吉林省白城市实验高级中学2025届高三第一次模拟考试数学试题

白城实验高级中学2025年第一次模拟考试 数学试卷 . 一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.已知集合A＝{－1，0，1，2，3}，B＝，图中阴影部分为集合M，则M中元素的个数为(　　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2.某学校组队参加辩论赛，在1名男生和4名女生中选出4人分别担任一、二、三、四辩，在男生入选的条件下，男生担任一辩的概率是（ ） A. B. C. D. 3.已知函数，则下列命题正确的是(　　) A. ，使得 B. 方程有两个不同实根，则实数的取值范围是 C. ，使得 D. 若，则实数的取值范围是 4.若复数为实数，则实数等于（ ） A. B. C. D. 2 5.若，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 无最小值 6.已知函数，的定义域为R，且．若是偶函数，，是奇函数，则(　　) A. B. C. D. 7.已知函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，再向右平移个单位，得到的函数的一个对称中心是（ ） A. B. C. D. 8.某农机合作社于今年初用98万元购进一台大型联合收割机，并立即投入生产.预计该机第一年（今年）的维修保养费是12万元，从第二年起，该机每年的维修保养费均比上一年增加4万元.若当该机的年平均耗费最小时将这台收割机报废，则这台收割机的使用年限是（ ） A. 6年 B. 7年 C. 8年 D. 9年 二、多项选择题（本大题共4小题.每题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.） 9.函数（，，）的部分图象如图所示，将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的2倍，然后向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. 的解析式为 C. 是图象的一个对称中心 D. 的单调递减区间是， 10.某市2017年到2022年常住人口变化图如图所示，则（ ） A. 2017年到2022年这6年的常住人口的极差约为38万 B. 2017年到2022年这6年的常住人口呈递增趋势 C. 2017年到2022年这6年的常住人口的第60百分位数为703.54万 D. 2017年到2022年这6年的常住人口的中位数为717.02万 11.已知直线与双曲线交于两点，为的中点，为坐标原点，若直线的斜率小于，则双曲线的离心率可能为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.） 12.已知为偶函数，且在上单调递增，若，则实数a的取值范围是 ． 13.已知点M(2,0)，N(3,0)，点P是抛物线C：y2＝3x上一点，则的最小值是______． 14.已知复数z满足，则其共轭复数的虚部为 ． 四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.在平面直角坐标系xOy中，已知点M，点P到点M的距离比点P到x轴的距离大，记P的轨迹为C. (1)求C的方程； (2)过点P(x0，y0)(其中x0≠0)的两条直线分别交C于E，F两点，直线PE，PF分别交y轴于A，B两点，且满足|PA|＝|PB|.记k1为直线EF的斜率，k2为C在点P处的切线斜率，判断k1＋k2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由. 16.如图1，在四边形ABCD中，为DC的中点，.将沿BD折起，使点到点，形成如图2所示的三棱锥.在三棱锥中，，记平面PEO、平面PDC、平面PBC分别为. (1)证明:； (2)若，求与的夹角的大小. 17.如图，在正四棱台中，. （1）证明：； （2）若为的中点，求直线与平面的夹角的正弦值. 18.如图①，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD＝BC＝CD＝2，AB＝4，E为AB的中点，以DE为折痕把△ADE折起，连接AB，AC，得到如图②的几何体，在图②的几何体中解答下列问题． (1)证明：AC⊥DE； (2)请从以下两个条件中选择一个作为已知条件，求平面DAE与平面AEC夹角的余弦值． ①四棱锥A－BCDE的体积为2； ②直线AC与EB所成角的余弦值为. 