6．如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”． （1）求证：∠A+∠C＝∠B+∠D； （2）如图2，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，且与CD、AB分别相交于点M、N． ①以线段AC为边的“8字型”有　　个，以点O为交点的“8字型”有　　个； ②若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度数； ③若角平分线中角的关系改为“∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB”，试探究∠P与∠B、∠C之间存在的数量关系，并证明理由． 例题7．如图，△ABC是一个三角形的纸片，点D、E分别是△ABC边上的两点， （1）探究图1：如果沿直线DE折叠，则∠BDA′与∠A的关系是　 ； （2）探究图2：如果折成图2的形状，猜想∠BDA′、∠CEA′和∠A的关系，并说明理由； （3）探究图3：如果折成图3的形状，猜想∠BDA′、∠CEA′和∠A的关系，并说明理由； （4）探究图4：若将四边形纸片ABCD折成图4的形状，直接写出∠DE A′、∠CF B′、∠A和∠B四个角之间的数量关系　 　． 【巩固练习】 1．（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明∠A+∠B＝∠C+∠D； （2）阅读下面的内容，并解决后面的问题： 如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD， 若∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，求∠P的度数； 解：∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD∴∠1＝∠2，∠3＝∠4由（1）的结论得：①+②，得2∠P+∠2+∠3＝∠1+∠4+∠B+∠D∴∠P＝（∠B+∠D）＝26°． ①如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，求∠P的度数； ②在图4中，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结论，无需说明理由． ③在图5中，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结论，无需说明理由． 2．如图：线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把这个图形称为“8字型”．根据三角形内角和容易得到：∠A+∠D＝∠C+∠B． （1）用“8字型” 如图（1）：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝　　． （2）造“8字型” 如图（2）：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝　　． （3）发现“8字型” 如图（3）：BE、CD相交于点A，CF为∠BCD的平分线，EF为∠BED的平分线． ①图中共有　　个“8字型”； ②若∠B：∠D：∠F＝4：6：x，求x的值． 3．（1）图（1）中AB和AC 相交于点A，BD和CD相交于点D，探究∠BDC与∠B、∠C、∠BAC的关系 小明是这样做的： 解：以点A为端点作射线AD ∵∠1是△ABD的外角 ∴∠1＝∠B+∠BAD 同理∠2＝∠C+∠CAD ∴∠1+∠2＝∠B+∠BAD+∠C+∠CAD 即∠BDC＝∠B+∠C+∠BAC 小英的思路是：延长BD交AC于点E． 1小英的思路完成∠BDC＝∠B+∠C+∠BAC这一结论． （2）按照上面的思路解决如下问题：如图（2）：在△ABC中，BE、CD分别是∠ABC∠ACB的角平分线，交AC于E，交AB于D．BE、CD相交于点O，∠A＝60°．求∠BOC的度数． （3）如图（3）：△ABC中，BO、CO分别是∠ABC与∠ACB的角平分线，且BO、CO相交于点O．猜想∠BOC与∠A有怎样的关系，并加以证明． 4．如图①，将一张长方形纸片沿对折，使落在的位置； （1）若的度数为，试求的度数（用含的代数式表示）； （2）如图②，再将纸片沿对折，使得落在的位置． ①若，的度数为，试求的度数（用含的代数式表示）； ②若，的度数比的度数大，试计算的度数． 5．（1）学习了平行线以后，香橙同学想出了过一点画一条直线的平行线的新方法，她是通过折纸做的，过程如（图1）． ①请你仿照以上过程，在图2中画出一条直线b，使直线b经过点P，且，要求保留折纸痕迹，画出所用到的直线，指明结果．无需写画法： ②在（1）中的步骤（b）中，折纸实际上是在寻找过点P的直线a的 线． （2）已知，如图3，，BE平分，CF平分．求证：（写出每步的依据）． 6．如图1，直线AB//CD，现想在直线AB、CD之间作一条直线l平行于直线AB、CD，并且使直线l上的点到直线AB、CD之间的距离相等．小明做了如下操作：分别作∠BEF、∠DFE的平分线交于点G，过点G作直线AB、CD的平行线，过点G分别作直线AB、CD、EF的垂线，垂足分别为M、N、H，此时直线l上的点到直线AB、CD的距离相等． （1）试说明：； （2）若，EG=4，直线交于点．