19.在平面直角坐标系中， 椭圆：的左，右顶点分别为、，点是椭圆的右焦点，，． (1)求椭圆的方程； (2)不过点的直线交椭圆于、两点，记直线、、的斜率分别为、、.若，证明直线过定点， 并求出定点的坐标． 第1页 共2页 ◎ 第2页 共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 白城实验高级中学2025年第一次模拟考试 数学试卷 . 一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.已知集合A＝{－1，0，1，2，3}，B＝，图中阴影部分为集合M，则M中元素的个数为(　　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】∵ln x＜1，∴0＜x＜e，∴B＝(0，e)，∴A∩B＝{1，2}，∴M＝{－1，0，3}，∴M中元素的个数为3，故选C. 2.某学校组队参加辩论赛，在1名男生和4名女生中选出4人分别担任一、二、三、四辩，在男生入选的条件下，男生担任一辩的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】在1名男生和4名女生中选出4人分别担任一、二、三、四辩， 在男生入选的条件下，男生担任一辩的概率是. 故选：A. 3.已知函数，则下列命题正确的是(　　) A. ，使得 B. 方程有两个不同实根，则实数的取值范围是 C. ，使得 D. 若，则实数的取值范围是 【答案】D 【解析】对，都有 所以，为奇函数，A错； 当时，， 易知在上单调递增，此时， 当时，， 在上单调递减，此时 时，， 时，， 而，所以，方程仅有一根，B错； 时，， 此时 = 而函数在上单调递增，得时， 所以对，C错； 综上，时，，此时 时，，此时 时，，此时，D对. 故选：D. 4.若复数为实数，则实数等于（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】，若复数为实数， 则，即. 故选：D. 5.若，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 无最小值 【答案】C 【解析】若，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为8. 故选：C. 6.已知函数，的定义域为R，且．若是偶函数，，是奇函数，则(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由是奇函数可知，函数的图象关于点对称， 所以，则， 将其代入，得，所以. 又是偶函数， 所以函数的图象关于直线对称，则． 由，得，所以． 由，得，所以， 则，所以，所以的周期为8． 由，，得，所以， 由，得，，所以， 由， 得，，，， 即， 所以 ． 故选：C． 7.已知函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，再向右平移个单位，得到的函数的一个对称中心是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍， 得到图象的解析式为，再向右平移个单位， 得到函数的解析式为， 令，解得， 当时，， 所以点是函数的一个对称中心. 故选:C. 8.某农机合作社于今年初用98万元购进一台大型联合收割机，并立即投入生产.预计该机第一年（今年）的维修保养费是12万元，从第二年起，该机每年的维修保养费均比上一年增加4万元.若当该机的年平均耗费最小时将这台收割机报废，则这台收割机的使用年限是（ ） A. 6年 B. 7年 C. 8年 D. 9年 【答案】B 【解析】设第年的维修保养费为万元，数列的前项和为，该机的年平均耗费为， 据题意，数列是首项为12，公差为4的等差数列. 则. 当且仅当，即时，取最小值38. 所以这台冰激凌机的使用年限是7年. 故选:. 二、多项选择题（本大题共4小题.每题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.） 9.函数（，，）的部分图象如图所示，将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的2倍，然后向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. 的解析式为 C. 是图象的一个对称中心 D. 的单调递减区间是， 【答案】ABD 【解析】依题意，由图象可知，，则，故A正确； 因为，所以，则，所以， 因为的图象过点，所以， 则，即， 又，则，所以， 将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的3倍，得到的图象， 纵坐标变为原来的2倍，得到的图象， 向左平移个单位长度，得到函数的图象，故B正确； 因为，故C错误； 令，解得， 所以的单调递减区间是，，故D正确. 故选：ABD. 10.某市2017年到2022年常住人口变化图如图所示，则（ ） A. 2017年到2022年这6年的常住人口的极差约为38万 B. 2017年到2022年这6年的常住人口呈递增趋势 C. 2017年到2022年这6年的常住人口的第60百分位数为703.54万 D. 2017年到2022年这6年的常住人口的中位数为717.02万 【答案】AD 【解析】由图可知，2017年到2022年这6年的常住人口的极差约为(万)，A正确； 这6年的常住人口前3年呈递增趋势，后三年也递增，但后三年的常住人口低于前3年，B错误； 2017年到2022年这6年的常住人口按照从小到大的顺序排列为698.12，703.09，703.54，730.50，732.20，736.00， ，所以第60百分位数为730.50万，中位数为（万），C错误，D均正确. 故选：AD. 11.已知直线与双曲线交于两点，为的中点，为坐标原点，若直线的斜率小于，则双曲线的离心率可能为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】BC 【解析】由题意知，即，所以，设， 由，得， ， 则，， 得，所以， 即，可得且. 故选：BC 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.） 12.已知为偶函数，且在上单调递增，若，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为为偶函数，所以， 函数的图象关于对称， 又在上单调递增，， 所以，解得． 故答案为：. 13.已知点M(2,0)，N(3,0)，点P是抛物线C：y2＝3x上一点，则的最小值是______． 【答案】5 【解析】设P(x,y)，则＝(2-x,-y)，＝(3-x,-y)， 从而＝(3-x)(2-x)+y2＝x2-5x+6+y2． 因为点P在抛物线C上，所以y2＝3x， 所以＝(3-x)(2-x)+y2＝x2-5x+6+3x＝x2-2x+6 ＝(x-1)2+5≥5，当且仅当x＝1时取等号． 故答案为：5. 14.已知复数z满足，则其共轭复数的虚部为 ． 【答案】 【解析】依题意，，因此， 所以的虚部为. 故答案为：. 四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.在平面直角坐标系xOy中，已知点M，点P到点M的距离比点P到x轴的距离大，记P的轨迹为C. (1)求C的方程； (2)过点P(x0，y0)(其中x0≠0)的两条直线分别交C于E，F两点，直线PE，PF分别交y轴于A，B两点，且满足|PA|＝|PB|.记k1为直线EF的斜率，k2为C在点P处的切线斜率，判断k1＋k2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由. 【答案】解　(1)由题可知，点P到点M的距离与P到直线y＋＝0的距离相等， 轨迹一：点P的轨迹是以M为焦点，直线y＋＝0为准线的抛物线，此时p＝，所以C的方程为x2＝y. 轨迹二：点P的轨迹在y轴上，x＝0(y≤0)， 综上所述，C的方程为x2＝y或x＝0(y≤0)． (2)当直线PE、PF不是切线时，因为|PA|＝|PB|， 所以△PAB为等腰三角形，即直线PE与PF的斜率存在且互为相反数，即kPE＋kPF＝0. 设点E(x1，y1)，F(x2，y2)， 直线PE的方程为y－y0＝k(x－x0)， 联立直线PE与抛物线方程，消去y并整理得 2x2－kx＋kx0－y0＝0，于是x1＋x0＝，故x1＝－x0， 因为直线PE与PF的斜率互为相反数，令－k代替k，得x2＝－－x0， 所以k1＝＝＝2(x1＋x2)＝－4x0， 又y′＝4x，所以k2＝4x0，即k1＋k2＝0， 当PE与PF有一条为切线，则P为切点，不妨设PF为切线，所以点F与点B重合， 因|PA|＝|PB|，所以∠PAB＝∠PBA， 若k1＋k2＝0，则∠PBA＝∠EBA， 所以∠PAB＝∠EBA，即PE∥BE，矛盾． 综上所述，k1＋k2不为定值． 16.如图1，在四边形ABCD中，为DC的中点，.