试问的度数为 ，是 三角形；周长为 ； （3）若点是射线上的一个动点（不包括端点）．如图2，连接，将△EPF折叠，顶点落在点处，若∠PEF=58°，点刚好落在其中的一条平行线上，试求的度数． 7．如图，长方形ABCD中，AD∥BC，E为边BC上一点，将长方形沿AE折叠（AE为折痕），使点B与点F重合，EG平分∠CEF交CD于点G，过点G作HG⊥EG交AD于点H． （1）请判断HG与AE的位置关系，并说明理由． （2）若∠CEG＝20°，请利用平行线相关知识求∠DHG的度数． 8．学习了平行线以后，小明想出了用纸折平行线的方法，他将一张如图1所示的纸片，其中，先按如图2所示的方法折叠，折痕为； （与相交于点）然后按如图3的方法折叠，折痕为（与落在一条直线上）． （1）在图2的折叠过程中，若，求的度数 （2）如图3，小明认为在折叠过程中，产生的折痕与平行，请把小明的思考步骤补充完整． 由折叠可知， ； ； ∵ ∴；（     ①     ） ∴ ② ＝ ③ （等量代换） ∴．（内错角相等，两直线平行） 9．综合与实践： 七年级下册第五章我们学习了平行线的性质与判定，今天我们继续探究：折纸中的数学-长方形纸条的折叠与平行线． （1）知识初探 如图1，长条中，，， 将长形纸条沿直线折叠，点A落在处，点D落在处，交于点G． ①若，求的度数． ②若，则________（用含的式子表示）． （2）类比再探 如图2，在图1的基础上将对折，点C落在直线上的处．点B落在处，得到折痕，则折痕与有怎样的位置关系？并说明理由． （3）提升自我 在图2的基础上，将沿着对折，使恰好与重合，求的度数． 10．如图，直线AB∥CD，直线l与直线AB、CD相交于点E、F，点P是射线EA上的一个动点（不包括端点E），将△EPF沿PF折叠，使顶点E落在点Q处． （1）若∠PEF＝48°，点Q恰好落在其中的一条平行线上，求则∠EFP的度数； （2）若∠PEF＝75°，2∠CFQ＝∠PFC，求∠EFP的度数． 11．综合与实践： 七年级下册第五章我们学习了平行线的性质与判定，今天我们继续探究：折纸中的数学—长方形纸条的折叠与平行线． （1）知识初探 如图1，长方形纸条ABCD中，，，，将长方形纸条沿直线EF折叠，点A落在处，点D落在处，交CD于点G． ①若，求的度数； ②若，则 （用含的式子表示） （2）类比再探 如图2，在图1的基础上将对折，点C落在直线上的处，点落在处，得到折痕，则折痕EF与GH有怎样的位置关系？并说明理由． 12．综合与实践 在研究完平行线的知识内容后，“雄鹰”数学兴趣小组在课外展开了折叠纸片并研究其中问题的活动． 动手操作： 如图1．在一张长方形纸片上有一点P．将纸片依次按以下步骤进行操作： 第一步：将纸片随意折叠并展开铺平，得到折痕，如图2； 第二步：将纸片按如图3的方式折叠，然后展开铺平得到图4．折痕与折痕交于点E： 第三步：将纸片按如图5的方式折叠，然后展开铺平得到图6，折痕为． 观察思考： “雄鹰”数学兴趣小组一名成员通过观察发现与垂直，为了验证自己的想法，他测量了图中的，发现，于是他就断定．你能解释其中的道理吗？请说明理由． 问题解决： “雄鹰”数学兴趣小组的另外一名成员受此启发，通过观察，提出了一个猜想：．你认为这个猜想正确吗？请为你的判断说明理由． 13．综合与实践 在研究完平行线的知识内容后，“雄鹰”数学兴趣小组在课外展开了折叠纸片并研究其中问题的活动． 动手操作： 如图1，在一张长方形纸片上有一点．将纸片依次按以下步骤进行操作： 第一步：将纸片随意折叠并展开铺平，得到折横，如图2； 第二步：将纸片按如图3的方式折叠，然后展开铺平得到图4，折痕与折痕交于点； 第三步：将纸片按如图5的方式折叠，然后展开铺平得到图6，折痕为． 观察思考： （1）“雄鹰”数学兴趣小组一名成员通过观察发现与垂直，为了验证自己的想法，他测量了图中的，发现，于是他就断定，你能解释其中的道理吗？请说明理由． 问题解决： （2）“雄鹰”数学兴趣小组的另外一名成员受此启发，通过观察，提出了一个猜想：．你认为这个猜想正确吗？请为你的判断说明理由． 14．综合与实践——折纸中的数学. 我们在七年级上册第四章《几何图形初步》中探究了简单图形折叠问题，并进行了简单的计算与推理.七年级下册第五章学习了平行线的性质与判定后，我们进行了长方形纸条的折叠与平行线的探究，今天我们继续探究——折纸与平行线. 如图1，长方形纸条中，.第一步，将长方形纸条折叠，使折痕经过点，得到折痕，再将纸片展平；第二步，如图2，将折痕折到处，点落在处；第三步，如图3，将对折，使点落在处，点落在处，与共线，得到折痕. (1)和有怎样的位置关系，并说明理由. (2)折痕和有怎样的位置关系，并说明理由. 15．综合与实践：折纸中的数学 知识背景 我们在七年级上册第四章《几何图形初步》中探究了简单图形折叠问题，并进行了简单的计算与推理.七年级下册第五章我们学习了平行线的性质与判定，今天我们继续探究：折纸中的数学——长方形纸条的折叠与平行线. 知识初探 如图1，长方形纸条中，，，.将长方形纸条沿直线折叠，点落在处，点落在处，交于点.若，求的度数. 类比再探 如图2，在图1的基础上将对折，点落在直线上的处.点落在处，得到折痕，则折痕与有怎样的位置关系？说明理由. 拓展延伸 如图3，在图2的基础上，过点作的平行线，请你猜想和的数量关系，并说明理由. 专题3 飞镖、翻折模型与数学思想 参考答案 1、方程思想 几何中常有一些求线段的长度或求角的大小的问题，对于这一类问题，我们可以借助题中的已知量与未知量之间的关系，想办法建立方程进行求解。 例1 如图1，已知FC//AB//DE，∠α：∠D：∠B=2：3：4，求∠α、∠D、∠B的大小。 图1 分析：由已知∠α：∠D：∠B=2：3：4，可以分别设∠α、∠D、∠B为2x°、3x°、4x°，再利用已知条件列出方程进行求解。 解：设∠α=2x°，∠D=3x°，∠B=4x° 因为FC//AB//DE，所以∠2+∠B=180°，∠1+∠D=180°。从而有∠2=180°－∠B=180°－4x°，∠1=180°－∠D=180°－3x°。 又因为∠1+∠2+∠α=180°，所以有 （180－3x）+（180－4x）+2x=180 解得x=36 所以∠α=2x°=72°，∠D＝3x°＝108°，∠B=4x°＝144° 评注：解决这类问题，不仅要熟悉图形的性质，还要善于进行等量代换，把未知量和已知量逐步联系起来．当解决问题的过程比较复杂时，思路要清晰，语言表达要严密． 2、转化思想 在几何推理中，已知条件和要求的结论之间常常需要转化．转化条件、转化问题是常用的推理形式，必要时还要添加辅助线进行转化． 例2、如图2，BD⊥AC于D，FG⊥AC于G，ED//BC．试判断∠1与∠2的关系，并说明理由． 图2 分析：观察图形，我们不能迅速找到∠1和∠2的关系，但由BD⊥AC于D，FG⊥AC于G，可得BD//FG，则∠2＝∠3。由ED//BC，可得∠1＝∠3．∠1和∠2都与∠3有关，我们可以借助∠3进行转化． 解：因为BD⊥AC，FG⊥AC，所以∠BDC=∠FGC＝90°．故BD//FG，从而可知∠2＝∠3． 因为ED//BC，所以∠1＝∠3． 故∠1＝∠2． 评注：这道题涉及“相交线与平行线”这一章中的重要知识点，大家要能灵活运用平行线的性质、判定定理．要看准“三线八角”，分清平行线的判定与性质，并能通过图形将条件灵活转化． 例3 如图3，一条公路GA修到湖边时，要拐弯绕湖而过．第一次拐弯形成的角是∠A，且∠A＝120°；第二次拐弯形成的角是∠ABC，且∠ABC=150°；第三次拐弯形成的角是∠C，这时的道路CD恰好和第一次拐弯之前的道路GA平行．你知道∠C是多少度吗？ 图3 分析：解答此题需要借助辅助线把这三个角联系起来．既然题目中有平行关系，那么我们就要想办法把平行线和角联系起来． 解：如图3，过点B作EF//GA，则∠1＝∠A＝120°． 因为∠ABC=150°，所以∠2＝∠ABC－∠1=150°－120°＝30°． 因为GA//CD，EF//GA，所以EF//CD． 故∠2＋∠C＝180°． 从而可得∠C=180°－∠2=180°－30°=150° 评注：在解题的过程中，有时仅利用现有条件不容易得出结果，这时我们就要巧妙添加辅助线，将问题与条件进行转化。 3、分类讨论思想 在几何题中，有些题目未给出图形，这时我们就要结合题意画出图形，再解决问题。这一过程常具有多样性，我们需要分类讨论。 例4 在∠ABC和∠DEF中，DE//AB，EF//BC，请你尝试探索∠ABC和∠DEF的关系。 分析：这道题的图形有很多种不同的画法，但题中的两个角的关系只有两种，如图4（1）和图4（2）。 解：如图4，有两种不同的情况。 在图4（1）中，因为DE//AB、EF//BC，所以∠ABC=∠1，∠1=∠DEF。故∠ABC=∠DEF。 在图4（2）中，因为DE//AB，所以∠ABC+∠1=180°。又因为EF//BC，所以∠1=∠DEF。故∠ABC+∠DEF=180°。 评注：题中没有给出图形，我们画图时要考虑可能存在的所有情况，以免漏解。 例题5．探究与发现： 如图1所示的图形，像我们常见的学习用品﹣﹣圆规．我们不妨把这种图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？请解决以下问题： （1）观察“规形图”，试探究∠BPC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由； （2）请你直接利用以上结论，解决以下问题： ①如图2：已知△ABC，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，直接写出∠BPC与∠A之间存在的等量关系为：　∠BPC＝90°+∠A　． 迁移运用：如图3：在△ABC中，∠A＝80°，点O是∠ABC，∠ACB角平分线的交点，点P是∠BOC，∠OCB角平分线的交点，若∠OPC＝100°，则∠ACB的度数　60°　． ②如图4：若D点是△ABC内任意一点，BP平分∠ABD，CP平分∠ACD．直接写出∠BDC、∠BPC、∠A之间存在的等量关系为　2∠BPC＝∠BDC+∠A　． 【分析】（1）首先连接AP并延长至点F，然后根据外角的性质，即可判断出∠BPC＝∠A+∠B+∠C； （2）①利用角平分线的定义，三角形的内角和定理证明即可； 迁移运用：设∠BCP＝∠PCO＝x，∠BOP＝∠COP＝y，由∠P＝100°，推出x+y＝80°，推出2x+2y＝160°，推出∠OBC＝180°﹣160°＝20°，可得∠ABC＝40°，由此即可解决问题； ②根据角平分线的定义和四边形的内角和即可得到结论． 【解答】解：（1）如图，连接AP并延长至点F， 根据外角的性质，可得 ∠BPF＝∠BAP+∠B，∠CPF＝∠C+∠CAP， 又∵∠BPC＝∠BPF+∠CPF，∠BAC＝∠BAP+∠CAP， ∴∠BPC＝∠A+∠B+∠C； （2）①结论：∠BPC＝90°+∠A． 