将沿BD折起，使点到点，形成如图2所示的三棱锥.在三棱锥中，，记平面PEO、平面PDC、平面PBC分别为. (1)证明:； (2)若，求与的夹角的大小. 【答案】(1)证明　在三棱锥中， 为DC的中点，. 由已知得平面平面BCD. 平面BCD. 又平面. 平面平面平面PEO. 又平面PDC， 平面平面PDC，即. (2)解　由(1)知OC、OD、OP两两垂直. 分别以的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系， 根据已知得，. . 由(1)知平面PEO，故是平面PEO的法向量. 设为平面PBC的法向量， 则，取，则. 是平面PBC的法向量. 设与的夹角的大小为，则， 且. . 与的夹角的大小等于. 17.如图，在正四棱台中，. （1）证明：； （2）若为的中点，求直线与平面的夹角的正弦值. 【答案】（1）证明　设，，连接， 则平面且平面， 又，所以， ，则， 如图建立空间直角坐标系，则，，，， 所以，， 所以，即，所以. （2）解　由（1）可知，所以， ， 设平面的法向量为，则，取， 设直线与平面的角为，则， 所以直线与平面的夹角的正弦值为. 18.如图①，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD＝BC＝CD＝2，AB＝4，E为AB的中点，以DE为折痕把△ADE折起，连接AB，AC，得到如图②的几何体，在图②的几何体中解答下列问题． (1)证明：AC⊥DE； (2)请从以下两个条件中选择一个作为已知条件，求平面DAE与平面AEC夹角的余弦值． ①四棱锥A－BCDE的体积为2； ②直线AC与EB所成角的余弦值为. 【答案】(1)证明　在图①中，连接CE(图略)， 因为DC∥AB，CD＝AB，E为AB的中点， 所以DC∥AE，且DC＝AE， 所以四边形ADCE为平行四边形， 所以AD＝CE＝CD＝AE＝2， 同理可证DE＝2， 在图②中，取DE的中点O，连接OA，OC(图略)， 则OA＝OC＝， 因为AD＝AE＝CE＝CD，所以DE⊥OA，DE⊥OC， 因为OA∩OC＝O，OA，OC⊂平面AOC，所以DE⊥平面AOC， 因为AC⊂平面AOC，所以DE⊥AC. (2)解　若选择①：由(1)知DE⊥平面AOC，DE⊂平面BCDE， 所以平面AOC⊥平面BCDE，且交线为OC， 所以过点A作AH⊥OC交OC于点H(图略)，则AH⊥平面BCDE，因为S四边形BCDE＝2， 所以四棱锥A－BCDE的体积VA－BCDE＝2＝×2·AH， 所以AH＝OA＝，所以AO与AH重合，所以AO⊥平面BCDE， 建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0,0,0)，C(－,0,0)，E(0,1,0)，A(0,0,)， 易知平面DAE的一个法向量为＝(,0,0)， 设平面AEC的法向量为n＝(x，y，z)， 因为＝(,1,0)，＝(,0,)， 所以取n＝(1,－,－1)， 设平面DAE与平面AEC的夹角为θ， 则cos θ＝＝＝， 所以平面DAE与平面AEC夹角的余弦值为. 若选择②：因为DC∥EB，所以∠ACD即为异面直线AC与EB所成的角， 在△ADC中，cos∠ACD＝＝， 所以AC＝，所以OA2＋OC2＝AC2，即OA⊥OC， 因为DE⊥平面AOC，DE⊂平面BCDE， 所以平面AOC⊥平面BCDE，且交线为OC，又OA⊂平面AOC， 所以AO⊥平面BCDE， 建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0,0,0)，C(－,0,0)，E(0,1,0)，A(0,0,)， 易知平面DAE的一个法向量为＝(,0,0)， 设平面AEC的法向量为n＝(x，y，z)， 因为＝(,1,0)，＝(,0,)， 所以取n＝(1,－,－1)， 设平面DAE与平面AEC的夹角为θ， 则cos θ＝＝＝， 所以平面DAE与平面AEC夹角的余弦值为. 19.在平面直角坐标系中， 椭圆：的左，右顶点分别为、，点是椭圆的右焦点，，． (1)求椭圆的方程； (2)不过点的直线交椭圆于、两点，记直线、、的斜率分别为、、.若，证明直线过定点， 并求出定点的坐标． 【答案】解：(1)由题意知，，，， ∵，， ∴，解得，从而， ∴椭圆的方程为. (2)设直线的方程为，，． 直线不过点，因此． 由 ，得， 时，，， ∴ ， 由，可得，即， 故的方程为，恒过定点． 第1页 共2页 ◎ 第2页 共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$