理由：∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB， ∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB， ∴∠BPC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A； 迁移运用：设∠BCP＝∠PCO＝x，∠BOP＝∠COP＝y， ∵∠P＝100°， ∴x+y＝80°， ∴2x+2y＝160°， ∴∠OBC＝180°﹣160°＝20°， ∵BO平分∠ABC， ∴∠ABC＝40°， ∵∠A＝80°， ∴∠ACB＝180°﹣40°﹣80°＝60°； 故答案为：∠BPC＝90°+∠A，60°； ②∵BP平分∠ABD，CP平分∠ACD， ∴∠PBD＝∠ABP，∠PCD＝∠ACP， 四边形BPDC中，∠P+∠ABD+∠ACD+360°﹣∠D＝360°， ∴∠ABD+∠ACD＝∠D﹣∠P， 在四边形ABPC中，∠A+∠ABD+∠ACD+360°﹣∠P＝360°， ∴∠A+∠D﹣∠P﹣∠P＝0， ∴2∠BPC＝∠BDC+∠A． 故答案为：2∠BPC＝∠BDC+∠A． 【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记性质并读懂题目信息是解题的关键． 例题6．如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”． （1）求证：∠A+∠C＝∠B+∠D； （2）如图2，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，且与CD、AB分别相交于点M、N． ①以线段AC为边的“8字型”有　3　个，以点O为交点的“8字型”有　4　个； ②若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度数； ③若角平分线中角的关系改为“∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB”，试探究∠P与∠B、∠C之间存在的数量关系，并证明理由． 【分析】（1）根据三角形的内角和即可得到结论； （2）①以线段AC为边的“8字型”有3个，以点O为交点的“8字型”有4个； ②根据角平分线的定义得到∠CAP＝∠BAP，∠BDP＝∠CDP，再根据三角形内角和定理得到∠CAP+∠C＝∠CDP+∠P，∠BAP+∠P＝∠BDP+∠B，两等式相减得到∠C﹣∠P＝∠P﹣∠B，即∠P＝（∠C+∠B），然后把∠C＝120°，∠B＝100°代入计算即可； ③与②的证明方法一样得到3∠P＝∠B+2∠C． 【解答】（1）证明：在图1中，有∠A+∠C＝180°﹣∠AOC，∠B+∠D＝180°﹣∠BOD， ∵∠AOC＝∠BOD， ∴∠A+∠C＝∠B+∠D； （2）解：①3；4； 故答案为：3，4； ②以M为交点“8字型”中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP， 以N为交点“8字型”中，有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP ∴2∠P+∠BAP+∠CDP＝∠B+∠C+∠CAP+∠BDP， ∵AP、DP分别平分∠CAB和∠BDC， ∴∠BAP＝∠CAP，∠CDP＝∠BDP， ∴2∠P＝∠B+∠C， ∵∠B＝100°，∠C＝120°， ∴∠P＝（∠B+∠C）＝（100°+120°）＝110°； ③3∠P＝∠B+2∠C，其理由是： ∵∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB， ∴∠BAP＝∠CAB，∠BDP＝∠CDB， 以M为交点“8字型”中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP， 以N为交点“8字型”中，有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP ∴∠C﹣∠P＝∠CDP﹣∠CAP＝（∠CDB﹣∠CAB）， ∠P﹣∠B＝∠BDP﹣∠BAP＝（∠CDB﹣∠CAB）． ∴2（∠C﹣∠P）＝∠P﹣∠B， ∴3∠P＝∠B+2∠C． 【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．也考查了角平分线的定义． 例题7．如图，△ABC是一个三角形的纸片，点D、E分别是△ABC边上的两点， （1）探究图1：如果沿直线DE折叠，则∠BDA′与∠A的关系是　∠BDA′＝2∠A　； （2）探究图2：如果折成图2的形状，猜想∠BDA′、∠CEA′和∠A的关系，并说明理由； （3）探究图3：如果折成图3的形状，猜想∠BDA′、∠CEA′和∠A的关系，并说明理由； （4）探究图4：若将四边形纸片ABCD折成图4的形状，直接写出∠DE A′、∠CF B′、∠A和∠B四个角之间的数量关系　∠1+∠2＝2（∠A+∠B）﹣360°　． 【分析】（1）先根据折叠性质得∠A＝∠AA′D，然后根据三角形外角性质易得∠BDA′＝2∠A； （2）图②，连结AA′，先根据三角形外角性质得∠BDA′＝∠1+∠2，∠CEA＝∠3+∠4，则∠BDA′+∠CEA＝∠A+∠A′，所以∠BDA′+∠CEA′＝2∠A； （3）理由如下：图③，由折叠性质得∠A′＝∠A，∠DEA′＝∠DEA，∠A′DE＝∠ADE，再根据三角形内角和得（∠A′+∠A）+（∠DEA′+∠DEA）+（∠A′DE+∠ADE）＝360°，接着利用平角定理得到2∠A+（180°+∠CEA′）+（180°﹣∠BDA′）＝360°，然后整理得到∠BDA′﹣∠CEA′＝2∠A； （4）先由折叠性质得∠A′EF＝∠AEF，∠B′FE＝∠BFE，然后根据平角定义和四边形内角和得到∠1+∠2＝180°﹣（∠A′EF+∠AEF）+180°﹣（∠B′FE+∠BFE）＝2（∠A+∠B）﹣360°． 【解答】解：（1）∠BDA′＝2∠A， 理由：∵△ABC沿直线DE折叠，使A点落在CE上，图①， ∴∠A＝∠AA′D， ∴∠BDA′＝∠A+∠AA′D＝2∠A； 故答案为：∠BDA′＝2∠A； （2）∠BDA′+∠CEA′＝2∠A， 理由：图②，连结AA′， ∵∠BDA′＝∠1+∠2，∠CEA＝∠3+∠4， ∴∠BDA′+∠CEA＝∠1+∠3+∠2+∠4＝∠A+∠A′， 而∠A＝∠AA′D， ∴∠BDA′+∠CEA′＝2∠A； （3）∠BDA′﹣∠CEA′＝2∠A． 理由如下：图③， 由翻折可得：∠A′＝∠A，∠DEA′＝∠DEA，∠A′DE＝∠ADE， 由内角和性质得：（∠A′+∠A）+（∠DEA′+∠DEA）+（∠A′DE+∠ADE）＝360°， ∴2∠A+（180°+∠CEA′）+（180°﹣∠BDA′）＝360° ∴2∠A+∠CEA′﹣∠BDA′＝0， ∴∠BDA′﹣∠CEA′＝2∠A； （4）由折叠性质得∠A′EF＝∠AEF，∠B′FE＝∠BFE， ∴∠1+∠2＝180°﹣（∠A′EF+∠AEF）+180°﹣（∠B′FE+∠BFE） ＝180°﹣2∠AEF+180°﹣2∠BFE ＝360°﹣2（360°﹣∠A﹣∠B） ＝2（∠A+∠B）﹣360°． 故答案为∠1+∠2＝2（∠A+∠B）﹣360°． 【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．也考查了折叠的性质、三角形外角性质． 【巩固练习】 1．（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明∠A+∠B＝∠C+∠D； （2）阅读下面的内容，并解决后面的问题： 如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD， 若∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，求∠P的度数； 解：∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD∴∠1＝∠2，∠3＝∠4由（1）的结论得：①+②，得2∠P+∠2+∠3＝∠1+∠4+∠B+∠D∴∠P＝（∠B+∠D）＝26°． ①如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，求∠P的度数； ②在图4中，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结论，无需说明理由． ③在图5中，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结论，无需说明理由． 【分析】（1）根据三角形的内角和等于180°列式整理即可得证； （2）根据角平分线的定义可得∠1＝∠2，∠3＝∠4，再根据（1）的结论列出整理即可得解； ①表示出∠PAD和∠PCD，再根据（1）的结论列出等式并整理即可得解； ②根据四边形的内角和等于360°可得（180°﹣∠1）+∠P+∠4+∠B＝360°，∠2+∠P+（180°﹣∠3）+∠D＝360°，然后整理即可得解； ③根据（1）的结论∠B+∠BAD＝∠D+∠BCD，∠PAD+∠P＝∠D+∠PCD，然后整理即可得解． 【解答】解：（1）在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB＝180°， 在△COD中，∠C+∠D+∠COD＝180°， ∵∠AOB＝∠COD， ∴∠A+∠B＝∠C+∠D； （2）①如图3，∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠PAD＝180°﹣∠2，∠PCD＝180°﹣∠3， ∵∠P+（180°﹣∠1）＝∠D+（180°﹣∠3）， ∠P+∠1＝∠B+∠4， ∴2∠P＝∠B+∠D， ∴∠P＝（∠B+∠D）＝×（36°+16°）＝26°； ②如图4，∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴（180°﹣2∠1）+∠B＝（180°﹣2∠4）+∠D， 在四边形APCB中，（180°﹣∠1）+∠P+∠4+∠B＝360°， 在四边形APCD中，∠2+∠P+（180°﹣∠3）+∠D＝360°， ∴2∠P+∠B+∠D＝360°， ∴∠P＝180°﹣（∠B+∠D）； ③如图5，∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∵（∠1+∠2）+∠B＝（180°﹣2∠3）+∠D， ∠2+∠P＝（180°﹣∠3）+∠D， ∴2∠P＝180°+∠D+∠B， ∴∠P＝90°+（∠B+∠D）． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，准确识图并运用好“8字形”的结论，然后列出两个等式是解题的关键，用阿拉伯数字加弧线表示角更形象直观． 2．如图：线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把这个图形称为“8字型”．根据三角形内角和容易得到：∠A+∠D＝∠C+∠B． （1）用“8字型” 如图（1）：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝　360°　． （2）造“8字型” 如图（2）：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝　540°　． （3）发现“8字型” 如图（3）：BE、CD相交于点A，CF为∠BCD的平分线，EF为∠BED的平分线． ①图中共有　6　个“8字型”； ②若∠B：∠D：∠F＝4：6：x，求x的值． 【分析】（1）根据题意即可得到结论； （3）①由图形即可得到结论； ②根据三角形内角和为180°的性质即可证得关系为∠D+∠B＝2∠F，再根据∠B、∠D、∠F的比值，即可求得x的值； 【解答】（1）∵∠A+∠B＝∠GKH+∠GHK， ∠C+∠D＝∠GHK+∠HGK， ∠E+∠F＝∠HGK+∠GKH， ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝2（∠GKH+∠GHK+∠HGK）＝2×180°＝360°，故答案为：360°； （2）如图，连结BC， ∵∠E+∠G＝∠GCB+∠EBC， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝五边形FABCD的内角和， 即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝（5﹣2）•180°＝540°， 故答案为：540°； （3）①图中共有6个“8字型”； 故答案为：6． ②：∵CF平分∠BCD，EF平分∠BED ∴∠DEG＝∠AEG，∠ACH＝∠BCH， ∵在△DGE和△FGC中，∠DGE＝∠FGC ∴∠D+∠DEG＝∠F+∠ACH ∵在△BHC和△FHE中，∠BHC＝∠FHE ∴∠B+∠BCH＝∠F+∠AEG ∴∠D+∠DEG+∠B+∠BCH＝∠F+∠ACH+∠F+∠AEG ∴∠D+∠B＝2∠F； ∵∠B：∠D：∠F＝4：6：x，∠D+∠B＝2∠F， ∴x＝5． 【点评】本题考查了多边形的内角与外角，三角形的内角和，三角形的外角的性质，正确的识别图形是解题的关键． 3．（1）图（1）中AB和AC 相交于点A，BD和CD相交于点D，探究∠BDC与∠B、∠C、∠BAC的关系 小明是这样做的： 解：以点A为端点作射线AD ∵∠1是△ABD的外角 ∴∠1＝∠B+∠BAD 同理∠2＝∠C+∠CAD ∴∠1+∠2＝∠B+∠BAD+∠C+∠CAD 即∠BDC＝∠B+∠C+∠BAC 小英的思路是：延长BD交AC于点E． 1小英的思路完成∠BDC＝∠B+∠C+∠BAC这一结论． （2）按照上面的思路解决如下问题：如图（2）：在△ABC中，BE、CD分别是∠ABC∠ACB的角平分线，交AC于E，交AB于D．BE、CD相交于点O，∠A＝60°．求∠BOC的度数． （3）如图（3）：△ABC中，BO、CO分别是∠ABC与∠ACB的角平分线，且BO、CO相交于点O．猜想∠BOC与∠A有怎样的关系，并加以证明． 【分析】（1）延长BD交AC于E，利用三角形外角性质得∠BDC＝∠C+∠CED，∠CED＝∠BAC+∠B，所以∠BDC＝∠C+∠B+∠BAC； （2）∵由（1）知∠BOC＝∠ABE+∠ACD+∠A，再利用角平分线的定义和三角形内角和得到∠ABE+∠ACD＝ （∠ABC+∠ACB）＝ （180﹣∠A）＝60°，从而得到∠BOC＝120°； （3）由（2）得∠BOC＝（180°﹣∠A）+∠A＝90°+∠A． 【解答】（1）证明：延长BD交AC于E， ∵∠BDC＝∠C+∠CED， 又∵∠CED＝∠BAC+∠B， ∴∠BDC＝∠C+∠B+∠BAC； （2）解：∵由（1）知∠BOC＝∠ABE+∠ACD+∠A， 又∵∠ABE＝∠ABC，∠ACD＝∠ACB， ∴∠ABE+∠ACD＝ （∠ABC+∠ACB）＝ （180﹣∠A）＝×120＝60°， ∴∠BOC＝120°； （3）∠BOC与∠A的关系：∠BOC＝90°+∠A． 理由如下：由（2）得∠BOC＝（180°﹣∠A）+∠A＝90°+∠A． 【点评】本题考查了多边形内角与外角：多边形内角和定理：（n﹣2）•180 （n≥3）且n为整数）；多边形的外角和等于360度．也考查了三角形外角性质． 4．（1） ；（2）① ；② 【解析】 【分析】 (1)由平行线的性质得到，由折叠的性质可知，∠2=∠BFE，再根据平角的定义求解即可； (2) ①由（1）知，，根据平行线的性质得到 ，再由折叠的性质及平角的定义求解即可； ②由（1）知，∠BFE = ，由可知：，再根据条件和折叠的性质得到，即可求解． 【详解】 解：（1）如图，由题意可知， ∴， ∵， ∴， ， 由折叠可知． （2）①由题（1）可知 ， ∵， ， 再由折叠可知： ， ； ②由可知：， 由（1）知， ， 又的度数比的度数大， ， ， ， ． 【点拨】此题考查了平行线的性质，属于综合题，有一定难度，熟记“两直线平行，同位角相等”、“两直线平行，内错角相等”及折叠的性质是解题的关键． 5．（1）①见解析；②垂；（2）见解析 【解析】 【分析】 （1）①过点折纸，使痕迹垂直直线，然后过点折纸使痕迹与前面的痕迹垂直，从而得到直线； ②步骤（b）中，折纸实际上是在寻找过点的直线的垂线． （2）先根据平行线的性质得到，再利用角平分线的定义得到，然后根据平行线的判定得到结论． 【详解】 （1）解：①如图2所示： ②在（1）中的步骤（b）中，折纸实际上是在寻找过点的直线的垂线． 故答案为垂； （2）证明：平分，平分（已知）， ，（角平分线的定义）， （已知）， （两直线平行，内错角相等）， （等量代换）， （等式性质）， （内错角相等，两直线平行）． 【点拨】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的性质与判定． 6．（1）证明见详解；（2）；等边，12；（3）满足条件的的值为或． 【解析】 【分析】 （1）根据角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边距离相等，即可证明； （2）根据平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，可得，根据角平分线的性质及各角之间的关系，可得；再由平行直线的性质可得，得出是等边三角形，根据周长的公式即可得出三角形周长； （3）分两种情况讨论：①当点Q落在AB上时，根据折叠的性质可得：，结合图形即可得出；②当点Q落在CD上时，根据平行线及角平分线的性质即可得出． 【详解】 解：（1）∵EG平分，，， ∴， ∵FG平分，，， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵EG平分，FG平分， ∴，， ∴； ∵直线， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴的周长为12， 故答案为：；等边，12； （3）①当点Q落在AB上时，如图所示： ∵将折叠，顶点E落在点Q处， ∴， ∵， ∴； ②当点Q落在CD上时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 综上可得，满足条件的的值为或． 【点拨】题目主要考查角平分线及平行线的性质，图形折叠的性质，理解题意，熟练掌握角平分线及平行线的性质是解题关键． 7．（1）HG∥AE，理由见解析；（2）∠DHG＝70°． 【解析】 【分析】 （1）根据折叠的性质得∠AEB=∠AEF，根据角平分线定义及垂直的定义得AE⊥EG，最后由平行的判定可得结论； （2）由余角的性质得∠AEB=70°，然后根据平行线的性质可得答案． 【详解】 解：（1）平行，理由如下： ∵长方形沿AE折叠， ∴∠AEB＝∠AEF， ∵EG平分∠CEF交CD于点G， ∴∠FEG＝∠CEG， ∵∠AEB+∠AEF+∠FEG+∠CEG＝180°， ∴∠AEG＝∠AEF+∠FEG＝90°， ∴AE⊥EG， ∵HG⊥ED， ∴HG∥AE； （2）∵∠CEG＝20°， ∴∠AEB＝70°， ∵长方形ABCD中，AD∥BC， ∴∠AEB＝∠DAE＝70°， ∵HG∥AE， ∴∠DHG＝∠DAE＝70°． 【点拨】此题考查了折叠问题及平行线的性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 8．（1）25°；（2）①两直线平行，内错角相等；②；③ 【解析】 【分析】 （1）根据折叠、平行和互补的性质可以得解； （2）根据平行线的性质和判定进行解答 ． 【详解】 解：（1）∵，∴． 由折叠可知． ∵，∴．（两直线平行，内错角相等） （2）由折叠可知， ； ； ∵ ∴；（两直线平行，内错角相等） ∴＝（等量代换） ∴．（内错角相等，两直线平行） 故答案为：①两直线平行，内错角相等；②；③ ； 【点拨】本题考查平行线的判定和性质以及折叠的综合应用，熟练掌握平行线的性质和判定、折叠的性质是解题关键 ． 9．（1）①100°；②180°-2α；（2）EF∥GH，理由见解析；（3）60° 【解析】 【分析】 （1）①由题意得∠A′EF=∠AEF=40°，则∠AEG=∠A′EF+∠AEF=80°，由平行线的性质得∠CGE=∠AEG=80°，由平角的定义即可得出结果； ②由题意得∠A′EF=∠AEF=α，则∠AEG=∠A′EF+∠AEF=2α，由平行线的性质得∠CGE=∠AEG=2α，由平角的定义即可得出结果； （2）由题意得∠AEF=∠A′EF=∠AEG，∠CGH=∠C′GH=∠CGE，由平行线的性质得∠CGE=∠AEG，推出∠C′GH=∠A′EF，即可得出EF∥GH． （3）根据折叠的性质求出∠C′EA=60°，根据AB∥CD，得到∠EGF=∠C′EA=60°，利用对顶角相等可得结果． 【详解】 解：（1）①由题意得：∠A′EF=∠AEF=40°， ∴∠AEG=∠A′EF+∠AEF=40°+40°=80°， ∵AB∥CD， ∴∠CGE=∠AEG=80°， ∴∠A′GC=180°-∠CGE=180°-80°=100°； ②由题意得：∠A′EF=∠AEF=α， ∴∠AEG=∠A′EF+∠AEF=α+α=2α， ∵AB∥CD， ∴∠CGE=∠AEG=2α， ∴∠A′GC=180°-∠CGE=180°-2α， 故答案为：180°-2α； （2）EF∥GH，理由如下： 由题意得：∠AEF=∠A′EF=∠AEG，∠CGH=∠C′GH=∠CGE， ∵AB∥CD， ∴∠CGE=∠AEG， ∴∠C′GH=∠A′EF， ∴EF∥GH． （3）若折叠后C′E与EF重合， 则∠C′EA=∠AEF， 又∵∠A′EF=∠AEF，∠A′EF+∠AEF+∠C′EA=180°， ∴∠C′EA=60°， ∵AB∥CD， ∴∠EGF=∠C′EA=60°， ∴∠A′GC=∠EGF=60°． 【点拨】本题是四边形综合题，主要考查了长方形的性质、折叠的性质、平行线的判定与性质、平角的定义等知识；熟练掌握折叠的性质和平行线的判定与性质是解题的关键． 10．（1）42°或66°；（2）35°或63° 【解析】 【分析】 （1）①当点落在上时，利用三角形内角和定理计算即可． ②当点落在上时，，利用平行线的性质，三角形的内角和定理计算即可． （2）分两种情形：①当点在平行线，之间时．②当点在下方时，分别构建方程即可解决问题． 【详解】 解：（1）①当点落在上时， ∵折叠，∴， ∴， ． ②当点落在上时，， ， ， ， ， ， ． 综上所述，满足条件的的值为或． （2）①当点在平行线，之间时． 设，由折叠可知， ， ， ， ， ． ②当点在下方时， 设，由折叠可知， ， ， ， 解得， ． 综上所述，的度数为或． 【点拨】本题考查翻折变换，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 11．（1）①∠=100° ；② =180°－；（2）EF//GH，理由见解析． 【解析】 【分析】 （1）①根据折叠，可知∠=∠AEF，可以求出∠AEG的度数，根据AB//CD，可以得到∠CGE=∠AEG，最后根据邻补角的性质可以求出答案． ②由①可得∠=∠AEF，可以用表示∠AEG的度数，再根据∠CGE=∠AEG，可以表示出∠CGE的度数，最后根据邻补角的性质即可用表示． （2）利用折叠的性质可以得到，∠AEF=∠=，∠CGH=∠=，再根据平行线的性质，可以得到∠CGE=∠AEG，等量代换∠HGE=∠FEG，即可得到两直线平行． 【详解】 解：（1）①由题意得∠=∠AEF=40° ∴ ∠AEG=80° ∵ AB//CD ∴ ∠CGE=∠AEG=80° ∴ =100° ②由①得∠=∠AEF= ∴∠AEG= ∵ AB//CD ∴∠CGE=∠AEG= ∴=180°－ （2）EF//GH，理由如下： 由题意得∠AEF=∠= ∠CGH=∠= ∵AB//CD ∴ ∠CGE=∠AEG ∴ ∠HGE=∠FEG ∴EF//GH 【点拨】本题考查了折叠的性质以及平行线的判定与性质，能熟练的找出内错角以及熟练角度的等量代换是解决本题的关键． 12．观察思考：理由见解析；问题解决：正确，理由见解析 【解析】 【分析】 观察思考：由折叠可知：∠AEC=∠BEC，从而求出∠AEC=90°，即可解答； 问题解决：由折叠可知：∠CPG=∠CPF=90°，推出∠CPG=∠AEC，即可解答 【详解】 观察思考： ，理由如下： 由折叠可知：∠AEC=∠BEC， ∵∠AEC+∠BEC=180°， ∴∠AEC=90°， ∴； 问题解决： ，正确，理由如下： 由折叠可知：∠CPG=∠CPF=90°， ∵由前面可知∠AEC=90°， ∴∠CPG=∠AEC， ∴. 【点拨】本题主要考查翻折变换的性质，关键在于通过相关的性质推出∠AEC=∠BEC，∠CPG=∠CPF，确定∠AEC和∠CPG为直角． 13．（1），理由见解析；（2），理由见解析． 【解析】 【分析】 （1）根据折叠的性质可以得到，因为，所以，所以； （2）根据折叠的性质可以得到，由（1）得，所以，根据平行线的判定可得 【详解】 解：（1），理由见解析； 由折叠性质可知： ∵ ∴ ∴ （2），理由如下： 由折叠性质可知： 由（1）得 ∴ ∴ 【点拨】本题考查了折叠的性质及平行线的判定. 根据折叠得到角相等，根据同位角相等得到两直线平行. 14．(1)；(2)； 【解析】 【分析】 （1）由折叠可得，由，可得，从而，即可证明； （2）由折叠可得，，由，可证，从而，进而可证. 【详解】 (1)解：， 理由如下： 由折叠可得， ∵， ∴， ∴， ∴； (2)解：， 理由如下： 由折叠可得， ， ∵， ∴， ∴， ∴. 【点拨】本题考查了折叠的性质，平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的性质与判定方法是解答本题的关键.解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． 15．知识初探：的度数为；类比再探：，理由见解析；拓展延伸：，理由见解析 【解析】 【分析】 知识初探：由平角及折叠的性质求出∠BCD=∠=∠BCE=65°，根据平行的性质即可求出∠CDE的度数； 类比再探：根据平行的性质可得∠HEC=∠BCE，由折叠的性质可得∠CEF=∠，根据内错角相等，两直线平行，可得EF∥CD； 拓展延伸：过点作，根据平行的性质可得，，由折叠的性质可得，即可得出答案. 【详解】 知识初探：解：由折叠可得， ∵ ∴ ∴. ∵长方形中， ∴ 答：的度数为. 类比再探：解： 理由如下：∵ ∴ 由折叠可得，， ∴， ∴ 拓展延伸：解： 理由如下：过点作， ∴ ∵， ∴， ∴ ∵长方形中，即， ∴ ∴. 故答案为知识初探：的度数为；类比再探：，理由见解析；拓展延伸：，理由见解析 【点拨】本题考查翻折变换（折叠问题），矩形的性质，注意折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$